中考第一轮专题复习4

中考第一轮专题复习四第三单元（三、三角形2、等腰三角形与直角三角形，3、全等三角形）一、知识点梳理本节主要概念：1、等腰三角形定义：有两边相等的三角形叫做等腰三角形．性质：（1）两边相等；（2）等边对等角；（3）等腰三角形三线合一；（4）等腰三角形是轴对称图形，底边上的高所在的直线是它的对称轴．判定：（1）两边相等；（2）等角对等边．AB=AC∠A=∠B．在△ABC中，AB=AC，①∠1=∠2，②BD=CD，③BCAD，①②③或②①③或③①②．2、等边三角形定义：三条边相等的三角形是等边三角形，它是等腰三角形的特例．性质：（1）三边相等；（2）三个内角都为60°；（3）等腰三角形的所有性质．判定：（1）三边相等；（2）三个角都相等；（3）有一个内角等于60°的等腰三角形．3、直角三角形21BDAC性质：（1）两锐角互余；（2）两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）；（3）斜边上的中线等于斜边的一半；（4）在直角三角形中，如果有一个锐角等于30º，那么它所对的直角边等于斜边的一半；（5）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30º．判定：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形（勾股定理的逆定理）．∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线CD=AD=BD=21AB．∠ACB=90º，BC=21AB∠A=30º．∠ACB=90º，∠A=30ºBC=21AB．∠ACB=90°222ACBCAB．4、全等三角形判定方法：S.S.S、S.A.S、A.A.S、A.S.A、H.L．性质：全等三角形的对应角相等，对应边相等．二、例题讲解例题1（P89第6题）如果等腰三角形腰上的高等于腰长的一半，那么这个三角形的顶角度数一定是（）A．30°或60°B．60°或120°C．60°或150°D．30°或150°分析：根据题意作图，等腰三角形腰上的高可能在形内，也可能在形外，要注意分类讨论．如图1，如图2，∵BD是△ABC的高，AB=AC，BD=12AB，∵CD是△ABC边BA上的高，DC=12AC，∴∠A=30°．∴∠DAC=30°，∴∠BAC=180°-30°=150°．BACD故答案为：30°或150°，选择D．例题2（P90第3题）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC上一点，E是边AC上一点，且AD=AE．求证：∠BAD=2∠CDE．分析：根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，把图形分解得，∠2=∠3+∠C，∠ADC=∠B+∠4，再根据等边对等角的性质∠B=∠C，∠1=∠2，代入数据计算即可得证．证明：∵AD=AE，∴∠1=∠2，．∵AB=AC，∴∠B=∠C．∵∠2=∠3+∠C，∠ADC=∠B+∠4，∴∠B+∠4=∠3+∠C+∠3，∴∠4=2∠3．例题3（P97第2题）已知：如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，BD=DC，BC=2AB．求证：点D在∠ABC的角平分线上．分析：要证明一个点在角平分线上，一般证明这个点到角两边的距离相等．因此考虑过点D作DE⊥BC于点E．再根据等腰三角形的性质和三角形的全等得证．证明：点D作DE⊥BC于点E，∵BD=DC，DE⊥BC，∴2BE=BC．∵BC=2AB，∴AB=BE．∵∠A=90°，BD=BD，∴Rt△DBA≌Rt△DBE．∴∠1=∠2，∴点D在∠ABC的角平分线上．例题4（P94例4）已知△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D为BC的中点．（1）如图，E、F分别是AB、AC上的点，且BE=AF，求证：△DEF是等腰直角三角形．（2）如果E、F分别是AB和CA的延长线上的点，且BE=AF，那么△DEF是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论．分析：对于第（1）题，要证明△DEF为等腰直角三角形，只要证明DE=DF，∠EDF=90°．但直接证明有困难，注意到已知△ABC是“等腰直角三角形”和“D为边BC的中点”的条件，可考虑联结AD，构造DE和DF分别所在的两个三角形，并证明这两个三角形全等，再进一步证DE与DF垂直．第（2）题中的条件虽有所变化，但本质未发生变化，因此结论不变，而且证明的思想方法类似．（1）证明：联结AD．∵∠A=90°，AB=AC，D为BC的中点，∴AD=BD，∠DAF=∠B=45°，∠ADB=90°．∵BE=AF，∴△ADF≌△BDE．得DF=DE，∠1=∠2．∵∠3+∠2=90°，∴∠3+∠1=90°，即∠EDF=90°．∴△DEF为等腰直角三角形．（2）解：△DEF仍为等腰直角三角形．证明如下：联结AD．∵∠BAC=90°，AB=AC，D为BC的中点，∴AD=BD，∠DAF=∠DBE=135°，∠ADB=90°．∵BE=AF，∴△ADF≌△BDE．得DF=DE，∠1=∠2．∵∠1+∠3=90°，∴∠2+∠3=90°，即∠EDF=90°．∴△DEF为等腰直角三角形．三、作业《数学学科教学基本要求》P895，P903，P961-6，P974