九年级数学竞赛第10讲一元二次不等式的解法

第十讲一元二次不等式的解法形如ax2+bx+c＞0或ax2+bx+c＜0(a≠0)的不等式叫作一元二次不等式．一元二次不等式的解法与二次函数、一元二次方程的根之间有着密切的联系，a＞0的情况如表10．1所示。a＜0时，可先在不等式两边同乘-1(不等号方向改变)，化为上述情况．本讲将介绍有关处理一元二次不等式问题的方法与技巧．1．含参数的不等式的解法例1设a为参数，解关于x的一元二次不等式x2(a+3)x+3a＜0．解分解因式(x-3)(x-a)＜0．(1)若a＞3，解为3＜x＜a；(2)若a＜3，解为a＜x＜3；(3)若a=3，原不等式变成(x-3)2＜0，无解．例2设a为参数，解关于x的一元二次不等式ax2-(a+1)x+1＜0．解(1)a=0，原不等式为-x+1＜0，解为x＞1．(2)a≠0，分解因式得①若a＞0，则②若a＜0，则例3对一切实数x，不等式ax2+(a-6)x+2＞0恒成立，求a的值．解由于不等式对一切x恒成立，故a应该满足即所以2＜a＜18．例4设有不等式试求对于满足0≤x≤2的一切x成立的t的取值范围．解令y=x2-3x+2，0≤x≤2，则在0≤x≤2上y能取到的最小所以2．含绝对值的不等式例5解不等式x2-x-5＞|2x-1|．x2-x-5＞2x-1，即x2-3x-4＞0，x2-x-5＞1-2x，即x2+x-6＞0，综上所述，原不等式的解为x＜-3或x＞4．例6解不等式|x2-2x-3|＞2．解|y|＞2，即y＞2或y＜-2，所以，可以把原不等式分为两个不等式：x2-2x-3＞2，①x2-2x-3＜-2．②解①得综合上述两个不等式的解，原不等式的解为(图3－13)3．可化为一元二次不等式来解的不等式例7解不等式解原不等式可化为(x-1)(x+1)＞0，所以x＜-1或x＞1．例8解不等式解首先，由得-1≤x≤3．将原不等式变形为由于上式两边均非负，故两边平方后、整理得(7-8x)2＞16(x+1)，所以64x2-128x+33＞0，例9设a＞0，解不等式解因为a＞0，①的左端非负，因此x+1≥0．下面分两种情形讨论．(1)x≥0时，①式左右两边平方得a2x≤(x+1)2，整理得x2+(2-a2)x+1≥0．②因为△=(2-a2)2-4=a2(a2-4)，所以a＜2时，△＜0，②对一切x≥0成立．a≥2时，△≥0，x2+(2-a2)x+1有实根，而且两根的积为1，和为非负数a2-2，所以两根均为正．②的解为及(2)-1≤x＜0时，①式变为③式两边平方、整理得x2+(a2+2)x+1≥0．④因为△=(a2+2)2-4＞0，所以x2+(a2+2)x+1有两个不相等的实数根，由韦达定理知，两根均为负．由于两根积为1，较小的根小于-1，较大的根大于-1，所以④的解为综合(1)，(2)，原不等式的解为：当a≥2时，及当0＜a＜2时，练习十1．填空：(1)不等式5x-3x2-2＞0的解为______．(2)不等式42x2+ax＜a2的解为______．(3)不等式x2-4|x|+3＞0的解为______．(8)若对任何实数x，不等式kx2-(k-2)x+k＞0恒成立，则k的取值范围是____．2．解不等式x4-3x2+2＜0．3．解关于x的不等式4．不等式对一切x都成立，求k的取值范围．5．a为何值时，只有一个x值满足不等式0＜x2+ax+5≤4．