中点坐标法解决二次函数中平行四边形存在性问题

1图2图3图1另辟蹊径解决二次函数中平行四边形存在性问题以二次函数为载体的平行四边形存在性问题是近年来中考的热点，其图形复杂，知识覆盖面广，综合性较强，对学生分析问题和解决问题的能力要求高．对这类题，常规解法是先画出平行四边形，再依据“平行四边形的一组对边平行且相等”或“平行四边形的对角线互相平分”来解决．由于先要画出草图，若考虑不周，很容易漏解．为此，笔者另辟蹊径，借助探究平行四边形顶点坐标公式来解决这一类题．1两个结论，解题的切入点数学课标，现行初中数学教材中没有线段的中点坐标公式，也没有平行四边形的顶点坐标公式，我们可帮助学生来探究，这可作为解题的切入点。1.1线段中点坐标公式平面直角坐标系中，点A坐标为(x1,y1)，点B坐标为(x2,y2)，则线段AB的中点坐标为(221xx,221yy).证明：如图1，设AB中点P的坐标为(xP,yP).由xP-x1=x2-xP，得xP=221xx，同理yP=221yy，所以线段AB的中点坐标为(221xx,221yy).1.2平行四边形顶点坐标公式□ABCD的顶点坐标分别为A(xA,yA)、B(xB,yB)、C(xC,yC)、D(xD,yD)，则：xA+xC=xB+xD；yA+yC=yB+yD.证明：如图2，连接AC、BD，相交于点E．∵点E为AC的中点，∴E点坐标为(2CAxx,2CAyy).又∵点E为BD的中点，∴E点坐标为(2DBxx,2DByy).∴xA+xC=xB+xD；yA+yC=yB+yD.即平行四边形对角线两端点的横坐标、纵坐标之和分别相等．2一个基本事实，解题的预备知识如图3，已知不在同一直线上的三点A、B、C，在平面内另找一个点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形．答案有三种：以AB为对角线的□ACBD1，以AC为对角线的□ABCD2，以BC为对角线的□ABD3C．3两类存在性问题解题策略例析与反思3.1三个定点、一个动点，探究平行四边形的存在性问题例1已知抛物线y=x2-2x+a(a＜0）与y轴相交于点A，顶点为M.直线y=21x-a分别与x轴、y轴相交于B、C两点，并且与直线AM相交于点N.(1)填空：试用含a的代数式分别表示点M与N的坐标，则M(),N()；2图4图5(2)如图4，将△NAC沿y轴翻折，若点N的对应点N′恰好落在抛物线上，AN′与x轴交于点D，连接CD，求a的值和四边形ADCN的面积；(3)在抛物线y=x2-2x+a(a＜0）上是否存在一点P，使得以P、A、C、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由.解：(1)M(1,a-1)，N(a34,-a31)；(2)a=-49；S四边形ADCN=16189；(3)由已知条件易得A(0,a)、C(0,-a)、N(a34,-a31).设P(m,m2-2m+a).①当以AC为对角线时，由平行四边形顶点坐标公式（解题时熟练推导出），得：ammaaama23134002,∴81525am.∴P1(25,-85)；②当以AN为对角线时，得:ammaaama23103402,∴81525am(不合题意，舍去).③当以CN为对角线时，得:ammaaama23103402,∴8321am.∴P2(-21,87).∴在抛物线上存在点P1(25,-85)和P2(-21,87)，使得以P、A、C、N为顶点的四边形是平行四边形.反思：已知三个定点的坐标，可设出抛物线上第四个顶点的坐标，运用平行四边形顶点坐标公式列方程（组）求解.这种题型由于三个定点构成的三条线段中哪条为对角线不清楚，往往要以这三条线段分别为对角线分类，分三种情况讨论.3.2两个定点、两个动点，探究平行四边形存在性问题例2如图5，在平面直角坐标系中，抛物线A(-1,0),B(3,0),C(0,-1)三点.（1）求该抛物线的表达式；（2）点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使以点Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件点P的坐标.解：（1）易求抛物线的表达式为y=132312xx；(2)由题意知点Q在y轴上，设点Q坐标为(0,t)；点P在抛物线上，设点P坐标为(m,132312mm).尽管点Q在y轴上，也是个动点，但可理解成一个定点，这样就转化为三定一动了．3图6①当以AQ为对角线时，由四个顶点的横坐标公式得：-1+0=3+m，∴m=-4，∴P1(-4,7)；②当以BQ为对角线时，得：-1+m=3+0，∴m=4，∴P2(4,35)；③当以AB为对角线时，得：-1+3=m+0，∴m=2，∴P3(2,-1).综上，满足条件的点P为P1(-4,7)、P2(4,35)、P3(2,-1).反思：这种题型往往特殊，一个动点在抛物线上，另一个动点在x轴（y轴）或对称轴或某一定直线上．设出抛物线上的动点坐标，另一个动点若在x轴上，纵坐标为0，则用平行四边形顶点纵坐标公式；若在y轴上，横坐标为0，则用平行四边形顶点横坐标公式．该动点哪个坐标已知就用与该坐标有关的公式．本例中点Q的纵坐标t没有用上，可以不设．另外，把在定直线上的动点看成一个定点，这样就转化为三定一动了，分别以三个定点构成的三条线段为对角线分类，分三种情况讨论.例3如图6，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(-4,0),B(0,-4),C(2,0)三点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值；（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=-x上的动点，判断有几个位置能使以点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．解：（1）易求抛物线的解析式为y=21x2+x-4；（2）s=-m2-4m(-4m0)；s最大=4（过程略）；（3）尽管是直接写出点Q的坐标，这里也写出过程．由题意知O(0,0)、B(0,-4).由于点Q是直线y=-x上的动点，设Q(s,-s)，把Q看做定点；设P(m,21m2+m-4).①当以OQ为对角线时，42140002mmsms∴s=-252.∴Q1(-2+52,2-52)，Q2(-2-52,2+52)；②当以BQ为对角线时，smmsm44210002∴s1=-4，s2=0(舍).∴Q3(-4,4)；③当以OB为对角线时，42140002mmsms∴s1=4，s2=0(舍).4∴Q4(4,-4).综上，满足条件的点Q为Q1(-2+52,2-52)、Q2(-2-52,2+52)、Q3(-4,4)、Q4(4,-4).反思：该题中的点Q是直线y=-x上的动点，设动点Q的坐标为(s,-s)，把Q看做定点，就可根据平行四边形顶点坐标公式列方程组了.4问题总结这种题型，关键是合理有序分类：无论是三定一动，还是两定两动，统统把抛物线上的动点作为第四个动点，其余三个作为定点，分别以这三个定点构成的三条线段为对角线分类，分三种情况讨论，然后运用平行四边形顶点坐标公式转化为方程（组）．这种解法，不必画出平行四边形草图，只要合理分类，有序组合，从对角线入手不会漏解，条理清楚，而且适用范围广．其本质是用代数的方法解决几何问题，体现的是分类讨论思想、数形结合的思想.