专题二立体几何初步测试题

第一章第一节专题二专题二立体几何初步测试题(时间：120分钟满分：150分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.如图，设A是棱长为a的正方体的一个顶点，过从此顶点出发的三条棱的中点作截面，截面与正方体各面共同围成一个多面体，则关于此多面体有以下结论，其中错误的是()A．有10个顶点B．体对角线AC1垂直于截面C．截面平行于平面CB1D1D．此多面体的表面积为478a2解析此多面体的表面积S＝6a2－3×12×12a×12a＋12×22a×22a×32＝458a2＋38a2＝45＋38a2.故选D.答案D2．(2012·福建宁德二模)如图是一个多面体的三视图，则其全面积为()第一章第一节专题二A.3B.32＋6C.3＋6D.3＋4解析由几何体的三视图可得，此几何体是正三棱柱，其全面积为S＝3×(2)2＋2×12×(2)2×sin60°＝6＋3.故选C.答案C3．(2012·江西抚州一中模拟)如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是()第一章第一节专题二A．22πB．12πC．4π＋24D．4π＋32解析由几何体的三视图可得，此几何体是上面一个球、下面一个长方体组成的几何体，此几何体的表面积S＝4π×12＋2×2×2＋8×3＝4π＋32.故选D.答案D4．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积与体积分别为()A．7＋2，3B．8＋2，3C．7＋2，32D．8＋2，32解析由几何体的三视图可得，此几何体是四棱柱，底面是梯形，其全面积为S＝2×12(1＋2)×1＋12＋12＋1×2＋2×1＝7＋2，体积为V＝12(1＋2)×1×1＝32.故选C.答案C5．(2012·江苏启东中学模拟)一个与球心距离为1的平面截球体第一章第一节专题二所得的圆面面积为π，则球的体积为()A.82π3B.8π3C.32π3D．8π解析由题意，球的半径为R＝12＋12＝2，故其体积V＝43π(2)3＝82π3，选A.答案A6．(2012·福建福鼎一中模拟)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是AD的中点，则异面直线C1E与BC所成的角的余弦值是()A.105B.1010C.13D.223解析因为BC∥B1C1，故∠EC1B1即为异面直线C1E与BC所成的角，在△EB1C1中，由余弦定理可得结果，选C.答案C7．(2012·泰安市高三质检)已知正四棱锥S－ABCD的侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE、SD所成角的余弦值为()第一章第一节专题二A.13B.23C.33D.23解析连接BD，取BD中点O，连接AO则OE∥SD.∠OEA即为AE与SD所成的角．令侧棱长为2，则OE＝1，AO＝2，AE＝3因为AE2＝AO2＋OE2，所以△AOE是直角三角形，故cos∠AEO＝33.答案C8.(2012·安徽皖南八校联考)设m，n是不同的直线，α、β、γ是不同的平面，有以下四个命题：①α∥βα∥γ⇒β∥γ；②α⊥βm∥α⇒m⊥β；③m⊥αm∥β⇒α⊥β；④m∥nn⊂α⇒m∥α.其中正确的命题是()A．①④B．②③第一章第一节专题二C．①③D．②④解析由定理可知①③正确，②中m与β的位置关系不确定，④中可能m⊂α.故选C.答案C9．(2012·宁夏模拟)如图，正△ABC的中线AF与中位线DE相交于G，已知△A′ED是△AED绕DE旋转过程中的一个图形，下列命题中，错误的是()A．动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上B．恒有平面A′GF⊥平面BCEDC．三棱锥A′—FED的体积有最大值D．异面直线A′E与BD不可能垂直解析由题意，DE⊥平面AGA′，A、B、C正确．故选D.答案D10.(2012·南昌一模)在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M为AB的中点，则点C到平面A1DM的距离为()第一章第一节专题二A.63aB.66aC.22aD.12a解析设点C到平面A1DM的距离为h，则由已知得DM＝A1M＝a2＋a22＝52a，A1D＝2a，S△A1DM＝12×2a×52a2－22a2＝64a2，连接CM，S△CDM＝12a2，由VC－A1DM＝VA1－CDM，得13S△A1DM·h＝13S△CDM·a，64a2·h＝12a2·a，所以h＝63a，即点C到平面A1DM的距离为63a，选A.答案A11．(2012·山东平邑一中模拟)设a，b，c是空间三条直线，α，β是空间两个平面，则下列命题中，逆命题不成立的是()A．当c⊥α时，若c⊥β，则α∥βB．当b⊂α时，若b⊥β，则α⊥βC．当b⊂α，且c是a在α内的射影时，若b⊥c，则a⊥b第一章第一节专题二D．当b⊂α，且c⊄α时，若c∥α，则b∥c解析写出逆命题，可知B中b与β不一定垂直．选B.答案B12．(2012·山东潍坊模拟)某几何体的一条棱长为7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为6的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a＋b的最大值为()A．22B．23C．4D．25解析结合长方体的对角线在三个面的投影来理解计算．如图设长方体的长，宽，高分别为m，n，k，由题意得m2＋n2＋k2＝7，m2＋k2＝6⇒n＝1，1＋k2＝a，1＋m2＝b，所以(a2－1)＋(b2－1)＝6⇒a2＋b2＝8，所以(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2＝8＋2ab≤8＋a2＋b2＝16⇒a＋b≤4，当且仅当a＝b＝2时取等号．选C.答案C二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，将答案填在题中的横线上．13.(2012·广东珠海二模)一个五面体的三视图如图，正视图与侧第一章第一节专题二视图都是等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，部分边长如图所示，则此五面体的体积为________．解析由三视图可知，此几何体是一个底面为直角梯形，有一条侧棱垂直于底面的四棱锥，其体积为V＝13×12×(1＋2)×2×2＝2.答案214．有一多面体的饰品，其表面由6个正方形和8个正三角形组成(如图)，AB与CD所成的角的大小是________．解析连接AD，则AD綊2BC，故延长AB，DC必相交，设交点为E，△ADE是等边三角形，故AB与CD所成的角的大小为60°.第一章第一节专题二答案60°15．(2012·江西赣州联考)三棱锥S－ABC中，∠SBA＝∠SCA＝90°，△ABC是斜边AB＝a的等腰直角三角形，则以下结论中：①异面直线SB与AC所成的角为90°；②直线SB⊥平面ABC；③平面SBC⊥平面SAC；④点C到平面SAB的距离是12a.其中正确结论的序号是________．解析由题意知AC⊥平面SBC，故AC⊥SB，SB⊥平面ABC，平面SBC⊥平面SAC，①、②、③正确；取AB的中点E，连接CE，可证得CE⊥平面SAB，故CE的长度即为C到平面SAB的距离12a，④正确．答案①②③④16．(2012·南京一模)如图，在正三棱柱ABC—A1B1C1中，D为棱AA1的中点，若截面△BC1D是面积为6的直角三角形，则此三棱柱的体积为________．第一章第一节专题二解析设正三棱柱的底面边长为a，高为2h，则BD＝C1D＝a2＋h2，BC1＝a2＋4h2，由△BC1D是面积为6的直角三角形，得2×a2＋h2＝a2＋4h212a2＋h2＝6，解得a2＝8h＝2，故此三棱柱的体积为V＝12×8×sin60°×4＝83.答案83三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分)(2012·北京)如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝6，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE＝2.将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD，如图2.第一章第一节专题二(1)求证：A1C⊥平面BCDE；(2)若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小；(3)线段BC上是否存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直？说明理由．解(1)因为AC⊥BC，DE∥BC，所以DE⊥AC.所以ED⊥A1D，DE⊥CD，所以DE⊥平面A1DC.所以DE⊥A1C.又因为A1C⊥CD.所以A1C⊥平面BCDE.(2)第一章第一节专题二如图，以C为坐标原点，建立空间直角坐标系C—xyz，则A1(0,0，23)，D(0,2,0)，M(0,1，3)，B(3,0,0)，E(2,2,0)．设平面A1BE的法向量为n＝(x，y，z)，则n·A1B→＝0，n·BE→＝0.又A1B→＝(3,0，－23)，BE→＝(－1,2,0)，所以3x－23z＝0，－x＋2y＝0.令y＝1，则x＝2，z＝3.所以n＝(2,1，3)．设CM与平面A1BE所成的角为θ.因为CM→＝(0,1，3)，所以sinθ＝|cos〈n，CM→〉|＝n·CM→|n||CM→|＝48×4＝22.所以CM与平面A1BE所成角的大小为π4.(3)线段BC上不存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直，理由如下：假设这样的点P存在，设其坐标为(p,0,0)，其中p∈[0,3]．设平面A1DP的法向量为m＝(x，y，z)，则m·A1D→＝0，m·DP→＝0.又A1D→＝(0,2，－23)，DP→＝(p，－2,0)，所以2y－23z＝0，px－2y＝0.令x＝2，则y＝p，z＝p3.第一章第一节专题二所以m＝2，p，p3.平面A1DP⊥平面A1BE，当且仅当m·n＝0时成立，即4＋p＋p＝0.解得p＝－2，与p∈[0,3]矛盾．所以线段BC上不存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直．18．(本小题满分12分)(2012·辽宁)如图，直三棱柱ABC—A′B′C′，∠BAC＝90°，AB＝AC＝λAA′，点M，N分别为A′B和B′C′的中点．(1)证明：MN∥平面A′ACC′；(2)若二面角A′—MN—C为直二面角，求λ的值．解第一章第一节专题二(1)解法一：如图，连接AB′，AC′，由已知∠BAC＝90°，AB＝AC，三棱柱ABC—A′B′C′为直三棱柱，所以M为AB′中点．又因为N为B′C′的中点，所以MN∥AC′.又MN⊄平面A′ACC′，AC′⊂平面A′ACC′，因此MN∥平面A′ACC′.解法二：取A′B′中点P，连接MP，NP，而M，N分别为AB′和B′C′的中点，所以MP∥AA′，PN∥A′C′，所以MP∥平面A′ACC′，PN∥平面A′ACC′.又MP∩NP＝P，因此平面MPN∥平面A′ACC′.而MN⊂平面MPN，因此MN∥平面A′ACC′.(2)以A为坐标原点，分别以直线AB，AC，AA′为x轴，y轴，z轴建立直角坐标系O—xyz，如图所示．设AA′＝1，则AB＝AC＝λ，于是A(0,0,0)，B(λ，0,0)，C(0，λ，0)，A′(0,0,1)，B′(λ，0,1)，C′(0，λ，1)，所以Mλ2，0，12，Nλ2，λ2，1.设m＝(x1，y1，z1)是平面A′MN的法向量．由m·A′M→＝0，m·MN→＝0′得λ2x1－12z1＝0，λ2y1＋12z1＝0，可取m＝(1，－1，λ)．设n＝(x2，y2，z2)是平面MNC的法向量，第一章第一节专题二由n·NC→＝0，n·MN→＝0得－λ2x2＋λ2y2－z2＝0，λ2y2＋12z2＝0，可取n＝(－3，－1，λ)．因为A′—MN—C为直二面角，所以m·n＝0，即－3＋(－1)×(－1)＋λ2＝0，解得λ＝2.19．(本小题满分12分)(2012·天津)如图，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC＝45°，PA＝AD＝2，AC＝1.(1)证明PC⊥AD；(2)求二面角A—PC—D的正弦值；(3)设E为棱PA上的点，满足异面直线BE与CD所成的角为30