专题二高考中解答题的审题方法探究

1专题二高考中解答题的审题方法探究一、解答题的地位及考查的范围数学解答题是高考数学试卷中的一类重要题型，这些题涵盖了中学数学的主要内容，具有知识容量大、解题方法多、能力要求高、突显数学思想方法的运用以及要求考生具有一定的创新意识和创新能力等特点，解答题综合考查学生的运算能力、逻辑思维能力、空间想象能力和分析问题、题解决问题的能力，分值占70～80分，主要分六块：三角函数(或与平面向量交汇)、函数与导数(或与不等式交汇)、概率与统计、解析几何(或与平面向量交汇)、立体几何、数列(或与不等式交汇)．从历年高考题看综合题这些题型的命制都呈现出显著的特点和解题规律，从阅卷中发现考生“会而得不全分”的现象大有人在，针对以上情况，在高考数学备考中认真分析这些解题特点并及时总结出来，这样有针对性的进行复习训练，能达到事半功倍的效果．二、解答题的解答技巧解答题是高考数学试卷的重头戏，占整个试卷分数的半壁江山，考生在解答解答题时，应注意正确运用解题技巧．(1)对会做的题目：要解决“会而不对，对而不全”这个老大难的问题，要特别注意表达准确，考虑周密，书写规范，关键步骤清晰，防止分段扣分．解题步骤一定要按教科书要求，避免因“对而不全”失分．(2)对不会做的题目：对绝大多数考生来说，更为重要的是如何从拿不下来的题目中分段得分．我们说，有什么样的解题策略，就有什么样的得分策略．对此可以采取以下策略：①缺步解答：如遇到一个不会做的问题，将它们分解为一系列的步骤，或者是一个个小问题，先解决问题的一部分，能解决多少就解决多少，能演算几步就写几步．特别是那些解题层次明显的题目，每一步演算到得分点时都可以得分，最后结论虽然未得出，但分数却可以得到一半以上．②跳步解答：第一步的结果往往在解第二步时运用．若题目有两问，第(1)问想不出来，可把第(1)问作“已知”，先做第(2)问，跳一步再解答．③辅助解答：一道题目的完整解答，既有主要的实质性的步骤，也有次要的辅助性的步骤．实质性的步骤未找到之前，找辅助性的步骤是明智之举．如：准确作图，把题目中的条件翻译成数学表达式，根据题目的意思列出要用的公式等．罗列这些小步骤都是有分的，这些全是解题思路的重要体现，切不可以不写，对计算能力要求高的，实行解到哪里算哪里的策略．书写也是辅助解答，“书写要工整，卷面能得分”是说第一印象好会在阅卷老师的心理上产生光环效应．④逆向解答：对一个问题正面思考发生思维受阻时，用逆向思维的方法去探求新的解题途径，往往能得到突破性的进展．顺向推有困难就逆推，直接证有困难就反证．三、怎样解答高考数学题21．解题思维的理论依据针对备考学习过程中，考生普遍存在的共性问题：一听就懂、一看就会、一做就错、一放就忘，做了大量的数学习题，成绩仍然难以提高的现象，我们很有必要对自己的学习方式、方法进行反思，解决好“学什么，如何学，学的怎么样”的问题．要解决这里的“如何学”就需要改进学习方式，学会运用数学思想方法去自觉地分析问题，弄清题意，善于转化，能够将面对的新问题拉入自己的知识网络里，在最短的时间内拟定解决问题的最佳方案，实现学习效率的最优化．美国著名数学教育家波利亚在名著《怎样解题》里，把数学解题的一般思维过程划分为：弄清问题→拟订计划→实现计划→回顾．这是数学解题的有力武器，对怎样解答高考数学题有直接的指导意义．2．求解解答题的一般步骤第一步：(弄清题目的条件是什么，解题目标是什么？)这是解题的开始，一定要全面审视题目的所有条件和答题要求，以求正确、全面理解题意，在整体上把握试题的特点、结构，多方位、多角度地看问题，不能机械地套用模式，而应从各个不同的侧面、角度来识别题目的条件和结论以及图形的几何特征与数学式的数量特征之间的关系，从而利于解题方法的选择和解题步骤的设计．第二步：(探究问题已知与未知、条件与目标之间的联系，构思解题过程．)根据审题从各个不同的侧面、不同的角度得到的信息，全面地确定解题的思路和方法．第三步：(形成书面的解题程序，书写规范的解题过程．)解题过程其实是考查学生的逻辑推理以及运算转化等能力．评分标准是按步给分，也就是说考生写到哪步，分数就给到哪步，所以卷面上讲究规范书写．第四步：(反思解题思维过程的入手点、关键点、易错点，用到的数学思想方法，以及考查的知识、技能、基本活动经验等．)(1)回头检验——即直接检查已经写好的解答过程，一般来讲解答题到最后得到结果时有一种感觉，若觉得运算挺顺利则好，若觉得解答别扭则十有八九错了，这就要认真查看演算过程．(2)特殊检验——即取特殊情形验证，如最值问题总是在特殊状态下取得的，于是可以计算特殊情形的数据，看与答案是否吻合．看似复杂，实则简单，带你融汇贯通三角问题主要题型：(1)三角函数式的求值与化简问题；(2)单纯三角函数知识的综合；(3)三角函数与平面向量交汇；(4)三角函数与解斜三角形的交汇；(5)单纯解斜三角形；(6)解斜三角形与平面向量的交汇．【例1】►(2012·山东)已知向量m＝(sinx,1)，n＝(3Acosx，A2cos2x)(A＞0)，函数f(x)3＝m·n的最大值为6.(1)求A；(2)将函数y＝f(x)的图象向左平移π12个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)在0，5π24上的值域．[审题路线图]条件f(x)＝m·n⇓两个向量数量积(坐标化)(a·b＝x1x2＋y1y2)⇓化成形如y＝Asin(ωx＋φ)的形式．(二倍角公式、两角和的正弦公式)⇓A＞0，f(x)的最大值为6，可求A.⇓向左平移π12个单位，⇓纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12倍．⇓由x的范围确定4x＋π3的范围再确定sin4x＋π3的范围，得结论．[规范解答](1)f(x)＝m·n＝3Asinxcosx＋A2cos2x(2分)＝A(32sin2x＋12cos2x)＝Asin2x＋π6.因为A＞0，由题意知A＝6.(6分)(2)由(1)知f(x)＝6sin2x＋π6.将函数y＝f(x)的图象向左平移π12个单位后得到y＝6sin2x＋π12＋π6＝6sin2x＋π3的图象；(8分)再将得到图象上各点横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到y＝6sin4x＋π3的图象．因此g(x)＝6sin4x＋π3.(10分)因为x∈0，5π24，4所以4x＋π3∈π3，7π6，故g(x)在0，5π24上的值域为[－3,6]．(12分)抢分秘诀1．本题属于三角函数与平面向量综合的题目，用向量表述条件，转化为求三角函数的最值问题．正确解答出函数f(x)的解析式是本题得分的关键，若有错误，本题不再得分，所以正确写出f(x)的解析式是此类题的抢分点．2．图象变换是本题的第二个抢分点．3．特别要注意分析判定4x＋π6与sin(4x＋π6)的取值范围．[押题1]已知a＝2(cosωx，cosωx)，b＝(cosωx，3sinωx)(其中0＜ω＜1)，函数f(x)＝a·b，若直线x＝π3是函数f(x)图象的一条对称轴．(1)试求ω的值；(2)若函数y＝g(x)的图象是由y＝f(x)的图象的各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向左平移2π3个单位长度得到，求y＝g(x)的单调递增区间．解(1)f(x)＝a·b＝2(cosωx，cosωx)·(cosωx，3sinωx)＝2cos2ωx＋23cosωxsinωx＝1＋cos2ωx＋3sin2ωx＝1＋2sin2ωx＋π6.∵直线x＝π3为对称轴，∴sin2ωπ3＋π6＝±1，∴2ωπ3＋π6＝kπ＋π2(k∈Z)．∴ω＝32k＋12(k∈Z)．∵0＜ω＜1，∴－13＜k＜13，∴k＝0，∴ω＝12.(2)由(1)得，得f(x)＝1＋2sinx＋π6，∴g(x)＝1＋2sin12x＋2π3＋π6＝1＋2sin12x＋π2＝1＋2cos12x.由2kπ－π≤12x≤2kπ(k∈Z)，5得4kπ－2π≤x≤4kπ(k∈Z)，∴g(x)的单调递增区间为[4kπ－2π，4kπ](k∈Z)．【例2】►(2012·浙江)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知cosA＝23，sinB＝5cosC.(1)求tanC的值；(2)若a＝2，求△ABC的面积．[审题路线图](1)由条件cosA＝23(0＜A＜π)．⇓由sinA＝1－cos2A，可求sinA.⇓由5cosC＝sinB＝sin(A＋C)，⇓展开可得sinC与cosC的关系式，可求tanC.(2)由tanC的值可求sinC及cosC的值．⇓再由sinB＝5cosC可求sinB的值．⇓由a＝2及asinA＝csinC，可求C.⇓由S△ABC＝12acsinB可求解．[规范解答](1)因为0＜A＜π，cosA＝23，得sinA＝1－cos2A＝53.又5cosC＝sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝53cosC＋23sinC.所以tanC＝5.(6分)(2)由tanC＝5，得sinC＝56，cosC＝16.于是sinB＝5cosC＝56.由a＝2及正弦定理asinA＝csinC，得c＝3.设△ABC的面积为S，则S＝12acsinB＝52.(12分)抢分秘诀1．本题主要考查了三角恒等变换、正弦定理等基础知识，同时考查了运算求解能力．62．熟练利用三角恒等变换求得所需的量是本题的第1抢分点．3．熟用三角形面积公式与正弦定理是第2抢分点．[押题2]在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知3cos(B－C)－1＝6cosBcosC.(1)求cosA；(2)若a＝3，△ABC的面积为22，求b，c.解(1)由3cos(B－C)－1＝6cosBcosC，得3(cosBcosC－sinBsinC)＝－1，即cos(B＋C)＝－13，从而cosA＝－cos(B＋C)＝13.(2)由于0＜A＜π，cosA＝13，所以sinA＝223.又S△ABC＝22，即12bcsinA＝22，解得bc＝6.由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得b2＋c2＝13，解方程组bc＝6，b2＋c2＝13，得b＝2，c＝3或b＝3，c＝2.细心计算，规范解答，全面拿下概率与统计问题主要题型：(1)求等可能事件、相互独立事件、独立重复事件．一些由简单事件构成的复杂事件的概率；(2)求离散型随机变量的分布列、期望与方差；(3)求特殊分布的分布列、期望与方差；(4)求统计与概率的综合问题．【例3】►(2012·山东)现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击一次，命中的概率为34，命中得1分，没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为23，每命中一次得2分，没有命中得0分．该射手每次射击的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击．(1)求该射手恰好命中一次的概率；(2)求该射手的总得分X的分布列及数学期望E(X)．[审题路线图]读题、读懂⇓把题中的事件分别用大写字母B，C，D来表示，所求事件用A表示．⇓把题中事件的概率用P(B)，P(C)，P(D)表示．⇓弄清事件A与事件B，C，D之间的关系，⇓由事件的独立性和互斥性表示P(A)并求出，7⇓列出X的可能取值，并分析X取值对应的事件．⇓分别求出X可能取值的概率，⇓列出分布列，⇓根据期望公式求E(X)．[规范解答](1)记：“该射手恰好命中一次”为事件A，“该射手射击甲靶命中”为事件B，“该射手第一次射击乙靶命中”为事件C，“该射手第二次射击乙靶命中”为事件D，由题意知P(B)＝34，P(C)＝P(D)＝23，(1分)由于A＝BC－D－＋B－CD－＋B－C－D，根据事件的独立性和互斥性得P(A)＝P(BC－D－＋B－CD－＋B－C－D)＝P(BC－D－＋B－CD－＋B－C－D)＝P(B)P(C)P(D)＋P(B)P(C)P(D)＋P(B)P(C)P(D)＝34×1－23×