专题十函数与方程思想

专题十函数与方程思想一、考点回顾函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题：二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的。函数与方程的思想是中学数学的基本思想，也是历年高考的重点。1．函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。2．方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系；3．函数方程思想的几种重要形式(1)函数和方程是密切相关的，对于函数y＝f(x)，当y＝0时，就转化为方程f(x)＝0，也可以把函数式y＝f(x)看做二元方程y－f(x)＝0。(2)函数与不等式也可以相互转化，对于函数y＝f(x)，当y＞0时，就转化为不等式f(x)＞0，借助于函数图像与性质解决有关问题，而研究函数的性质，也离不开解不等式；(3)数列的通项或前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点处理数列问题十分重要；(4)函数f(x)＝(1+x)^n(n∈N*)与二项式定理是密切相关的，利用这个函数用赋值法和比较系数法可以解决很多二项式定理的问题；(5)解析几何中的许多问题，例如直线和二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决，涉及到二次方程与二次函数的有关理论；(6)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用布列方程或建立函数表达式的方法加以解决。二、经典例题剖析(根据近几年高考命题知识点及热点做相应的试题剖析，要求例题不得少于8个)1.(湖北卷)关于x的方程(x2－1)2－|x2－1|＋k＝0，给出下列四个命题：①存在实数k，使得方程恰有2个不同的实根；②存在实数k，使得方程恰有4个不同的实根；③存在实数k，使得方程恰有5个不同的实根；④存在实数k，使得方程恰有8个不同的实根.其中假命题的个数是().A.0B.１C.２D.４解析：本题是关于函数、方程解的选择题，考查换元法及方程根的讨论，属一题多选型试题，要求考生具有较强的分析问题和解决问题的能力.思路分析：1.根据题意可令｜x2－1｜＝t(t≥0)，则方程化为t2－t＋k＝0，(*)作出函数t＝｜x2－1｜的图象，结合函数的图象可知①当t＝0或t＞1时，原方程有两上不等的根，②当0＜t＜1时，原方程有4个根，③当t＝1时，原方程有3个根.(1)当k＝－2时，方程(*)有一个正根t＝2，相应的原方程的解有2个；(2)当k＝14时，方程(*)有两个相等正根t＝12，相应的原方程的解有4个；(3)当k＝0时，此时方程(*)有两个不等根t＝0或t＝1，故此时原方程有5个根；(4)当0＜k＜14时，方程(*)有两个不等正根，且此时方程(*)有两正根且均小于1，故相应的满足方程|x2－1|＝t的解有8个，故选A.2.由函数f(x)＝(x2－1)2－|x2－1|的图象(如下图)及动直线g(x)＝k可得出答案为A.3.设t＝|x2－1|(t≥0)，t2－t＋k＝0，方程的判别式为Δ＝1－4k，由k的取值依据Δ＞0、△＝0、△＜0从而得出解的个数.4.设函数f(x)＝，利用数轴标根法得出函数与x轴的交点个数为5个，以及函数的单调性大体上画出函数的图象，从而得出答案A.答案：A点评：思路1、思路2、思路4都是利用函数图象求解，但研究的目标函数有别，思路2利用函数的奇偶性以及交轨法直观求解，很好地体现了数形结合的数学思想，是数形结合法中值得肯定的一种方法；思路3利用方程的根的个数问题去求解，但讨论较为复杂，又是我们的弱点，有利于培养我们思维的科学性、严谨性、抽象性、逻辑推理能力等基本素质.2.(广东卷)已知等差数列共有10项，其中奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差是().Ａ.5Ｂ.4Ｃ.3Ｄ.2解析：设等差数列的首项为a1，公差为d据题意得：答案：C点评：运用等差、等比数列的基本量(a1，d，q)列方程，方程组是求解数列基本问题的通法.3.(安徽卷)已知＜α＜π，tanα＋cotα＝－.(１)求tanα的值；(２)求的值.解析：(１)由tanα＋cotα＝－103得3tan2α＋10tanα＋3＝0，即tanα＝－3或tanα＝－13，又3π4＜α＜π，所以tanα＝－13=为所求.答案：点评：第(１)问是对方程思想方法灵活考查，能否把条件tanα＋cotα＝－103变形为关于tanα的一元二次方程，取决于解题的目标意识和是否对方程思想方法的深刻把握和理解.4.(江西卷)若不等式x2＋ax＋1≥0对于一切x∈(０，12］成立，则a的最小值是().Ａ.０Ｂ.－２Ｃ.－52Ｄ.－３解析：与x2＋ax＋1≥0在Ｒ上恒成立相比，本题的难度有所增加.思路分析：１.分离变量，有a≥－(x＋1x)，x∈(０，12］恒成立.右端的最大值为－52，故选Ｃ.2.看成关于a的不等式，由f(0)≥0，且f(12)≥0可求得a的范围.3.设f(x)＝x2＋ax＋1，结合二次函数图象，分对称轴在区间的内外三种情况进行讨论.4.f(x)＝x2＋1，g(x)＝－ax，则结合图形(象)知原问题等价于f(12)≥g(12)，即a≥－52.5.利用选项，代入检验，Ｄ不成立，而Ｃ成立.故选Ｃ.答案：Ｃ点评：思路１～４具有函数观点，可谓高屋建瓴.思路５又充分利用了题型特点.5.(全国卷Ⅱ)已知抛物线x2＝4y的焦点为Ｆ，Ａ、Ｂ是抛物线上的两动点，且(λ＞0).过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M.(1)证明为定值；(2)设△ABM的面积为S，写出S＝f(λ)的表达式，并求S的最小值.解：(1)证明：由已知条件，得F(0，1)，λ＞0.设A(x1，y1)，B(x2，y2).由，得(－x1，1－y1)＝λ(x2，y2－1)，即将①式两边平方并把代入得③解②、③式得y1＝λ，y2＝1λ，且有x1x2＝－λx22＝－4λy2＝－4，抛物线方程为y＝14x2，求导得y′＝12x.所以过抛物线上A、B两点的切线方程分别是y＝12x1(x－x1)＋y1，y＝12x2(x－x2)＋y2，即.解出两条切线的交点M的坐标为，所以＝.所以为定值，其值为0.(2)由(1)知在△ABM中，FM⊥AB，因而S＝12|AB||FM|.|FM|＝＝＝＝＝.因为|AF|、|BF|分别等于A、B到抛物线准线y＝－1的距离，所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝y1＋y2＋2＝λ＋1λ＋2＝()2.于是S＝12|AB||FM|＝12()3由≥2知S≥4，且当λ＝1时，S取得最小值4.点评：在解析几何中考查三角形面积最值问题是高考的重点和热点，求解的关键是建立面积的目标函数，再求函数最值，至于如何求最值应视函数式的特点而定，本题是用均值定理求最值的.6.设f(x)，g(x)分别是定义在Ｒ上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f′(x)·g(x)＋f(x)·g′(x)＞０，且g(－３)＝０，则不等式f(x)g(x)＜0的解集是().Ａ.(－3，0)∪(3，＋∞)Ｂ.(－3，0)∪(0，3)Ｃ.(－∞，－３)∪(3，＋∞)Ｄ.(－∞，－３)∪(０，３)解析：以函数为中心，考查通性通法，设Ｆ(x)＝f(x)g(x)，由f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，所以F(－x)＝f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)＝－F(x)，即F(x)为奇函数.又当x＜0时，F′(x)＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)＞0，所以x＜0时，F(x)为增函数.因为奇函数在对称区间上的单调性相同，所以x＞0时，F(x)也为增函数.因为F(－3)＝f(－3)g(－3)＝0＝－F(3).如上图，是一个符合题意的图象，观察知不等式F(x)＜0的解集是(－∞，－３)∪(０，３)，所以选D.答案：D点评：善于根据题意构造、抽象出函数关系式是用函数思想解题的关键.题中就是构建函数F(x)＝f(x)g(x)，再根据题意明确该函数的性质，然后由不等式解集与函数图象间的关系使问题获得解决的.7.函数f(x)是定义在［０，１］上的增函数，满足f(x)＝２f(x2)且f(１)＝１，在每一个区间(］(i＝１，２……)上，y＝f(x)的图象都是斜率为同一常数k的直线的一部分.(1)求f(０)及f(12)，f(14)的值，并归纳出f()(i＝１，２，……)的表达式；(２)设直线x＝，x＝，x轴及y＝f(x)的图象围成的梯形的面积为ai(i＝１，２，……)，记Ｓ(k)＝limn→∞(a1＋a2＋…an)，求Ｓ(k)的表达式，并写出其定义域和最小值.解析：以函数为细节，注重命题结构网络化，(１)由f(0)＝２f(０)，得f(０)＝０.由f(１)＝２f(12)及f(１)＝１，得f(12)＝12f(１)＝12.同理，f(14)＝12f(12)＝14.归纳得f()＝(i＝１，２，……).(２)当＜x≤=时，所以｛an｝是首项为12(１－k4)，公比为14的等比数列，所以.Ｓ(k)的定义域为｛k|0＜k≤1｝，当k＝1时取得最小值12.点评：高考命题寻求知识网络化已是大势所趋，而函数是把各章知识组合在一起的最好的“粘合剂”.高考试题注重知识的联系，新而不偏，活而不怪.这样的导向，就要求在学习中必须以数学思想指导知识、方法的运用，注意培养我们用联系的观点去思考问题的习惯.8.对任意实数k，直线：y＝kx＋b与椭圆：(0≤θ＜2π)恒有公共点，则b取值范围是.解析：方法１，椭圆方程为，将直线方程y＝kx＋b代入椭圆方程并整理得.由直线与椭圆恒有公共点得化简得由题意知对任意实数k，该式恒成立，则Δ′＝12(b－1)2－4［１６－(b－1)2］≤0，即－１≤b≤３.方法２，已知椭圆与y轴交于两点(０，－１)，(０，３).对任意实数k，直线：y＝kx＋b与椭圆恒有公共点，则(０，b)在椭圆内(包括椭圆圆周)即有≤1，得－1≤b≤3.点评：方法１是运用方程的思想解题，这是解析几何变几何问题为代数问题的方法.方法２运用数形结合的思想解题，是相应的变代数问题为几何问题的方法.高考试题中设置一题多解的试题就是为了考查学生思维的深度和灵活运用数学思想方法分析问题和解决问题的能力.评判出能力与素养上的差异.三、方法总结与2008年高考预测(一)方法总结1．函数描述了自然界中量的依存关系，反映了一个事物随着另一个事物变化而变化的关系和规律。函数思想的实质是剔除问题的非数学特征，用联系和变化的观点提出数学对象，抽象其数学特征，建立函数关系；2．在解决某些数字问题时，先设定一些未知数，然后把它们当作已知数，根据题设本身各量间的制约，列出等式，所设未知数沟通了变量之间的关系，这就是方程的思想；3．函数与方程是两个不同的概念，但它们之间有着密切的联系，一个函数若有解析表达式，那么这个表达式就可看成是一个方程．一个二元方程，两个变量存在着对应关系，如果这个对应关系是函数，那么这个方程可以看成是一个函数，一个一元方程，它的两端可以分别看成函数，方程的解即为两个函数图象交点的横坐标，因此，许多有关方程的问题可以用函数的方法解决；反之，许多有关函数的问题则可以用方程的方法解决．总之，在复习中要注意领悟蕴含在知识和解题过程中函数和方程的思想，用它来指导解题。在解题中，同时要注意从不同的角度去观察探索，寻求多种方法，从而得到最佳解题方案。(二)2008年高考预测1.纵观近几年的高考试题，函数的主干知识、知识的综合应用以及函数与方程思想等数学思想方法的考查，一直是高考的重点内容之一。在高考试卷上，与函数相关的试题所占比例始终在20%左右，且试题中既有灵活多变的客观性试题，又有一定能力要求的主观性试题。函数与方程思想是最重要的一种数学思想，高考中所占比重比较大，综合知识多、题型多、应用技巧多。在高中新课标数学中，还安排了函数与方程这