专题四应用数学方法解决物理问题

1专题四应用数学方法解决物理问题【专题分析】数学是解决物理问题的重要工具，借助数学方法可使一些复杂的物理问题显示出明显的规律性，达到打通关卡、长驱直人、解决问题的目的．中学物理《考试大纲》中对学生运用数学方法解决物理问题的能力作了明确的要求，即要求学生有“应用数学处理物理问题”的能力．所谓数学方法，就是要把客观事物的状态、关系和变化过程用数学语言表达出来，并进行推导、演算和分析，进而预测、解释和判断物理问题．可以说，任何物理问题的分析和处理过程，都是方法的运用过程．本专题中所指的数学方法，都是一些特殊的、典型的数学方法．处理中学物理问题常用的数学方法有极值法、几何法、分类讨论法、图象法、数学归纳法、微元法、三角函数法、等差(比)数列求和法、比例法等．【题型讲解】题型一、极值法和分类讨论法[例1]质量为m的物体放在水平面上，在沿水平方向、大小为F的拉力(Fmg)作用下做匀速直线运动，如图所示．(1)求物体与水平面之间的动摩擦因数(2)现在物体上再加另一个大小为F的力．若要使物体仍沿原方向做匀速运动，则该力的方向应如何?(3)若再加另一个大小为F的力，要使物体沿原方向移动一定距离s后动能的增加最大，则该力的方向又应如何?解析：(1)物体做匀速运动，有：F=umg，故(2)若要使物体仍沿原方向做匀速运动，则该力的方向分两种情形：①设所加的力F斜向右下方，且与水平方向的夹角为，由平衡条件得：F+Fcos一UfN=O，FN—mg-Fsin=O，得=arctan(mg/F)．②设所加的力F斜向左上方，且与水平方向的夹角为，由平衡条件得：F—Fcos一UfN=0，FN—mg十Fsin=0，得=arctan(mg/F)．(3)若要使物体沿原方向移动一定距离s后动能的增加最大，则要合外力F’最大．设后来所加的外力F斜向右上方且与水平成夹角，根据平衡条件得：F’=F+Fcos一UfN，Fsin+Fn一mg=O，因此有F’=F(COS+usin)，令tana=u，则有：当1)cos(时，F’有最大值即时，合外力有最大值为：mgF)sin1cos11(1'222FF)cos(1'2FF)arctan(mgF22)(1'mgFFF2[变式训练]如图所示，一个带有圆弧的粗糙滑板A，总质量mA=3kg，其圆B从滑板A的右端以水平初速度5m／s2滑上A，小木块B与滑板A之间的动摩擦因数O．15，小木块B滑到滑板A的左端，并沿着圆弧部分向上滑行一段距离后返回，最终停在滑板A的水平部分上．(1)求A、B相对静止时的速度大小．(2)若B最终停在A水平部分上的R点，PR=1m，求B在圆弧上运动的过程中因摩擦而产生的热量．(3)若圆弧部分光滑，且除初速度功不确定外其他条件不变，讨论小木块B在整个运动过程中，是否有可能在某段时间里相对地面向右运动?如不可能，说明理由；如可能，试求出B既能向右滑动、又不滑离木板A的初速度的取值范围．(取g=10m／s2，结果可以保留根号)思考与总结：题型二、数列法在物理中的应用【例2】如图所示，质量M=10kg、上表面光滑的、足够长的木板在水平拉力F=50N的作用下，以0v=5m/s的初速度沿水平地面向右匀速运动．现有足够多的小铁块，它们质量均为m=1kg，将一铁块无初速度地放在木板最右端，当木板运动了L=1m时，又无初速度地在木板最右端放上第二块铁块，以后只要木板运动L就在木板最右端无初速度放一铁块(g=10m／s2)．问：(1)第一块铁块放上后，木板运动1m时，木板的速度为多大?(2)最终有几块铁块能留在木板上?(3)最后一块铁块与木板右端距离为多少?解析：(1)由F=Mg得：=0．5第一块铁块放上后，木板做匀减速运动，由动能定理得：umgL=Mvo2/2一M21v/2代入数据得：v1=62m／s．(2)对木板有=f-F=nmg第一块铁块放上后第二块铁块放上后；第n块铁块放上后联立解得：木板停下时0nv，得n=6．6，所以最终有7块铁块能留在木板上．(3)设当第7块铁块放上后，最后静止的位置距木板右端距离为d，由第(2)问得：合F21202121MvMvmgL222121212MvMvmgL2212121nnMvMvmgLn2202121)21(nMvMvmgLn202172)16(6MvmgdmgL3解得：[变式训练]小球从45米高处自由下落，着地后又跳起，然后又落下，每与地面相碰一次，速度就减少为碰前的倍。求小球从下落到停止所用的总时间。思考与总结：题型三、几何知识在物理中的应用【例3】一座电视塔高为H。若地球半径为R，求电视塔发射的微波在地面上能传播多远？分析：如图所示，微波传播的距离等于圆弧AB的长度s，且Rs（1）根据三角函数关系HRRcos（2）根据三角函数的近似计算公式，还有!6!4!21cos642=1-!22=1-22（3）解答：由（2）和（3）式可得HRHHRR2:2122因为HR，则上式又可以表示为RH2根据（1）式和（4）式，则微波传播距离可表示为[变式训练]如图所示，在半径为R的半圆形区域中有一匀强磁场，磁场的方向垂直于纸面，磁感应强度为B．一质量为m、带电荷量为q的粒子以一定的速度沿垂直于半圆直径AD方向经P点(AP=d)射入磁场(不计重力的影响)．试求：(1)如果粒子恰好从A点射出磁场，求粒子入射的速度．(2)如果粒子经纸面内Q点从磁场中射出，出射方向与半圆在Q点切线方向的夹角为，md74)21(RHRHRS224如图所示，求入射粒子的速度．思考与总结：【强化训练】1．如图所示，两物块A、B放在木板C上，A的质量是B的10倍，A、B随C一起向右做匀速直线运动．若木板C足够长，且在一颗钉子的阻碍下突然停止运动，则下列叙述中，可能的是()A．由于A的惯性大，故A、B之间的距离一定减小B．由于B的惯性小，故A、B之间的距离一定减小C．A、B之间的距离变化的情况与匀速运动的速度有关D．A、B之间的距离可能增大，也可能减小2．如图所示，AC是上端带定滑轮的固定竖直杆，质量不计的轻杆BC一端通过铰链固定在C点，另一端B悬挂一重为G的重物，且B端系有一根轻绳并绕过定滑轮A。现用力F拉轻绳，开始时BCA900，现使BCA缓慢变小，直到杆BC接近竖直杆AC。在此过程中，杆BC所受的力()A．大小不变B．逐渐增大C．逐渐减小D．先增大后减小3．如图所示，在足够大的屏MN的上方有磁感应强度为B的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里，P为屏上一小孔，PC与MN垂直．一束质量为m、电荷量为一q的粒子(不计重力)以相同的速率v从P处射人磁场区域，粒子入射方向在与磁场垂直的平面里，且散开在与PC夹角为口的范围内，则在屏MN上被粒子打中区域的长度为A．B.C.D.4.公路上某客车正以v1=15m／s的速度向前匀速行驶，突然发现其正前方S0=15m处有另一客车正由静止开始以a=2m/S2的加速度向前开动．为避免与前车碰撞，该车必须减速，则加速度的大小至少为()A．4．5m／s2B5．Om／s2C5．5m／s2D．6．0m／s25.在如图甲所示的电路中，R1=R，R1R2+r(r为电源的内阻)在滑动变阻器的滑片P由a向右移到b的过程中，下列说法不正确的是A.电源的输出功率增大B.电源内部的电势降落减小c.R1消耗的功率先增大后减小D．R2消耗的功率一定增大6.如图所示，质量相同的两小球A、B均用细线吊在天花板上(A、B两球均不触地)．当小球A拉离平衡位置，从高h处由静止开始向下摆动至最低点时，恰与小球B正碰，则碰后B球能升起的高度可能为()A．h/2B.hC.h/4D.h/8qBmv2qBmvcos2qBmvsin12qBmvcos1257.钍核Th23090发生衰变生成镭核Ra22688并放出一个粒子。设该粒子的质量为m、电荷量为q，它进入电势差为U的带窄缝的平行平板电极1S和2S间电场时，其速度为0v，经电场加速后，沿ox方向进入磁感应强度为B、方向垂直纸面向外的有界匀强磁场，ox垂直平板电极2S，当粒子从p点离开磁场时，其速度方向与ox方位的夹角60，如图所示，整个装置处于真空中。（1）求粒子在磁场中沿圆弧运动的轨道半径R；（2）求粒子在磁场中运动所用时间t。8.如图所示，半径为R、圆心为O的大圆环固定在竖直平面内，两个轻质小圆环套在大圆环上．一根轻质长绳穿过两个小圆环，它的两端都系上质量为m的重物，忽略小圆环的大小。(1)将两个小圆环固定在大圆环竖直对称轴的两侧θ=30°的位置上(如图)．在—两个小圆环间绳子的中点C处，挂上一个质量M=2m的重物，使两个小圆环间的绳子水平，然后无初速释放重物M．设绳子与大、小圆环间的摩擦均可忽略，求重物M下降的最大距离．(2)若不挂重物M．小圆环可以在大圆环上自由移动，且绳子与大、小圆环间及大、小圆环之间的摩擦均可以忽略，问两个小圆环分别在哪些位置时，系统可处于平衡状态?9．一个质量为M的雪橇静止在水平雪地上，一条质量为m的爱斯基摩狗站在该雪橇上．狗向雪橇的正后方跳下，随后又追赶并向前跳上雪橇；其后狗又反复地跳下、追赶并跳上雪橇，狗与雪橇始终沿一条直线运动．若狗跳离雪橇时雪橇的速度为V，则此时狗相对于地面的速度为V+u(其中u为狗相对于雪橇的速度，V+u为代数和．若以雪橇运动的方向为正方向，则V为正值，u为负值)．设狗总以速度v追赶和跳上雪橇，雪橇与雪地间的摩擦忽略不计．已知v的大小为5m/s，u的大小为4m/s，M=30kg，m=10kg.(1)求狗第一次跳上雪橇后两者的共同速度的大小．(2)求雪橇最终连度的大小和狗最多能跳上雪橇的次数．(供使用但不一定用到的对数值：lg2=O.301，lg3=0.477)