专题求恒成立问题参数范围

专题——求参数取值范围一般方法概念与用法恒成立问题是数学中常见问题，也是历年高考的一个热点。题型特点大多以已知一个变量的取值范围，求另一个变量的取值范围的形式出现。这样的题型会出现于代数中的不等式里也会出现在几何里。就常考题型的一般题型以及解题方法，我在这里做了个小结。题型以及解题方法一，分离参数在给出的不等式中，如果能通过恒等变形分离出参数，即：若afx恒成立，只须求出maxfx，则maxafx；若afx恒成立，只须求出minfx，则minafx，转化为函数求最值。例1、已知函数lg2afxxx，若对任意2,x恒有0fx，试确定a的取值范围。解：根据题意得：21axx在2,x上恒成立，即：23axx在2,x上恒成立，设23fxxx，则23924fxx当2x时，max2fx所以2a例2．已知当xR时，不等式a+cos2x54sinx+45a恒成立，求实数a的取值范围。分析：在不等式中含有两个变量a及x，其中x的范围已知（xR），另一变量a的范围即为所求，故可考虑将a及x分离。解：原不等式即：4sinx+cos2x45aa+5要使上式恒成立，只需45aa+5大于4sinx+cos2x的最大值，故上述问题转化成求f(x)=4sinx+cos2x的最值问题。f(x)=4sinx+cos2x=2sin2x+4sinx+1=2(sinx1)2+33,∴45aa+53即45aa+2上式等价于2)2(4504502aaaa或04502aa，解得54a8.说明：注意到题目中出现了sinx及cos2x，而cos2x=12sin2x,故若把sinx换元成t,则可把原不等式转化成关于t的二次函数类型。二，变主换元在给出的含有两个变量的不等式中，学生习惯把变量x看成是主元（未知数），而把另一个变量a看成参数，在有些问题中这样的解题过程繁琐。如果把已知取值范围的变量作为主元，把要求取值范围的变量看作参数，则可简化解题过程。例3．对于满足|p|2的所有实数p,求使不等式x2+px+12p+x恒成立的x的取值范围。分析：在不等式中出现了两个字母：x及P,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。显然可将p视作自变量，则上述问题即可转化为在[2，2]内关于p的一次函数大于0恒成立的问题。解：不等式即(x1)p+x22x+10,设f(p)=(x1)p+x22x+1,则f(p)在[2,2]上恒大于0，故有：)2(0)2(ff即0103422xxx解得：1113xxxx或或∴x1或x3.例4、若不等式2211xmx对满足2m的所有m都成立，求x的取值范围。解：设2121fmmxx，对满足2m的m，0fm恒成立，2221210202021210xxffxx解得：171322x三，利用二次函数根的分布例5.设f(x)=x22ax+2,当x[1,+)时，都有f(x)a恒成立，求a的取值范围。分析：题目中要证明f(x)a恒成立，若把a移到等号的左边，则把原题转化成左边二次函数在区间[1,+)时恒大于0的问题。解：设F(x)=f(x)a=x22ax+2a.ⅰ)当=4（a1)(a+2)0时，即2a1时，对一切x[1,+)，F(x)0恒成立；ⅱ）当=4（a1)(a+2)0时由图可得以下充要条件：,1220)1(0af即,1030)2)(1(aaaa得3a2;综合可得a的取值范围为[3，1]四，利用集合与几何之间的关系在给出的不等式中，若能解出已知取值范围的变量，就可利用集合与集合之间的包含关系来求解，即：,,mnfaga，则fam且gan，不等式的解即为实数a的取值范围。例6、当1,33x时，log1ax恒成立，求实数a的取值范围。解：1log1ax-1oxy（1）当1a时，1xaa，则问题转化为11,3,3aa3113aa3a（2）当01a时，1axa，则问题转化为11,3,3aa1313aa103a综上所得：103a或3a五，几何中的求参要确定变量k的范围，可先建立以k为函数的目标函数)(tfk，从而使这种具有函数背景的范围问题迎刃而解。的范围。轴上截得在求若若两点相交于与的直线的焦点，过点是给定抛物线一个参数的范围）、（双参数且已知其中例myl],9,4[,AFFB.B,AClFCF,4xy:C72].34,43[]43,34[km].916,169[214k1yy(yyyyyy)1(yyyy,yyx1(1x)y,x1()y,1x(AFFB,km)1x(kyl22212121211211212121122所求得：，由韦达定理代入整理）由）得由方程为：解：（略解）设直线小练一下1．已知函数]4,0(,4)(2xxxaxxf时0)(xf恒成立，求实数a的取值范围。2.已知不等式(1)21xmx对0,3x恒成立，求实数m的取值范围。3.已知不等式(1)21xmx对0,3m恒成立，求实数x的取值范围。4.已知不等式2220xax对xR恒成立，求实数a的取值范围。5.已知不等式2220xax对1,2x恒成立，求实数a的取值范围。6.已知不等式2220xax对1,2x恒成立，求实数a的取值范围。7.对任意]1,1[a，不等式024)4(2axax恒成立，求x的取值范围。