专题讲座7-三维球对称势问题

三维球对称势问题定态薛定鄂方程222VEm分立变量后22212(1);ddRmrrVrEllRdrdr径向方程2222211sin(1).sinsinYYllY角方程令/Rur径向方程可以化为222221.22llduVuEumdrmr角方程就是轨道角动量平方的本征值方程22((1)mmllLYllY在径向方程中221,2effllVVmr称为等效势22(/2)[(1)/]mllr称为离心项,此项类似于经典力学中的离心力，使粒子有向外的倾向（背离原点）。例题1对无限深球势阱，0,;,.raVrra求其波函数和允许的能量值。解：在势阱外面，波函数是零；在势阱里面，径向方程为：22221,lldukudrr和通常一样，式中2,mEk我们的问题是在给定的边界条件0ua下求解这个方程。0l时比较简单：222sincos.dukuurAkrBkrdr不过要记住，实际的径向波函数是()/Rrurr，当0r时，[cos()]/krr趋于无穷大。因此我们必须选择0B。边界条件又要求sin0ka，因此kan，其中n是整数。允许的能量显然为：22202,2nnEma(1,2,3,....),n这同一维无限深方势阱（2.27式）一样。归一化ur得到2/Aa；考虑角度部分（此刻的例子中是平凡的，00,1/4Y），我们得到：00sin/1.2nnrara[注意到定态是由三个量子数来标记，,nl和m，,,nlmr。而能量：nlE，仅与,nl有关。]方程4.41的一般解（对任意整数l）：,llurArjkrBrnkr其中ljx是l阶的球Bessel函数，lnx是l阶的球Neumann函数。它们的定义如下：1sin1cos;.lllldxdxjxxnxxxdxxxdxx在原点，球贝塞尔函数是有限的，但球Neumann函数是无穷大。这样，我们必须选择0lB，因此：.lRrAjkr我们还有边界条件，0Ra。显然k必须满足：0;ljka即（ka）是第l阶球Bessel函数的零点。球Bessel函数是振荡的,每个函数都有无限多个零点。可是（不幸的是）这些零点不是处在优美的敏感点（如,nn，或类似的点）；它们必须通过数值计算得到。总之，边界条件要求1,nlka这里nl是l阶球Bessel函数的第n个零点。这样允许的能量值可以写作222,2nlnlEma波函数为：,,/,,nlmnlmlnllrAjraY式中常数nlA由归一化确定。每个能级都是21l重简并的，因为对应每个l值，有21l个不同的m值。类氢原子径向方程22222201(1).242duZelluuEmdrrmr能量本征值22122201,1,2,3,...24EmZeEnnn波函数,,,.mnlmnllrRrY简并度2nDn(不考虑自旋,考虑自旋为22n)例题2三维谐振子的哈密顿为2220122pHmrm试求2,,zHLL的共同本征函数解:本来这个哈密顿可以分为x,y,z三个方向上三个谐振子的方程,不过题要求求H,2L,zL的共同本征函数,所以需要按求解氢原子本征函数的方法做方便起见,令2012mH,2L,zL的共同本征函数表示为1()(,)()(,)mmllRrYurYr其中球谐函数满足角动量平方本征方程mlmlYllYL22)1(代入能量本征值方程,得到()ur满足的径向方程2222221[(1)]022duErllumdrur令2r1/4()()ur上式可以化为2222213{[(1)]}02444162dEllmdm(1)如果我们令4'E,'4E163)1(41)1(''llll则(1)式写为22'2'''22{(1)}022dEllmdm这个方程在形式上就和类氢原子的径向方程一样了(只不过r变为了)(库仑势为rrV/)('02'Ze)(Z原子核带电数)“能量”本征值是'2'2'222'2()()22(1)mmEnnl3,2,1,0n把4'E,'4E163)1(41)1(''llll(1-1)代入上式,并考虑到2021,412'll可以得到能量本征值为)23()232(00NlnE径向波函数为2200()3()exp(/2)(,,)2lrurRrrrFnlrr例题3(a)证明三维维里(Virial)定理：（对于定态）2.rTV(b)利用三维维里定理证明氢原子满足：;nTE2.nVE(c)利用维里定理证明三维谐振子满足：2.nTVE证:(a)由222,,(),,,,,,,,,1112xyzxyzxxyyzzxyzdiiHHxpypzpdtiiiHxpHypHzpiiiiiixHpHxpyHpHypzHpHzpVVVxpypzpxmymzmVTrprpr对于定态期待值不随时间变化,所以2.rTV(b)对氢原子222220044eeVrxyz222222222,,VxVyVzVVVxxyzyxyzzxyz所以VVr2002nnnTVTETEVE(c)对三维谐振子势222222222222211()22,,,()2VmrmxyzVVVmxmymzxyzVmxyzVr所以22/2nnTVETVTVTVE