东北大学概率论与数理统计期末试题

2010-2011(1)概率统计试题及参考答案一、填空题（每小题3分，共30分.）1.随机事件是样本点的集合.口袋中有5只外形相同的球，分别编号1,2,3,4,5，从中同时取3只球，则球的最小号码为1的事件为{}.2.设随机变量X的密度函数为f(x)=2(1)21()2xex，则P{–1X1}=.（Φ(1)=0.8413,Φ(2)=0.9772.）3.设D(X)≠0,D(Y)≠0，那么由D(X+Y)=D(X–Y)一定有X,Y．（独立、不独立、相关、不相关）4.若随机变量X1,X2,X3相互独立，且X1～P(2),X2～E(1),X3～B(4,0.25)，则E(X1–4X2X3)=，D(2X1–3X2+X3)=.5.已知E(X)=12,D(X)=1，那么利用切比雪夫不等式估计P{9X15}.6.设X1,X2,…,Xn相互独立，均服从χ2(8)，则算术平均11niiXn依概率收敛于.7.当样本容量一定时，显著性水平α越小，即犯第类错误的概率就越，而犯第类错误的概率就越.8.设X1,X2,…,Xn是来自均匀总体U(1,7)的一个样本，X为样本均值，2S为样本方差，则E(X)=，E(2S)=.9.设X1,X2,…,X10是来自正态总体N(0,0.5)的一个样本，则(X1–X2)2+(X3–X4)2+…+(X9–X10)2～分布，2221392222410XXXXXX～分布.10.已知来自总体N(μ,0.92)，容量为9的样本的样本均值x=5，则μ的置信度为0.95的置信区间为.(z0.05=1.645,z0.025=1.96,t0.05(8)=1.8595,t0.025(8)=2.306.)二、（共10分）1.（4分）某产品40件为一批，每批产品中没有次品的概率为0.4，有1,2,3件次品的概率分别为0.3,0.2,0.1.今从某批产品中随机地取10件，求其中恰有1件次品的概率.（注：只列出计算概率的算式，不要求计算结果.）2.（6分）已知随机变量X取四个值–1,0,2,3，相应的概率分别为1357,,,24816cccc，（1）求常数c；（2）计算P{X3|X–1}.三、（12分）已知随机变量(X,Y)的分布律为\10110.30.20100.40.1XY，（1）求D(2X–Y)；（2）判断X,Y的独立性与相关性；（3）求Z=max{X,Y}的分布律.四、（共22分）1.（6分）设随机变量X的密度函数为22,0,()0,0,xxexfxx求Y=X2的密度函数.2.（16分）设随机变量(X,Y)的密度函数为,0,(,)0,,xeyxfxy其他（1）求P{X1}；（2）求()Xfx和()Yfy，并判断X,Y的独立性；（3）求()YXfyx；（4）求Z=X+Y的分布.五、（6分）设各零件的重量是相互独立的随机变量，它们均服从相同的分布，期望、均方差分别为0.5kg和0.1kg，求2500只零件的总重量超过1240kg的概率.（(1)0.8413,(2)0.9772.）六、（8分）设X1,X2,…,Xn是来自总体X的简单随机样本，X的密度函数为),,()0,,xaexafxxa（其中a(a0)未知，求a的矩估计和最大似然估计.七、（6分）规定企业污水中汞的最高允许排放浓度为0.05mg/L.今从某企业排放的污水中抽取了9个水样，测得汞含量的样本均值为0.051mg/L，样本均方差为0.003mg/L.假设每升污水中汞的含量服从正态分布，那么在显著水平0.10下该企业排放的污水中汞含量超标吗？(假设H0:μ≤0.05,H1:μ0.05.t0.10(9)=1.3830,t0.10(8)=1.3968,t0.05(9)=1.8331,t0.05(8)=1.8595.）八、（6分）下面是A班和B班各10位学生的某科考试成绩（10分制）：A班成绩：65887610497B班成绩：877105810686平均成绩分别为Ax7,Bx7.5，成绩均方差分别为As1.83,Bs1.65.又定义极差=11max{}min{}iiininxx(其中12,,,nxxx为样本数据).（1）求每班成绩的众数、中位数和极差；（2）试根据平均成绩、成绩均方差与（1）中的结果，对两班的成绩作对比评点.一、1.{(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)};2.0.4772;3.不相关;4.–2,3174;5.≥8/9;6.8;7.一，小，二，大;8.4,3;9.χ2(5),F(5,5);10.(4.412,5.588).二、1.解1919191392383371010104040400.30.20.1CCCCCCpCCC2.解(1)由1357124816cccc，得c=16/37.(2)P{X3|X–1}=35{13}22480.75862357{1}294816PXPX三、解(1)D(2X–Y)=4D(X)+D(Y)–4cov(X,Y)=4D(X)+D(Y)–4(E(X,Y)–E(X)E(Y))E(X)=0,E(X2)=1,D(X)=1;E(Y)=–0.2,E(Y2)=0.4,D(Y)=0.36;E(X,Y)=0.4D(2X–Y)=4×1+0.36–4×0.4=2.76(2)∵cov(X,Y)=0.4∴X,Y相关∵P{X=1,Y=–1}=0≠P{X=1}P{Y=–1}=0.5×0.3=0.15∴X,Y不独立(3)Z-101p0.30.20.5五、解设Xi表示第i个零件的重量，则E(Xi)=0.5,D(Xi)=0.12，i=1,2,..,2500.根据中心极限定理可知，2500只零件的总重量X=X1+X2+…+X2500近似地服从N(2500×0.5,2500×0.01)=N(1250,25)，于是所求事件的概率1240125012401(2)0.97725PX.四、1.解方法一∵2()20(0)yxxx∴1,0,()20,0XYfyyfyyy,0,0,0.yeyy方法二2(){}{}YFyPYyPXy当0,()0,()0;YYyFyfy0,()YXXyFyPyXyFyFy1()21202YXXyyfyfyfyyyeey因此,0,()0,0.yYeyfyy2.解(1)P{X1}11100012xxxdxedyxedxe(2)0,0,,0,()(,)0,0.0,0xxxXedyxxexfxfxydyxx,0,,0,()(,)0,0.0,0xyyYedxyeyfyfxydxyy(,)()()XYfxyfxfy，故X,Y不独立.(3)当x0时，()0xXfxxe，这时有1,0,(,)()()0,YXXyxfxyfyxxfx其他.(4)dxxzxfzfZ),()(，其中,2,(,)0,.其他xexzxfxzx当z≤0时，(,)0fxzx，此时0)(zfZ；当z0时，(,)xfxzxe，此时22()zzxzzZfzedxee，所以Z的概率密度为2,0,()0,0.zzZeezfzz六、解E(X)=()0()()txaxataxfxdxxedxtaedt001tttedtaedta令1+a=X，得a的矩估计ˆ1aX.当x1,x2,…,xn≥a时，似然函数为1212()()()()()nnxaxxxnaxaxaLaeeee，x1,x2,…,xn≥0，取对数并求导数，有12(ln())(())0nLaxxxnan，故L(a)是a的增函数，即a越大，L(a)的值就越大.但由x1,x2,…,xn≥a可知，a≤min{x1,x2,…,xn}.因此a的最大似然估计量为a=min{X1,X2,…,Xn}.七、解提出假设H0:μ≤0.05,H1:μ0.05，检验统计量0.05(8)/9XTtS，拒绝域为0.1(8)1.3968Tt由于0.050.0510.050.00111.39680.001/90.003/9xs，故接受假设H0，即认为在显著水平0.10下该企业排放的污水中汞含量不超标.八、解(1)A班众数6,7,8B班众数8A班中位数7B班中位数7.5A班极差6B班极差5(2)B班学生的成绩好于A班的.一、因为B班学生的平均成绩Bx7.5高于A班的平均成绩Ax7，说明B班学生的成绩整体上好于A班学生的成绩；二、B班的成绩均方差Bs1.65小于A班的成绩均方差As1.83，以及B班的极差小于A班的极差，都说明A班学生的成绩分布相对比较分散；三、A班的众数多小于B班的众数，又说明A班学生的成绩在低分段的相对比较多.2011-2012(1)概率统计试题及参考答案一、选择题（每小题3分，共15分）1.随机事件ABABAB发生，意味着[].(A),AB都发生；(B),AB至多有一个发生；(C),AB恰好有一个发生；(D),AB至少有一个发生.2.设随机变量230.40.6X，则X的分布函数为[].(A)0,2,()0.4,23,0.6,3.xFxxx(B)0.4,2,()0.6,23,1,3.xFxxx(C)0,2,()0.4,23,1,3.xFxxx(D)0,2,()0.4,23,1,3.xFxxx3.已知221122(,),(,)XNYN，且12{1}{1}PXPY，正确的是[].(A)12；(B)12；(C)12；(D)12.4.设12,,,nXXX是来自总体2(,)N的简单随机样本，2,XS分别为样本均值和样本方差，不正确的是[].(A)(0,1)XNn;(B)222(1)(1)nSn;(C)()XtnSn;(D)X与2S相互独立.5.对原假设H0和备择假设H1，[]为犯第一类错误.(A)H1真，拒绝H1；(B)H1不真，拒绝H1；(C)H1真，接受H1；(D)H1不真，接受H1.二、填空题（每小题4分，共20分）1.设事件A1,A2,A3相互独立，且P(Ai)=1/3(i=1,2,3)，则A1,A2,A3至少发生一个的概率为.2.设随机变量X,Y,Z相互独立，概率密度函数分别为21(1)2211,13,1,0,()()(),2220,,0,0,yzXYZxeyfxfyfzezy其他，则E(3X–YZ2)=.3.二维正态变量(,)(2,1,8,15,0)XYN，则Y，X与Y（独立，不独立，相关）.4.设X,2S是二项总体B(10,0.4)的简单随机样本的样本均值和样本方差，则E(X–2S)=.5.设某次考试的成绩服从正态分布2(,)N，其中2,均未知.随机调出其中36位考生的成绩，算得平均分是66.5，标准差为15.为检验这次考试的平均成绩是否为70分，应提出原假设、备择假设以及检验用的检验统计量分别为.三、（12分）设随机变量(X,Y)的分布律为\10200.20.30100.40.1XY，（1）求Z=2X–Y的分布律；（2）求Cov(X,Y)；（3）判断X,Y的独立性与相关性.四、（共11分）1.（6分）设随机变量,02,()0,axxXfx其他.（1）求常数