东南大学_数学建模试卷_11-12-3A(含答案)

1东南大学考试卷（A卷）课程名称数学建模与数学实验考试学期2011-2012-3得分适用专业各专业考试形式闭卷考试时间长度120分钟（考试可带计算器）题目一二三四五六七八总分得分批阅人所有数值结果精度要求为保留小数点后两位。一．选择题：（每题3分，共15分）1本课程介绍的数学模型分类方法是（）A．按照数学模型的应用领域；B.按照建模的数学方法；C．按照建模的目的；D.按照模型的表现特征。2.在非线性方程求近似根时，下列论述正确的是()A.二分法总是可以求出近似根；B.牛顿切线法总是可以求出近似根；C.牛顿割线法总是可以求出近似根；D.以上都不对。3.下列论述正确的是（）A.一致矩阵一定能通过一致性检验；B.正互反矩阵一定是判断矩阵；C.能通过一致性检验的矩阵是一致矩阵；D.判断矩阵一定是一致矩阵。4.对于初值很小的阻滞增长模型的描述正确的是（）A.增长率一直变大；B.增长率一直变小；C.增长率先增后减；D.增长率先减后增。5.泛函210(())[2()('())]tJxtxtextdt取极值的条件是（）A．'''0txxe；B.1'0txe；C．'''0txxe；D.以上都不对。学号姓名密封线自觉遵守考场纪律如考试作弊此答卷无效2二．判断题（每题3分，共15分）正确的打√，不正确的打×。6.用无量纲量表示一个物理规律时，最多可以减少3个变量。（）7.线性最小二乘问题的标准模型为正规方程。（）8.能通过一致性检验的判断矩阵是一致矩阵。（）9.Leslie模型描述的种群存在有稳定的年龄结构。（）10.寿命服从指数分布的元件存在预防性更换策略。()三．应用题（共70分）11.（12分）某食品店坚果的销售情况及其每周的最大供应量如下表所示：坚果纯利润（元/公斤）最大供应量（公斤/周）杏仁3050碧根果5030腰果40100山核桃6080如果统计表明每周所有坚果的销售总量大约维持在200公斤，杏仁与腰果采购总量不少于40公斤，但也不超过120公斤，碧根果采购量不少于山核桃采购量的60%，为了使得收益达到最大，请为他的供货量建立合适的数学模型，并判断该数学模型的类型。不需要求出具体数值结果。312（12分）用无量纲化思想化简下面的数学模型（假设所有的参数均为正常数），使得参数个数尽可能减少。()dxayxcdtbxdyydexdt13（12分）（1）求解Logistic模型'0.01(1/10000),(0)1000xxxx。（2）求该模型变化率最大时刻。414.（16分）变量x与y的一组观测数据如下：x34567y0.230.420.570.680.78（1）作半对数图，确定适合的拟合函数形式。（2）用（1）里确定的函数形式对上述数据进行曲线拟合（保留到小数点后1位）。515．（18分）某种动物种群最大年龄为15岁，如果每5年为一个单位时段观测一次种群数量变化。各组在一个时间段内雌性后代的繁殖率分别为0.1，0.9，1.5；前两个年龄组的死亡率分别为0.9，0.2。（1）试建立合适的数学模型描述该种群的发展；（2）该种群会否绝灭？有没有稳定的年龄结构？为什么？如果有稳定的年龄结构，试求稳定的年龄结构和该种群平均每个时段的增长率。(3)由于环境条件限制，需要通过处理每个第2年龄组的存活率，问如何处理时，才能种群总量保持不变。此时稳定情况下的年龄结构怎样？62011-2012-3东南大学考试卷数学建模与数学实验（A卷答案）一1B2A3A4C5A三．5.（×）7.（√）8.（×）9.（×）10.（×）11.解：设14~xx分别为表示他每周四种坚果的供应量。f为总利润，其数学模型为：1234123412341324max30504060..0500300100080200401200.60fxxxxstxxxxxxxxxxxx该模型为线性规划模型。变量定义正确2分，目标函数2分，约束条件每个6分,每错（或少）一个扣1分。模型类型判断正确2分。12解：可以利用对变量x,y,t施加变量代换的方法达到减少3个参数的作用，最终模型有且仅有2个参数，可以出现在一个或两个方程中。以下答案只是其中一种形式。引入无量纲量,,eadbcXxYydt,并引入两个新参数,cddbemn，则化为11(1)dXYmXdsnXdYYXds减少一个参数2分（共6分），方程组自变量统一3分，变量代换合理3分。13.解（1）111()0.011000010000ln()0.0110000dxdtxxxtcx3`+3`0.0110000()19txte2`（2）当()5000200ln3xtt时，变化率最大。。4`714解lnyaxb4`根据化曲为直的思想，令ln,zx则变量y与z之间为线性关系yazb。2`(,)Tcab令（2）ln31ln41ln51ln61ln71A,ln1.1,1.39,1.61,1.79,1.95TZx,4`+2`正规方程为TTAAcAY，即12.747.844.497.8452.68a4`解得：[0.6488,0.4813]Ta，所以，拟合曲线为：0.6488ln0.4813yx15（18分）解（1）max0.10.91.50.900,1.080700.20A，4+4分（2）稳定情况下，该种群平均每个时段增长8.07%。2分n=[1,0.833,0.154]4分（3）1230.1,0.81,0.27,k令1231R得0.3333kn=[1,0.9,0.06].4分