三角函数三角变换解三角形

三角变换、三角函数、解三角形一．知识梳理1.三角变换公式（掌握其形成的过程，结构特征及作用）（1）同角公式xxxxxcossintan:1cossin22商数关系平方关系：作用变名（2）诱导公式：23,2,2,,,2及k简记：当锐角看号看象限，角特征：奇变偶不变，符),(2Zkk作用：变角（3）和、差公式：①S:sincoscossin)sin(特征：先正余积后余正积中间符号成正比②C：sinsincoscos)cos(特征：先余积后正积中间符号成反比③T：tantan1tantan)tan(tantan1)(tan(tantan特征：正切值积的差（和），与分母：正切值和（差），分子：1作用变结构变角（会正用，逆用，变形用）（4）倍角公式①cossin22sin:2S②22222sin211cos2sincos2cos:C角函数值降幂角加倍），可求半降幂公式(22cos1cos22cos1sin22③22tan1tan22tan:T非常重要)cos()sin(cossin2222bababa作用变结构变角注：三角变换就是统一角（变角），统一名（变名），统一（变）结构的过程。2.三角函数（1）xyxyxytan,cos,sin），对称性，奇偶性，最值（值域性质：单调性，周期性图像：（形状要记住）几何坐标定义：（2）的图像与性质)sin(xAy①画法：五点作图法②单调性、周期性、最值（注意角的范围，数形结合法）、对称中心、对称轴的求法③图像变换：)sin()sin(sinxyxyxy→kxAyxAy)sin()sin(注意：ⅰ：变换前后函数解析式必须为同名的“三个一结构”ⅱ：逆向思维ⅲ：)sin(sin||xAyxAy④由局部图像求解析式3.正弦定理、余弦定理（1）正弦定理：RCcBbAa2sinsinsinCBAcbaRcCRbBRaACRcBRbARasin:sin:sin::(,2sin,2sin,2sin(,sin2,sin2,sin2作用：角化边）作用：边化角）（2）余弦定理abcbaCacbcaBbcacbACabbacBaccabAbccba2cos2cos2coscos2cos2cos2222222222222222222作用：边角的计算换在三角形中进行边角变解三角形注：可解的三角形满足的条件①知一边一锐角知两边RT②斜三角形三边两边及其夹角任两角及一边两边及一边所对的角余弦定理的应用正弦定理的应用（3）BacAbcCabhlSABCsin21sin21sin2121底三角部分高考常考题型及解法题型一：三角求值问题类型1：无条件求值解法：通过三角变换使待求式出现因式可约分分式中分子，分母有公例：求下列各式的值210cos270sin3)3(340tan20tan340tan20tan)2(2177cos43cos13cos43sin)1(2类型2：条件求值型（Ⅰ）已知一个或两角的三角函数值，求另一相关角的三角函数值解法：先找到待求式中相关角与该角的关系（和，差，倍半，补，余关系），再选用相应三角变换公式求解例：（2011辽宁）设sin1+=43（），则sin2A(A)79(B)19(C)19(D)79（2011浙江）若02＜＜，02-＜＜，1cos()43，3cos()423，则cos()2C（A）33（B）33（C）539（D）69练习1：已知0002cos,2,4,53)62sin(xxx求且2:已知6556)4cos(,1312)4sin(,53)sin(,,43,则型（Ⅱ）已知三角函数值或式子的值，求另一三角函数式的值解法：求式的值形）表示，然后解出待将其用待求式（或其变）三角变换（变角，变名简单时，对条件式进行当条件式复杂，待求式值形）表示，然后代入求将其用条件式（或其变角变换（变角，变名）杂时，对待求式进行三当条件简单，待求式复.2.1例1.（1）已知3102sincos1,cossin32则（2）（2011新课标）（3）（2011重庆）已知1sincos2，且0,2，则cos2sin4的值为___214____（4）（2011江苏）已知,2)4tan(x则xx2tantan的值为__________解析：22tan()11tantan1tan44tantan(),2tan443tan229tan()141tanxxxxxxxxxx（－）＝＝＝－例2.（1）（2008山东）已知4cos()sin365，则7sin()6的值是C（A）-532（B）532(C)-54(D)54(2)(2007新课标))4sin(2cos，则（3）（2011天津）已知函数()tan(2),4fxx，（Ⅰ）求()fx的定义域与最小正周期；（Ⅱ）设0,4，若()2cos2,2f求的大小．型二：函数应用确定的图像、性质的kxAy)sin(图像变换对称性最值周期性奇偶性单调性性质画图解法：首先利用三角变换（变角、变名）将)cos()sin()(wxbwxaxf进而化成kxAy)sin(（))cos(kxAy，再求解例1.（2008山东）已知函数f(x)＝)0,0)(cos()sin(3πxx为偶函数，且函数y＝f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为.2π（Ⅰ）美洲f（8π）的值；（Ⅱ）将函数y＝f(x)的图象向右平移6π个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标舒畅长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)的单调递减区间.解：（Ⅰ）f(x)＝)cos()sin(3xx＝)cos(21)sin(232xx＝2sin(x-6π)因为f(x)为偶函数，所以对x∈R,f(-x)=f(x)恒成立，因此sin（-x-6π）＝sin(x-6π).即-sinxcos(-6π)+cosxsin(-6π)=sinxcos(-6π)+cosxsin(-6π),整理得sinxcos(-6π)=0.因为＞0，且x∈R,所以cos（-6π）＝0.又因为0＜＜π，故-6π＝2π.所以f(x)＝2sin(x+2π)=2cosx.由题意得.2,222　＝　　所以　　故f(x)=2cos2x.因为.24cos2)8(f（Ⅱ）将f(x)的图象向右平移个6个单位后，得到)6(xf的图象，再将所得图象横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到)64(f的图象.).32(cos2)64(2cos2)64()(ffxg所以　　　　当2kπ≤32≤2kπ+π(k∈Z),即4kπ＋≤32≤x≤4kπ+38(k∈Z)时，g(x)单调递减.因此g(x)的单调递减区间为384,324kk(k∈Z)例2.（2010山东）已知函数211()sin2sincoscossin()(0)222fxxx，其图像过点1(,)62。（Ⅰ）求的值；(Ⅱ)将函数()yfx的图像上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数()ygx的图像，求函数()gx在[0,]4上的最大值和最小值。例3.若函数xxxxxxf2sin2cossincossin)(2244（1）求减区间的最小正周期及单调递)(xf拓展：已知)(),22cos(sin2cos2cos2sin2)(2xxxxf，若)()2()6()(ffRxfxf恒成立，且对求：)(xf的单调递减区间练习：（2011北京）已知函数()4cossin()16fxxx。（Ⅰ）求()fx的最小正周期：（Ⅱ）求()fx在区间,64上的最大值和最小值。【解析】：（Ⅰ）因为1)6sin(cos4)(xxxf1)cos21sin23(cos4xxx1cos22sin32xxxx2cos2sin3)62sin(2x所以)(xf的最小正周期为（Ⅱ）因为.32626,46xx所以于是，当6,262xx即时，)(xf取得最大值2；当)(,6,662xfxx时即取得最小值—1．型三（一）中的求值问题ABC类型1：已知两角或其三角函数值大小，求第三角的三角函数值解法：利用同角公式求出两角的另一弦函数值，再由内角和定理、诱导公式、和差公式求第三角三角函数值。类型2：利用正余弦定理，解决实际问题解法：（1）画出正确示意图（距离与角的计算）空间方向角方位角海平面俯角仰角铅平面上地平面上（2）标出已知，待求量，并构造可解三角形（3）可解三角形（4）回归例1.（2010陕西）如图，A，B是海面上位于东西方向相距533海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距203海里的C点的救援船立即即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？3)906030,45,105sinsinsin5(33)sin455(33)sin45sinsin105sin45cos60sin60cos45DBADABADBDBABDABDABADBABDABDBADB解：由题意知AB=5(3+海里，在中，由正弦定理得例2.（2007山东）已知函数f(x)＝)0,0)(cos()sin(3πxx为偶函数，且函数y＝f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为.2π（Ⅰ）美洲f（8π）的值；（Ⅱ）将函数y＝f(x)的图象向右平移6π个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标舒畅长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)的单调递减区间.解：（Ⅰ）f(x)＝)cos()sin(3xx＝)cos(21)sin(232xx＝2sin(x-6π)因为f(x)为偶函数，所以对x∈R,f(-x)=f(x)恒成立，因此sin（-x-6π）＝sin(x-6π).即-sinxcos(-6π)+cosxsin(-6π)=sinxcos(-6π)+cosxsin(-6π),整理得sinxcos(-6π)=0.因为＞0，且x∈R,所以cos（-6π）＝0.又因为0＜＜π，故-6π＝2π.所以f(x)＝2sin(x+2π)=2cosx.由题意得.2,222　＝　　所以　　故f(x)=2cos2x.因为.24cos2)8(f（Ⅱ）将f(x)的图象向