三角恒等变换,正余弦定理训练题

1．△ABC中，已知()()abcbcabc，则A的度数等于（）A．120B．60C．150D．30答案A2．在△ABC中，内角CBA,,的对边分别为cba,,，若18a，24b，45A，则这样的三角形有（）A.0个B.两个C.一个D.至多一个答案B3．若tan，tan是方程0762xx的两个根，则（）A．43B．4C．Ζkk432D．Ζkk4答案D4．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若3a＝2b，则2sin2B－sin2Asin2A的值为A．－19B.13C．1D.72选D由正弦定理可得2sin2B－sin2Asin2A＝2sinBsinA2－1＝2ba2－1，因为3a＝2b，所以ba＝32，所以2sin2B－sin2Asin2A＝2×322－1＝72.5．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c.已知bcosC＋ccosB＝2b，则ab＝()A．－19B.1C．2D.4．解析：由已知及余弦定理得b·a2＋b2－c22ab＋c·a2＋c2－b22ac＝2b，化简得a＝2b，则ab＝2.答案：C6在一幢10米高的楼顶测得对面一塔吊顶的仰角为060，塔基的俯角为045，那么这座塔吊的高是()A.)331(10B.)31(10C.)26(5D.)26(2B【解析】略7．在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知acb41，CBsin3sin2，则cosA=（）A．41B．41C．87D．1611答案A8．若sin2α＝55，sin(β－α)＝1010，且α∈π4，π，β∈π，3π2，则α＋β的值是()A.7π4B.9π4C.5π4或7π4D.5π4或9π4答案：A9．(2013·重庆高考)4cos50°－tan40°＝()A.2B.2＋32C.3D．22－1选C4cos50°－tan40°＝4cos50°－sin40°cos40°＝4sin40°·cos40°cos40°－sin40°cos40°＝2sin80°－sin40°cos40°＝2cos10°－sin30°＋10°cos40°＝32cos10°－32sin10°cos40°＝3cos30°cos10°－sin30°sin10°cos40°＝3cos40°cos40°＝3.10．已知函数：①y＝sinx＋cosx，②y＝22·sinxcosx，则下列结论正确的是()A．两个函数的图象均关于点－π4，0中心对称B．两个函数的图象均关于直线x＝－π4轴对称C．两个函数在区间－π4，π4上都是单调递增函数D．两个函数的最小正周期相同答案：C解析：设f(x)＝sinx＋cosx＝2sinx＋π4，g(x)＝22sinxcosx＝2sin2x，对于A，B，f－π4＝0，g－π4＝－2≠0，易知A，B都不正确．对于C，由－π2＋2kπ≤x＋π4≤π2＋2kπ(k∈Z)，得f(x)的单调递增区间为－3π4＋2kπ，π4＋2kπ(k∈Z)，由－π2＋2kπ≤2x≤π2＋2kπ(k∈Z)，得g(x)的单调递增区间为－π4＋kπ，π4＋kπ(k∈Z)，易知C正确．对于D，f(x)的最小正周期为2π，g(x)的最小正周期为π，D不正确．故选C.11已知函数f(x)＝4cosxsinx＋π6－1.，则f(x)在区间－π6，π4上的值域()A.【-1，3】B.【-2，2】C.【-1，2】D.【-2，1】答案：C．解：(1)f(x)＝4cosxsinx＋π6－1＝4cosx32sinx＋12cosx－1＝3sin2x＋2cos2x－1＝3sin2x＋cos2x＝2sin2x＋π6，∴f(x)的最小正周期T＝2π2＝π.(2)∵－π6≤x≤π4，∴－π6≤2x＋π6≤2π3，当2x＋π6＝π2，即x＝π6时，f(x)max＝fπ6＝2，当2x＋π6＝－π6，即x＝－π6时，f(x)min＝f－π6＝－1.12．设α∈0，π2，β∈0，π2，且tanα＝1＋sinβcosβ，则()A．3α－β＝π2B．2α－β＝π2C．3α＋β＝π2D．2α＋β＝π2．选B由条件得sinαcosα＝1＋sinβcosβ，即sinαcosβ＝cosα(1＋sinβ)，sin(α－β)＝cosα＝sinπ2－α，因为－π2α－βπ2，0π2－απ2，所以α－β＝π2－α，所以2α－β＝π2，故选B.13.已知在△ABC中,A,B,C为其内角，若CBAsincossin2,判断三角形的形状。（12分）.等腰三角形14在ABC中，边2BC，3AB，则角C的取值范围是(0,)3【解析】sin3,sinsin,(0,),sinsin2ABBCABACAACABC3sin(0,1),sin(0,),2AC,,(0,),(0,)23ABBCCACC15已知函数220sin3，xxf的图像关于直线3x对称，且图像上相邻两个最高点的距离为.若326432f，则23cos的值.为【答案】3158（2）由（1）得33sin22264f所以1sin64.由263得0,62所以22115cos1sin1.6644因此3cossinsin266sincoscossin6666=131513154242816.关于函数cos223sincosfxxxx，下列命题：①若存在1x，2x有12xx时，12fxfx成立；②fx在区间,63上是单调递增；③函数fx的图像关于点,012成中心对称图像；④将函数fx的图像向左平移512个单位后将与2sin2yx的图像重合．其中正确的命题序号（注：把你认为正确的序号都填上）①②③17（1）求.tanπ4＋α·cos2α2cos2π4－α的值（2）_若锐角α、β满足(1＋3tanα)(1＋3tanβ)＝4，求α＋β．．答案1.，π3．解析：原式＝sinπ4＋α·cos2α2sin2π4＋αcosπ4＋α＝cos2α2sinπ4＋αcosπ4＋α＝cos2αsin2π4＋α＝cos2αsinπ2＋2α＝cos2αcos2α＝1.解析：由(1＋3tanα)(1＋3tanβ)＝4，可得tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝3，即tan(α＋β)＝3.又α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝π3.18设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b＝3，c＝1，A＝2B.(1)求a的值；(2)求sinA＋π4的值．．解：(1)因为A＝2B，所以sinA＝sin2B＝2sinBcosB.由正、余弦定理得a＝2b·a2＋c2－b22ac.因为b＝3，c＝1，所以a2＝12，a＝23.(2)由余弦定理得cosA＝b2＋c2－a22bc＝9＋1－126＝－13.由于0Aπ，所以sinA＝1－cos2A＝1－19＝223.故sinA＋π4＝sinAcosπ4＋cosAsinπ4＝223×22＋－13×22＝4－26..19在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a≠b，c＝3，cos2A－cos2B＝3sinAcosA－3sinBcosB.(1)求角C的大小；(2)若sinA＝45，求△ABC的面积．解：(1)由题意得1＋cos2A2－1＋cos2B2＝32sin2A－32sin2B，即32sin2A－12cos2A＝32sin2B－12cos2B，sin2A－π6＝sin2B－π6.由a≠b，得A≠B，又A＋B∈(0，π)，得2A－π6＋2B－π6＝π，即A＋B＝2π3，所以C＝π3.(2)由c＝3，sinA＝45，asinA＝csinC，得a＝85.由ac，得AC，从而cosA＝35，故sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝4＋3310，所以△ABC的面积为S＝12acsinB＝83＋1825已知函数f(x)＝4cosxsinx＋π6－1.(2)求f(x)在区间－π6，π4上的最值．解：(1)f(x)＝4cosxsinx＋π6－1＝4cosx32sinx＋12cosx－1＝3sin2x＋2cos2x－1＝3sin2x＋cos2x＝2sin2x＋π6，∴f(x)的最小正周期T＝2π2＝π.(2)∵－π6≤x≤π4，∴－π6≤2x＋π6≤2π3，当2x＋π6＝π2，即x＝π6时，f(x)max＝fπ6＝2，当2x＋π6＝－π6，即x＝－π6时，f(x)min＝f－π6＝－1.20.已知函数f(x)＝2sinωx＋mcosωx(ω0，m0)的最小值为－2，且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和m的值；[来源:Zxxk.Com](2)若fθ2＝65，θ∈π4，3π4，求fθ＋π8的值．解：(1)易知f(x)＝2＋m2sin(ωx＋φ)(φ为辅助角)，∴f(x)min＝－2＋m2＝－2，∴m＝2.由题意知，函数f(x)的最小正周期为π，∴2πω＝π，∴ω＝2.21．（本小题满分12分）设ABC的内角A，B，C，所对的边长分别为a，b，c,cos,cosmAC，32,3ncba，且mn．（1）求角A的大小；（2）若ab，且BC边上的中线AM的长为7,求边a的值．（1）6A；（2）2a．22某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔轮在方位角为45°，距离为10nmile的C处，并测得渔轮正沿方位角为105°的方向，以9nmile/h的速度向某小岛靠拢，我海军舰艇立即以21nmile/h的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间．(sin21.8°=3314=sin158.2°)解析：如图所示，根据题意可知AC＝10，∠ACB＝120°，设舰艇靠近渔轮所需的时间为th，并在B处与渔轮相遇，则AB＝21t，BC＝9t，在△ABC中，根据余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos120°，所以212t2＝102＋81t2＋2×10×9t×12，即360t2－90t－100＝0，解得t＝23或t＝－512(舍去)．所以舰艇靠近渔轮所需的时间为23h.此时AB＝14，BC＝6.在△ABC中，根据正弦定理，得BCsin∠CAB＝ABsin120°，所以sin∠CAB＝6×3214＝3314，即∠CAB≈21.8°或∠CAB≈158.2°(舍去)，即舰艇航行的方位角为45°＋21.8°＝66.8°.所以舰艇以66.8°的方位角航行，需23h才能靠近渔轮．