三阶倒立摆

三级倒立摆的研究与仿真摘要在现代工业控制领域中，我们接触的被控对象大多都是稳定，其实不稳定的对象也是普遍存在的。倒立摆属于多变、快速、非线性、强耦合、和绝对不稳定系统。倒立摆系统被认为是控制理论在科研教学中和实际实践中典型的、方便使用的物理模型，其控制方法在军用工业、航空航天、智能机器人和普通的工业控制过程中都有广泛的应用和重要的工程意义。本文主要通过采用力学分析中的Lagrange方程来建立三级倒立摆动力学方程，并且使用LQR方法对三级倒立摆实现了稳定的控制，运用状态全维观测器实现了全维状态观测。在MATLAB中实现了对三级倒立摆控制系统的仿真，并且从实验结果分析得到，三级倒立摆在LQR方法的控制下达到了稳定。最后对全篇论文的研究进行总结。关键词：倒立摆稳定控制LQR算法ResearchandsimulationoftripleinvertedpendulumABSTRACTInthemodernindustrialcontrolfield,wecontactwithmostofthecontrolledobjectisstable,butunstableobjectsareuniversal.Invertedpendulumisasystemwhichisnonlinear,multivariate,strong-couplingandunstablenaturally.Invertedpendulumisararetypicalphysicalmodelwhichisusedinteachingandresearchingcontroltheory,thecontrolmethodsarewidelyusedinthemilitary,aerospace,roboticsandgeneralindustrialprocessesandalsohaveimportantengineeringsignificance.ThoughLagrangeequationsinthispaperbymeansofmechanicsanalysistoestablishthedynamicsequationoftripleinvertedpendulum,andusingtheLQRmethodoftripleinvertedpendulumstablecontrol,usingthefulldimensionobserverrealizesthefulldimensionalstateobservation.InMATLABimplementsthetripleinvertedpendulumcontrolsystemsimulation,andfromtheexperimentalresults,tripleinvertedonthecontrolofLQRmethodisissuedtothestable.Finally,summarizestheresearchingofthewholepaper.KEYWORDS:InvertedpendulumstablecontrolLQRalgorithm三级倒立摆控制系统设计:倒立摆系统作为现代控制理论应用方面的一个典型实验系统，从六十年代就有许多人对它进行研究，提出了各种控制方案。倒立摆属于多变、快速、非线性、强耦合、和绝对不稳定系统，通过对它的引入一个合适的控制方法使之成为一个稳定的系统，来检测控制方法对不稳定、非线性和快速快速性系统的处理能力，而且在控制过程中，倒立摆系统能有限地反映诸如可镇定性、鲁棒性、随机性以及跟踪等许多控制中的关键问题。本次实验通对倒立摆进行受力分析使用Lagrange方程建立三级倒立摆的数学模型。然后利用线性二次型最优控制理论设计了三级倒立摆的控制器，并在Simulink中对三级倒立摆进行了系统仿真，研究了三级倒立摆系统的结构参数与控制器性能之间的关系。进而设计了全维观测器，并进行系统仿真。最后，对仿真结果进行了分析与研究。小车m0电位计1电位计2电位计3电位计4123上摆m3中摆m2下摆m1三阶倒立摆示意图1，三级倒立摆数学建模建立：小车的质量：m0=1;小车与轨道之间的滑动摩擦系数：f0=5.0kg/s;下摆的质量：m1=0.22kg;下摆半长：d1=0.304m;下摆绕其重心的转动惯量：J1=0.00496kgm2;中摆的质量：m2=0.187kg;中摆半长：d2=0.226m;中摆绕其重心的转动惯量：J2=0.00482kgm2;上摆的质量：m3=0.16kg;上摆半长：d3=0.2m;上摆绕其重心的转动惯量：J3=0.004kgm2;中、下摆中心之间的距离：l1=0.49m;上、中摆中心之间的距离：l2=0.45m;上摆和中摆之间的转动摩擦系数：f3=0.01kg/s;中摆和下摆之间的转动摩擦系数：f2=0.01kg/s;下摆和小车之间的转动摩擦系数：f1=0.01kg/s;电位器及功率放大器的增益：Ku=15Nt/V。三级倒立摆系统lagrange方程建立，令r为水平导轨运动的位移，321,,分别为下摆、中摆、上摆偏移竖直方向的角度。(1-1)时，T、V、D---分别是系统的动能、势能和耗散能、、D(1-2)式中：n—倒立摆的级数，这里n选择为3---小车和各级摆的动能---小车和各级摆的势能---小车和各级摆的耗散能====将上述各式代入式（1-1）得到三级倒立摆的数学模型为(1-3)式中：式（1-3）是一个非线性向量微分方程，考虑到系统工作时处于平衡位置附近运动，根据泰勒展开式，可将式（1-3）在u=0平衡位置附近线性化，来代替式（1-3）的非线性向量微分方程。具体线性化是忽略二次以上的项（sin=,cos=1）,可求出关于的线性化微分方程，而后将改写为，即可得到系统的状态方程。根据物理模型的实际测量数据，可求得平衡点处的三级倒立摆的系数矩阵为M(0,0,0)=N(0,0,0,0,0,0)=由于矩阵比较复杂，因此采用MATLAB进行矩阵运算，可以解得阵M-1=所以，式（1-3）的线性化微分方程为=-（1-4）式中：令故式（1-3）可以改写为(1-5)定义状态变量为：则由式（1-5）可得：(1-6)式中：根据前面给出物理模型的实际测量数据，可以求得状态方程（1-6）中的系数矩阵为：A=B=C=2，线性二次型最优控制理论由上面的推导可知，三级倒立摆的数学模型为：(2-1)式中的A,B,C为上面推导的矩阵。对连续时间线性时不变系统（2-1），构造能控判别矩阵利用MATLAB，可以求出rank()=8，所以系统（2-1）是完全能控的。对连续时间线性时不变系统（2-1），构造能控判别矩阵利用MATLAB，可以求出rank()=8，所以系统（2-1）是完全能观测的。本文设计的三级倒立摆的控制器共有摆个状态变量，其中小车的位移，上摆，中摆，下摆的角度都可以直接测量出来，而小车的速度，上摆，中摆，下摆的角速度可以由所得的测量值通过线性差分方程直接得到。最优控制器设计三级倒立摆最优控制器的形式下面对三级倒立摆系统设计控制器，它是一个八个状态变量输入，一个控制变量输出的控制器。另外，经过分析可知，三级倒立摆系统是一个对中断误差没有要求，且不包含末值控制指标的线性时不变系统，因此，性能指标可以取为式中，为状态变量，为控制变量，加权阵为对称非负定常矩阵，一般选择为半正定的对角阵，加权阵为正定常矩阵。根据线性二次型最优控制理论，对无限时间时不变LQ调节问题，可以组成对应的黎卡提代数方程式中，A、B分别为三级倒立摆的系统状态矩阵，P为上述方程的解阵，其为一个的正定对称阵。把上面所求得的解阵P代入下式即可得到反馈矩阵K，则系统的控制解为下面选取加权阵Q，R。加权阵Q，R的选择在最优控制器的设计中，Q和R的选择方法在上面已经提及了。因为三级倒立摆控制器也是一个单输入的，R成为标量，直接选择为R=1。下面根据仿真机试验确定Q。因为对于三级倒立摆这样一个高阶、绝对不稳定的系统，相对于响应速度而言，上摆、中摆、下摆的稳定性是控制系统设计所面临的主要矛盾。因此在选择Q阵时，角位移相对应的加权系数因取较大值，而角速度对应的加权系数取较小值。上、中、下摆稳定是通过小车的移动来实现的。因此对小车位置r变化范围不要控制过于严格，以免在扰动过大时失去调节作用。所以r对应的加权系数取值要尽量小些。在控制过程中，希望小车有较快的响应速度，来快速调节小车使摆不到，所以小车速度的加权系数因取较大的值。根据上面的要求，综合考虑系统的控制能量要求，经过试验，取Q和R为：R=1反馈矩阵K的求解对于系统，直接使用MATLAB求解代数黎卡提方程的命令为lqrd(A,B,Q,R,)，得到P阵P=将求得的P矩阵代入式，得到反馈矩阵采样周期取为3全维状态观测器设计利用状态反馈作为控制的输入时，需要用传感器测量状态变量以实现反馈。但是在许多情况下，通常只有被控对象的输入量和输出量能够用传感器测量，而多数状态变量不易测量或不可能测得，于是提出了利用被控对象的输入量和输出量建立状态观测器（又称为状态估计器，状态重构器）来重构状态的问题，当重构状态向量的维数等于被控对象状态向量的维数时，称为全维状态观测器。全维观测器构建方案假设被控对象动态方程为：(3-1)构造一个动态方程与式（3-1）相同而且能用计算机实现的模拟被控系统(3-2)式中，，分别为模拟系统的状态向量和输出向量，是被控对象状态向量和输出向量的估值。当模拟系统与被控对象的初始状态相同时，在同一输入作用下，有，可以利用作为状态反馈所需要的信息。但是当被控对象的初始状态可能不相同时，模拟系统中积分器初始条件的设置只能预估，因而两个系统的初始状态总是有差异的，即使两个系统的A,B,C,阵完全一致，也必定存在估计状态与被控对象实际状态的误差，难以实现所需要的状态反馈。但是的存在必然导致了（）的存在，而被控系统的输出量总是可以利用传感器测量的，于是可以根据一般的反馈控制原理，将（）负反馈至处，控制（）尽快逼近于零，从而使尽快逼近于零，便可以利用来形成状态反馈。按照上原理构建的状态观测器及其实现状态反馈的结构图如图所示，BIsCAKBIsCAH+---++状态观测器部分状态反馈部分vuyxxxy状态观测器及其实现状态反馈结构图状态观测器有两个输入，即u和y，输出为。状态观测器含有n个积分器并对全部状态变量作出估计。H为观测器输出矩阵，它把（）负反馈至处，是为配置观测器极点，提高其动态性能，即使尽快逼近于零而引入的。全维状态观测器分析设计由图上图可以列出全维状态观测器动态方程（3-3）故有（3-4）式中，称为观测器系统矩阵。观测器分析设计的关键问题是能否在任何初始状态条件下，即尽管与不同，但总能保证（3-5）成立。只有满足式（3-5），状态反馈系统才能正常工作，式（3-3）所示系统才能作为实际的状态观测器，故式（3-5）称为观测器存在条件。由式（3-4）和（3-1）可得(3-6)其解为(3-7)显而易见当时，恒有，所以引入的输出反馈并不起作用。当时，有，输出反馈便起作用了，这是只要（A-HC）的全部特征值具有负实部，初始状态向量误差总会按指数衰减规律满足式（3-5），其衰减速率取决于观测器的极点配置。由输出反馈定理可知，若被控对象可观测，则（A-HC）的极点可任意配置，以满足逼近的速率要求，因而保证了状态观测器的存在性。由于系统是完全能控和能观测的，所以系统可以任意配置极点。为了满足本次设计的要求，期望极点为，利用MATLAB命令，得到3仿真结果：三级倒立摆仿真图在小干扰下系统的动态曲线：05101520253035404550-0.0200.020.040.060.080.10.120.140.16t/sy/m位移曲线051015202530-202468101214x10-4y/度t/s下摆角曲线051015202530-4-2024681012x10-4y/度t/s中摆角曲线051015202530-4-202468x10-3y/