两角和与差的正弦余弦正切公式教案

学科数学年级一年级主备人课题两角和与差的正弦、余弦、正切公式课型新课备课时间2012-4-13二次备课时间2012-4-14授课时间2012-4-17教学目标1、知识与技能：了解两角和与差的正弦、余弦、正切公式之间的内在联系，并通过强化题目的训练，加深对公式的理解，培养学生的运算能力及逻辑推理能力，从而提高解决问题的能力.2、过程与方法：通过让学生探索、发现并推导两角和与差的正弦、余弦、正切公式，自觉地利用联系变化的观点来分析问题，提高学生分析问题解决问题的能力.3、情感、态度与价值观：通过本节学习，使学生掌握寻找数学规律的方法，提高学生的观察分析能力，培养学生的应用意识，提高学生的数学素质教学重点两角和与差的正弦、余弦、正切公式及其推导教学难点灵活运用所学公式进行求值、化简、证明.教学方法引导发现式教学法教学资源教材、教辅与网络资源教学过程设计第一课时教师活动（教学内容呈现，适当标出活动）设计意图及用时一、导入新课（复习导入）二、讲授新课（合做探究）1.引导同学一起回顾两角差的余弦公式2.然后教师引导学生观察cos(α-β)与cos(α+β)、sin(α-β)的内在联系，进行由旧知推出新知的转化过程，从而引出C(α+β)、S(α-β)、S(α+β)。。本节课我们共同研究公式的推导及其应用.1、两角和余弦公式的推导cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ在公式C(α-β)中，角β是任意角，请学生思考角α-β中β换成角-β是否可以？鼓励学生大胆猜想，引导学生比较cos(α-β)与cos(α+β)中角的内在联系，学生有的会发现α-β中的角β可以变为角-β，所以α-(-β)=α+β〔也有的会根据加减运算关系直接把和角α+β化成差角α-(-β)的形式〕.这时教师适时引导学生转移到公式C(α-β)上来,这样就很自然地得到cos(α+β)=cos［α-(-β)］=cosαcos(-β)+sinαsin(-β)=cosαcosβ-sinαsinβ.所以有如下公式：温故知新3分引导学生探究、发现新知18---22cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ我们称以上等式为两角和的余弦公式，记作C(α+β).2、思考：在公式C(α-β)、C(α+β)的基础上能否推导sin(α+β)=?sin(α-β)=?tan(α-β)=?tan（α+β）=？教师引导学生观察思考，怎样才能得到两角和与差的正弦公式呢？我们利用什么公式来实现正、余弦的互化呢？学生可能有的想到利用诱导公式⑸⑹来化余弦为正弦)2cos(sincossintan3、3、尝试探究两角和差的正弦公式的推导让学生动手完成两角和与差正弦和正切公式.sin(α+β)=cos［2-(α+β)］=cos［(2-α)-β］=cos(2-α)cosβ+sin(2-α)sinβ=sinαcosβ+cosαsinβ.在上述公式中,β用-β代之，则sin(α-β)=sin［α+(-β)］=sinαcos(-β)+cosαsin(-β)=sinαcosβ-cosαsinβ.因此我们得到两角和与差的正弦公式，分别简记为S(α+β)、S(α-β).sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ,sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ.教师引导学生思考，在我们推出了公式C(α-β)、C(α+β)、S(α+β)、S(α-β)后,自然想到两角和与差的正切公式，怎么样来推导出tan(α-β)=?,tan(α+β)=?呢？学生很容易想到利用同角三角函数关系式，化弦为切得到.在学生探究推导时很可能想不到讨论，这时教师不要直接提醒，让学生自己推导出来.cos(α+β)≠0时，tan(α+β)=.sinsincoscossincoscossin)cos()sin(aa如果cosαcosβ≠0,即cosα≠0且cosβ≠0时,分子、分母同除以cosαcosβ得tan(α+β)=)tan(tan1tantan，据角α、β的任意性，在上面的式子中，β用-β代之，则有tan(α-β)=.tantan1tantan)tan(tan1)tan(tan由此推得两角和、差的正切公式，简记为T(α-β)、T(α+β).可让学生自己画出这六个框图.通过逻辑联系图，深刻理解它们之间的内在联系，借以理解并灵活运用这些公式.同时教师应提醒学生注意：不仅要掌握这些公式的正用，还要注意它们的逆用及变形用.如两角和与差的正切公式的变形式三、课内练习应用示例例1、已知sinα=53,α是第四象限角，求sin(4-α),cos(4+α),tan(4-α)的值活动：教师引导学生分析题目中角的关系，在面对问题时要注意认真分析条件，明确要求.再思考应该联系什么公式，使用公式时要有什么准备，准备工作怎么进行等.例如本题中，要先求出cosα,tanα的值，才能利用公式得解，本题是直接应用公式解题，目的是为了让学生初步熟悉公式的应用，教师可以完全让学生自己独立完成.解：由sinα=53,α是第四象限角，得cosα=54)53(1sin122a.∴tanα=aacossin=43.于是有sin(4-α)=sin4cosα-cos4sinα=,1027)53(225422cos(4+α)=cos4cosα-sin4sinα=,1027)53(225422tan(α-4)=4tantan14tantanaa=aatan11tan=7)43(1143.点评：本例是运用和差角公式的基础题，安排这个例题的目的是为了训练学生思维的有序性，逐步培养他们良好的思维习惯.例题2、利用和（差）角公式计算下列各式的值：（1）、sin72cos42cos72sin42（2）、cos20cos70sin20sin70；（3）、1tan151tan15示范点拨，加深理解7----10四、课堂小结五、课后作业课堂练习：)(37sin83sin37cos7sin1的值为、(A)23(B)21(C)21(D)23)(75tan75tan122的值为、(A)32(B)33232C(D)332)(,3cos2cos3sin2sin3的值是则若、xxxxx(A)10(B)6(C)5(D)4.________3sin,2,23,51cos4则若、小结：本节我们学习了两角和与差正弦、余弦和正切公式，我们要熟记公式，在解题过程中要善于发现规律，学会灵活运用.作业：1、已知21tan,tan,544求tan4的值．（322）2.33350,cos,sin4445413，求sin的值．巩固训练，体会应用过程7----12知识与方法总结、梳理2作业布置1六、版书设计七、课后反思：课题：3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式（一）cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ例1课堂练习sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ,sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ.tan(α+β)=,tantan1tantan例2、tan(α-β)=.tantan1tantan