中国农业大学2013~2014学年秋季学期概率论与数理统计(C)课程考试试题(A)

1/72013~2014学年秋季学期概率论与数理统计（C）课程考试试题（A）题号一二三四五六七八总分得分一、填空题（每空3分，满分21分）1．设N件产品中有D件是不合格品，从这N件产品中任取2件产品。则2件中有1件合格品、1件不合格品的概率为_______________。2．设随机事件A,B互不相容，且3.0)(AP，6.0)(BP，则)(ABP。3.某型号螺丝钉的重量是相互独立同分布的随机变量，其期望是0.1斤，标准差是0.01斤.则100个该型号螺丝钉重量不超过10.2斤的概率近似为___________（答案用标准正态分布函数表示）。4．某车间生产的圆盘其直径在区间(,)ab上服从均匀分布,则圆盘面积的数学期望是_______________。5.设()3DX，31YX，则,XY=。6.设1234,,,XXXX是来自标准正态分布总体(0,1)N的简单样本,又设221234()()YXXXX，则当常数C_________，时,CY服从2分布，自由度为_________。二、选择题（每题3分，满分15分）1.设有三个随机事件,,ABC，事件“,,ABC中恰好有两个发生”可以表示成（）（A）ABACBC（B）ABCABCABCABC（C）ABCABCABC（D）ABCABCABC2．设随机变量2,1~NX，4,2~NY，且X与Y相互独立，则下面（）正确。（A）1,0~2NYX;（B）1,0~322NYX;（C）9,1~12NYX;（D）21~0,123XYN.3．设1210,,,XXX是来自总体2(,)N的简单随机样本，则12101ˆ10XXX，21ˆX，3123ˆ236XXX，3124ˆ234XXX2/7中有（）个是的无偏估计量。（A）4（B）2（C）1（D）34．在假设检验中，0H表示原假设，1H表示备择假设，则称为犯第二类错误的是（）.（A）0H不真，接受1H；（B）0H不真，接受0H；（C）1H不真，接受1H；（D）0H为真，接受1H；5．检验正态均值时，𝜎2已知，显著水平为α，检验统计量为Z=X−0n，检验H0：0，则下列结论正确的是（）.（A）拒绝域为ZZ（B）拒绝域为ZZ（C）拒绝域为2ZZ（D）拒绝域为2ZZ三．（10分）已知男人中有5%是色盲，女人中有0.25%是色盲.今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，此人是色盲患者的概率是多少？若此人恰好是色盲患者，此人是男性的概率是多少？四.（10分）设顾客在某银行窗口等待服务的时间（以分钟计）X服从指数分布，其概率密度函数为510()50xexfx其它某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟，他就离开.他一个月到银行5次.以Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，写出Y的分布律，并求{1}PY.五.（12分）设随机变量X的密度函数为,02(),240,axxfxbxcx其他且已知2EX，3(13)4PX，求：（1）常数,,abc的值；（2）求随机变量XYe的期望。六．（12分）设(,)XY的联合概率密度为3/72211(,)0,xyfxy，其他（1）求YX,的边缘密度函数；（2）YX,是否独立？是否不相关？（3）求22ZXY的密度函数。七.（10分）设12,,,nXXX是来自泊松分布总体()P的简单随机样本，分布律为(),0,1,2,!xPXxexx，（1）试求参数的极大似然估计；（2）验证（1）中所求得的估计是否无偏。八.（10分）设某机器生产的零件长度（单位：cm）2~(,)XN，今抽取容量为16的样本，测得样本均值10x，样本方差20.16s.（1）求的置信度为0.95的置信区间；（2）检验假设20:0.1H（显著性水平为0.05）.（附注）0.050.0250.050.025(16)1.746,(16)2.120,(15)1.753,(15)2.132,tttt2220.050.050.025(16)26.296,(15)24.996,(15)27.488.答案：一、填空题（每空3分，满分21分）1．2．4/73.(2)4．22(/12)()baba5.-16.1/2，2二、选择题（每题3分，满分15分）1.（C）.2.(B)3．(D)4．(B)5．(B)三、（10分）已知男人中有5%是色盲，女人中有0.25%是色盲.今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，此人是色盲患者的概率是多少？若此人恰好是色盲患者，此人是男性的概率是多少？解：记A：挑选出的人是男人；B：挑选出的人是色盲.2)(NCDND4/7取{,}AA为样本空间的划分.由全概率公式：()(|)()(|)()0.05*0.50.0025*0.50.02625PBPBAPAPBAPA——5分由贝叶斯公式：(|)()(|)(|)()(|)()PBAPAPABPBAPAPBAPA——8分0.050.520/210.050.50.00250.5——10分四.（10分）设顾客在某银行窗口等待服务的时间（以分计）X服从指数分布，其概率密度函数为/5(1/5)0()0xexfx其它某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟，他就离开.他一个月到银行5次.以Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，写出Y的分布律，并求{1}PY.解：某一次在窗口等待时间超过10分钟的概率记为P，(/5)210(1/5)xPedxe——4分注意到顾客每月到银行五次也就是进行了五重的贝努利试验，每次试验得不到服务的概率为2e.所以2~(5,)YBe，即2255{}()(1)0,1,,5kkkPYkCeek——4分25{1}1{0}1(1)PYPye——10分五.（12分）设随机变量X的密度函数为,02(),240,axxfxbxcx其他且已知2EX，3(13)4PX，求：（1）常数,,abc的值；（2）求随机变量XYe的期望。解：（1）由()1fxdx，可得2402()2621axdxbxcdxabc（1）------2分5/7由2EX，可得24202856()6233EXaxdxxbxcdxabc（2）------4分由3(13)4PX，得2312353(13)()224PXaxdxbxcdxabc（3）------6分联立（1）（2）（3）式，解得11,,144abc------9分（2）242202111(1)(1)444XxxEYEeexdxexdxe-----12分六．（12分）设(,)XY的联合概率密度为2211(,)0,xyfxy，其他（1）求YX,的边缘密度函数；（2）YX,是否独立？是否不相关？（3）求22ZXY的密度函数。解：（1）边缘密度为222110,1,0,1,()(,)121,1;,1xXxxxfxfxydyxdyxx——2分同理可得20,1,()(,)21,1Yyfxfxydxyy——4分（2）显然(,)()()XYfxyfxfy，所以,XY不独立.——6分由函数对称性，易得2211111(,)0xxEXYxyfxydxdyxydxdy；2211111(,)0xxEXxfxydxdyxdxdy；2211111(,)0xxEYyfxydxdyydxdy故有(,)0CovXYEXYEXEY，即YX,不相关。——9分6/7（3）22220,01()()(),011,1xyzzFzPZzPXYzdxdyzz0,0,011,1zzzz故密度函数为1,01()0,Zzfz其他。——12分七.（10分）设12,,,nXXX是来自泊松分布总体()P的简单随机样本，总体分布律为(),0,1,2,!xPXxexx，（1）试求参数的最大似然估计；（2）验证（1）中所求得的估计是否无偏。解：（1）似然函数111(),0,1,2,!!niiixxnniniiiiLeexxx，——3分对数似然函数11ln()lnln(!)nniiiiLxxn令1ln()0niixdLnd，解得11ˆniixxn，验证可知ˆ确实为似然函数的最大值点，故的最大似然估计为11ˆniiXXn。——6分（2）由于1111ˆnniiiEEXEXnn，故最大似然估计是无偏的。——10分八.（10分）设某机器生产的零件长度（单位：cm）2~(,)XN，今抽取容量为16的样本，测得样本均值10x，样本方差20.16s.（1）求的置信度为0.95的置信区间；（2）检验假设20:0.1H（显著性水平为0.05）.（附注）0.050.050.025(16)1.746,(15)1.753,(15)2.132,ttt2220.050.050.025(16)26.296,(15)24.996,(15)27.488.7/7解：（1）的置信度为1下的置信区间为/2/2((1),(1))ssXtnXtnnn0.02510,0.4,16,0.05,(15)2.132Xsnt所以的置信度为0.95的置信区间为（9.7868，10.2132）——5分（2）20:0.1H的拒绝域为22(1)n.2215151.6240.1S，20.05(15)24.996因为220.052424.996(15)，所以接受0H.——10分