不用极限怎样讲微积分

不用极限怎样讲微积分张景中（广州大学计算机教育软件研究所）讲微积分必须讲极限，否则就讲不清楚，这几乎是两百年来数学界的共识，但逆反心理总是有的，越说不用极限不能讲微积分，就越有人想打破框框，想不用极限讲讲微积分，这不，有本书就叫做《不用极限的微积分》(原文：CalculusWith-outLimit)[1]。在网上看到这书名如获至宝，带着激动的心情下载解包急欲一读为快．一看封面，心先凉了一半，原来在书名后面有一条小尾巴：一almost.(图1)这就是说不是不用极限，是“几乎”不用极限，再看内容，就知道了所谓“几乎”不用极限，就是用直观描述代替严谨的极限定义，这和许多微积分的通俗读物本质上没有区别，是模模糊糊的说不清楚的微积分，听有些在大学里讲微积分的老师说，学生根本没有学过微积分还好教，如果学过一些说不清楚的微积分，成了夹生饭，就更不容易教他学懂微积分了，是否真的如此，没有调查研究不敢妄言．但不用极限讲微积分这个题目，就显得更诱人．五十年前学微积分，三十年前又教微积分，常常想一个问题：怎样把微积分变得容易些，曾经想过不用—来寇义极限[2]，但不用极限讲微积分的问题更有意思，在数学教育中更有实际意义，近来在林群先生一系列工作[3，4，5，6]的启发下，偶有所得，自以为是真正实现了不用极限讲微积分，而且是严谨地讲，不用almost.其中有些思路好像以前没有人说过，于是抛砖引玉，希望对高中里的微积分的教学，以及大学里高等数学的教学改革有些用处．1差商和差商有界的函数讲这个问题总得有点预备知识，无非是函数，差分，差商．高中数学课里函数总是要讲的，习惯上只讲一元函数．其实大可以不必这么小气，同时提一下多元函数概念只有好处．小学里的加减乘除都是2元函数，求梯形面积公式就是3元函数，求圆面积公式才是一元函数，这样一讲，学生会感到函数不是新来的怪物，是老朋友，更直观更具体，然后先从一元函数来研究，多元函数概念立此存照．有此伏笔，将来把定积分看成区间两端点的2元函数就顺理成章了．．接着要讲函数的递增递减．判断函数()fx的增减性最好给学生一个工具，这工具就是差分()()fxhfx或差商()()yfxhfxxh湘教版高中教材讲了差分：当h0时，差分正则函数增，差分负则函数减，人教版高中教材讲了差商：差商正则函数增，差商负则函数减．知道了差分和差商，讲微积分就方便了，不管用不用极限，差分和差商总是要用的．差商是函数在一个区间上的平均变化率．常见的函数，在有限区间上的差商多是有界的，这类函数很重要，干脆给个定义：定义1.1若函数()fx在区间I上有定义，且有正数M使得对I上任意两点uv，总有不等式|()()|||fvfuMvu成立，则称，()fx在区间I上差商有界，也说，()fx在区间I上满足李普西兹条件（Lipschitz条件）．定理1.1在区间[a,b]上差商有界的函数()fx在区间[a,b]上必有界．这是因为|()||()()()||()||()()||()||||()|||fxfafxfafafxfafaMxafaMba之故。例1.1求证函数2yx在区间[a,b]上差商有界．证明对[a,b]上任意两点uv，总有22|()()|||||||2(||||)||fvfuvuvuvuabvu取2(||||)Mab，即知函数2yx在[a,b]上差商有界．例1.2求证函数yx在区间[o，1]上非差商有界，但对于任意的a0，它在[,]a上差商有界．证明先用反证法证明其在区间[0，1]上非差商有界．若不然，有正数M，使得对[0，1]上任意两点uv，总有不等式||||vuMvu立，也就是有1||Mvu成立，可见2M≥1．取210,4uvM代人推出2≤1，矛盾．(图2).而当a0时在[,]a上，由于112vuvuuva,可见它是差商有界的。几何上看，差商有界的函数，其曲线上任意两点所确定的直线的斜率的绝对值有界，也就是不能太陡，多项式函数，三角函数，指数函数和对数函数，在有定义的闭区间上，总是差商有界的．两个差商有界函数的和，积．以及复合函数也是差商有界的，显然有定理1.2如果函数F(x)在区间[a，c]上和区间[c，b]上都是差商有界的，则它在区间[a．b]上也是差商有界的．反过来，若函数F(x)在区间[a，b]上差商有界，则它在[a，b]的任意子区间上也是差商有界的．差商有界的函数，都是规规矩矩的“好函数”．练习计算函数的差分差商，估计差商的绝对值的上界，难度不大，对进一步学微积分却很有帮助．2换一个眼光看3个经典例子不用极限，如何看待微积分的几个经典案例呢？例2.1用S=S(t)表示直线上运动物体在时刻t所走过的路程，V=V(t)表示它在时刻t的瞬时速度，则它在时间区间[u，v]上的平均速度的大小，应当在[u,v]上的某两个时刻的瞬时速度之间．也就是说，有[u，v]上的p和q，使得下面的不等式成立：()()()()(2.1)SuSvVpVquv上式可用语言表达为“函数S(t)的差商是v(t)的中间值”．要注意的是，尽管学生容易理解“平均速度的大小应当在某两个时刻的瞬时速度之间”，但要提炼出不等式(2.1)并不容易．从直观的表述得到数学的符号语言，对学生是很好的锻炼，例2.2记函数y=F(x)的曲线上在点x处的切线的斜率为k(x)．则过两点A=(u,F(u))和B=(v，F(v))的割线的斜率，应当在[u，v]上的某两个变量值对应的点处切线的斜率之间（图3）．也就是说，有[u，v]上的p和q，使得下面的不等式成立：()()()()(2.2)FuFvkpkquv上式可用语言表达为“函数F(x)的差商是k(x)的中间值”．上面两个例子，在数学上是一回事．但从平均速度和瞬时速度的问题中，更容易看出一个函数的差商是另一个函数的中值．例2.3考虑[a，b]上的函数f(x)的曲线和x轴之间的面积．若记[a,b]上曲边梯形面积为F(x)（如图4），则[u,v]上这块面积为F(v)-F(u)．如果把这块面积去高补低折合成长为v-u的矩形，则矩形的高应当在[u,v]上的某两个变量值对应的f(x)的值之间（图5）．也就是说，有[u，v]上的p和q，使得下面的不等式成立：()()()()(2.3)FuFvfpfquv上式可用语言表达为“函数F(x)的差商是f(x)的中间值”，注意，我们现在不知道曲边梯形面积的数学定义．但从几何直观上看，这面积应当存在，并且折合成长为v-u的矩形后，矩形的高应当在[u,v]上这段曲线的某两点高度之间（图5）．图5矩形的高在[u，v]上这段曲线的某两点高度之间上面3个例子中，都涉及两个函数，其中一个函数的差商是另一个函数的中间值，从这些例子中，提炼出一个问题，这是微积分的基本问题：若f(x)的差商是g(x)的中间值，知道了一个函数，如何求另一个？这个问题解决了，求作曲线切线的问题，求瞬时速度问题，求曲边梯形面积问题就都解决了．牛顿和莱布尼兹是天才，他们一下子就想到用无穷小或用极限来解决这些问题：无穷小也好，极限也好，都属于天才的思想，所以长时期内使普通人困惑，普通人的平常的推理，只能想到平常的不等式(2.1)，(2.2)和(2.3)．对这些不等式，小学生都不会困惑。问题在于，从这些不等式出发，不借助无穷小或极限概念，能得到问题的答案吗？3用平常的推理寻求答案我们已经从3个经典问题中提炼出来一个数学模型：若函数f（x）的差商是g（x）的中间值，知道了一个函数，如何求另一个？为了方便，引入定义3.1若在I的任意闭子区间[u，v]上，函数f(x)的差商都是g(x)的中间值，则把f(x)叫做g(x)在I上的甲函数，把g(x)叫做f(x)在I上的乙函数，显然有定理3.1若g(x)是f(x)在[a，b]上的乙函数，又是f(x)在[b，c]上的乙函数，则g(x)是f(x)在[a，c]上的乙函数，这是因为，对于任意的uvw，差商()(fwfuwu）总在()(fwfuwu）和()(fvfuvu）之间的缘故．‘学过一些微积分的读者心知肚明，f(x)的乙函数似乎就应当是f(x)的导数．但是，用甲乙函数之间的差商中值关系能求导数吗？例3.1函数()2gxx是2()fxx的乙函数．事实上，对任意uv，2()fxx的差商为22()((3.1)fvfuvuuvvuvu）不等式g(u)=2u≤u+v≤2v=g(v)表明，g(x)=2x是()fx的乙函数．例3.2函数2()3gxx是3()fxx的乙函数．这里有3322()((3.2)fvfuvuuuvvvuvu）当uv≥0时，22uuvv显然在2()3guu和2()3gvv之间；这表明，在（一∞，O]和[O，+co）上，2()3gxx都是f(x)的乙函数．因此在（一∞，+oo）上函数2()3gxx是3()fxx的乙函数，例3.3对任意正整数n，函数1()ngxnx是()nfxx的乙函数．推导类似于上例，从略．例3.4在(o，+∞)上，函数1()2gxx是()fxx的乙函数．同样道理，对Ouv有()(1(3.3)fvfuvuvuvuvu）不等式111()()22gvguvuvu表明，g(x)是f(x)的乙函数．例3.5在(0，+∞)和（一∞，O）上，函数21()gxx是1()fxx的乙函数.此时11()(1(3.4)fvfuvuvuvuuv）：不等式22111()()gugvuuvv表明，g(x)是f(x)的乙函数．例3.6在（一∞，+oo）上，函数g(x)=cosx是f(x)=sinx的乙函数．只要对任意的整数n，证明在(1)[,]22nn上函数g(x)=cosx是f(x)=sinx的乙函数即可．注意当02h时，有sinhhtanh，从而sinhcosh1h；于是对警，(1)[,]22nn上的任意两点uv，有：2sin()cos()sinsin22cos()(3.5)2vuvuvuvuvuvu另一方面，有2sin()cos()sinsincoscos22cos()cos()(3.6)222vuvuvuvuvuuvvuvu这表明，在(1)[,]22nn上cosx是sInx的乙函数．从而要证的结论成立．例3.7在[0，+∞)上，函数3()2xgx是32()fxx的乙函数．这个例子计算起来稍繁，但方法大体相同，对o≤uv，先计算出3322()(()()(3.7)()()fvfuvuuvuvvuvuuv）再根据0≤uv和uuvv估计出：3()3()2()3()3()(3.8)uuvuuvuvuvvuvvuv从而得到3322uuvuvvuv，表明3()2xgx是32()fxx的乙函数，例3.7值得注意：所得到的乙函数在包含0的区间有定义，但不是差商有界的．例3.8探索问题，2()32gxxaxb是不是32()fxxaxbxc的乙函数呢？如果对f(x)分项求乙函数再加起来确实得到g(x)．但是现在还没有证明分项计算乙函数的法则，所以只能直接计算．先求出f(x)在[u，v]上的差商，记做22()(()fvfuDvuvuauvbvu）考虑它和g(u)以及g(v)之差：222()()()(2)(3.9)Dguvuuvuavuvuvua222()()()(2)(3.10)gvDvuvuvavuvuvua因为（v-u）总是正数，故当3u+a≥0时，(3.9)和(3.10)都非负，即g(u)≤D≤g(v)，说明在[,)3a上g(x)是f(x)的乙函数；当3v+a≤0时，(3.9)和(3.10)都非正，即g(v)≤D≤g(u)，说明在[,]3a