不等式与线性规划(文科答案)

专题不等式与线性规划一、选择题1．(2014·淄博一中模拟)不等式x－12x＋1≤0的解集为()A.－∞，－12∪[1，＋∞)B.－12，1C.－12，1D.－∞，－12∪[1，＋∞)答案：C解析：x－12x＋1≤0等价于x－12x＋1≤0，2x＋1≠0，即－12＜x≤1，所以不等式x－12x＋1≤0的解集为－12，1，故选C.2．(2014·宜春二模)在R上定义运算⊙：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)＜0的实数x的取值范围为()21世纪教育网版权所有A．(－2,1)B．(0,2)C．(－∞，－2)∪(1，＋∞)D．(－1,2)答案：A解析：∵x⊙(x－2)＝x(x－2)＋2x＋x－2＝x2＋x－2＜0，即(x－1)(x＋2)＜0，解得－2＜x＜1，故选A.21教育网3．(2014·昆明第一次摸底)已知x，y满足约束条件x－y≤0，x＋y－1≥0，x－2y＋2≥0，则z＝x＋3y的最小值为()A．1B．2C．3D．4答案：B解析：满足题中所给约束条件的可行域如图：由图可知，z＝x＋3y经过点12，12时z取最小，且zmin＝12＋32＝2，故选B.4．(2014·辽宁三校联考)变量x，y满足约束条件y≥－1，x－y≥2，3x＋y≤14，若使z＝ax＋y取得最大值的最优解有无穷多个，则实数a的取值集合是()【来源：21·世纪·教育·网】A．{－3,0}B．{3，－1}C．{0,1}D．{－3,0,1}答案：B解析：作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示．易知直线z＝ax＋y与x－y＝2或3x＋y＝14平行时取得最大值的最优解有无穷多个，即－a＝1或－a＝－3，∴a＝－1或a＝3.故选B.5．(2014·郑州质检二)设实数x，y满足不等式组x＋y≤2，y－x≤2，y≥1，则x2＋y2的取值范围是()A．[1,2]B．[1,4]C．[2，2]D．[2,4]答案：B命题意图：本题主要考查线性规划、两点间的距离公式等基础知识，意在考查考生的运算求解能力和数形结合能力．解析：如图所示，不等式组表示的平面区域是△ABC内部(含边界)，x2＋y2表示的是此区域内的点(x，y)到原点距离的平方．从图中可知最短距离为原点到直线BC的距离，其值为1；最远的距离为AO，其值为2，故x2＋y2的取值范围是[1,4]．21·世纪*教育网6．(2014·上海奉贤二模)下列命题正确的是()A．若x≠kπ，k∈Z，则sin2x＋1sin2x≥4B．若a＜0，则a＋4a≥－4C．若a＞0，b＞0，则lga＋lgb≥2lga·lgbD．若a＜0，b＜0，则ba＋ab≥2答案：D解析：当sin2x＝1时，1＋1＝2＜4，所以A错；若a＜0，则a＋4a≤－4，B错；因为lga，lgb可以小于零，C错；由a＜0，b＜0，所以ba，ab都大于零，D正确．．(2014·山东威海一模)函数f(x)＝(x－2)(ax＋b)为偶函数，且在(0，＋∞)单调递增，则f(2－x)＞0的解集为()2-1-c-n-j-yA．{x|x＞2或x＜－2}B．{x|－2＜x＜2}C．{x|x＜0或x＞4}D．{x|0＜x＜4}答案：C解析：∵f(x)＝ax2＋(b－2a)x－2b为偶函数，∴b－2a＝0，即b＝2a，∴f(x)＝ax2－4a.∴f′(x)＝2ax.又∵f(x)在(0，＋∞)单调递增，∴a＞0.由f(2－x)＞0，得a(x－2)2－4a＞0，【来源：21cnj*y.co*m】∵a＞0，∴|x－2|＞2，解得x＞4或x＜0.8．(2014·四川凉山二诊)设集合An＝{x|(x－1)(x－n2－4＋lnn)＜0}，当n取遍区间(1,3)内的一切实数，所有的集合An的并集是()A．(1,13－ln3)B．(1,6)C．(1，＋∞)D．(1,2)答案：A解析：∵n∈(1,3)，∴n2＋4－lnn＞1.∴An＝{x|(x－1)(x－n2－4＋lnn)＜0}＝{x|1＜x＜n2＋4－lnn}．令g(n)＝n2＋4－lnn，则g′(n)＝2n－1n，当n∈(1,3)时，g′(n)＞0，∴g(n)为增函数，且g(n)∈(5,13－ln3)．【出处：21教育名师】∴A1∪A2∪…∪An＝(1,13－ln3)．9．(2014·北京房山期末统考)设a＞0，b＞0.若3是3a与32b的等比中项，则2a＋1b的最小值为()21教育名师原创作品A．8B．4C．1D.14答案：A解析：由题意可知，3＝3a32b＝3a＋2b，即a＋2b＝1.因为a＞0，b＞0，所以2a＋1b＝2a＋1b(a＋2b)＝ab＋4ba＋4≥2ab·4ba＋4＝8，当且仅当ab＝4ba，即a＝2b＝12时取“＝”．21*cnjy*com10．(2014·安徽合肥二检)在平面直角坐标系中，点P是由不等式组x≥0，y≥0，x＋y≥1所确定的平面区域内的动点，Q是直线2x＋y＝0上任意一点，O为坐标原点，则|OP→＋OQ→|的最小值为()A.55B.23C.22D．1答案：A解析：在直线2x＋y＝0上取一点Q′，使得Q′O→＝OQ→，则|OP→＋OQ→|＝|OP→＋Q′O→|＝|Q′P→|≥|P′P→|≥|BA→|，其中P′，B分别为点P，点A在直线2x＋y＝0上的投影，如图：因为|AB→|＝|0＋1|12＋22＝55，因此|OP→＋OQ→|min＝55，故选A.11．已知a0，x，y满足约束条件x≥1，x＋y≤3，y≥ax－3，若z＝2x＋y的最小值为32，则a＝()A.14B.12C．1D．2答案：A解析：作出不等式组x≥1，x＋y≤3，y≥ax－3所表示的可行域如下图中阴影部分，联立x＝1与y＝a(x－3)得点A(1，－2a)，作直线l：z＝2x＋y，则z为直线l在y轴上的截距，当直线l经过可行域上的点A(1，－2a)时，直线l在y轴上的截距最小，此时，z取最小值，即zmin＝2×1＋(－2a)＝2－2a＝32，解得a＝14，故选A.【版权所有：21教育】12．若函数y＝2x图象上存在点(x，y)满足约束条件x＋y－3≤0，x－2y－3≤0，x≥m，则实数m的最大值是()A.12B．1C.32D．2答案：B解析：约束条件x＋y－3≤0，x－2y－3≤0，x≥m确定的区域如图中阴影部分，即△ABC的边与其内部区域，分析可得函数y＝2x与边界直线x＋y＝3交与点(1,2)．若函数y＝2x图象上存在点(x，y)满足约束条件，即y＝2x图象上存在点在阴影部分内部，则必有m≤1，即实数m的最大值为1，故选B.13．设m，n∈R，若直线l：mx＋ny－1＝0与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，且坐标原点O到直线的距离为3，则△AOB的面积S的最小值为()A.12B．2C．3D．4答案：C解析：由题意知，A1m，0，B0，1n，O到直线的距离d＝1m2＋n2＝3，即m2＋n2＝13.因为13＝m2＋n2≥2mn，所以mn≤16，1mn≥6当且仅当m＝n＝66时取等号，此时△AOB的面积为S＝12×1m×1n≥12×6＝3，所以△AOB面积的最小值为3，故选C.21cnjy.com14．在三棱锥P－ABC中，PA，PB，PC两两垂直，且PA＝3，PB＝2，PC＝1，设M是底面△ABC内一点，定义f(M)＝(m，n，p)，其中m，n，p分别是三棱锥M－PAB，三棱锥M－PBC，三棱锥M－PCA的体积，若f(M)＝12，x，y，且1x＋ay≥8，则正实数a的最小值为()A．1B．2C．22D．4答案：A解析：依题意，12＋x＋y＝13×12×3×2×1＝1，即x＋y＝12，∴1x＋ay＝21x＋ay(x＋y)＝21＋a＋yx＋axy≥2(1＋a＋2a)＝2(a＋1)2，由题设2(a＋1)2≥8，解得a≥1，故正实数a的最小值为1.二、填空题15．(2014·济南模拟)设变量x，y满足约束条件y≤3x－2，x－2y＋1≤0，2x＋y≤8，则yx的最大值是________．答案：2命题意图：本题主要考查二元一次不等式组的解集和斜率公式，考查线性规划知识．解析：二元一次不等式组表示的区域如图阴影部分所示，yx表示阴影部分内一点与原点连线的斜率，在点A，即2x＋y＝8，y＝3x－2的交点(2,4)处，yx取最大值2.21*cnjy*com16．(2014·沈阳质量检测)定义运算：xy＝xxy≥0，yxy＜0，例如：34＝3，(－2)4＝4，则函数f(x)＝x2(2x－x2)的最大值为________．答案：4解析：依题意知，当x2(2x－x2)≥0，即0≤x≤2时，f(x)＝x2的最大值是22＝4；当x2(2x－x2)＜0，即x＜0或x＞2时，f(x)＝2x－x2＝－(x－1)2＋1＜0.因此，函数f(x)的最大值是4.17．(2014·皖南八校联考)已知实数x，y满足0≤x≤2，y≤2，x≤2y，则z＝2x＋y－1x－1的取值范围是________．答案：(－∞，1]∪[22＋4，＋∞)解析：由不等式组画出可行域如图中阴影部分所示，目标函数z＝2x＋y－1x－1＝2＋y＋1x－1的取值范围转化为点(x，y)与(1，－1)所在直线的斜率加上2的取值范围，由图形知，A点坐标为(2，1)，则点(1，－1)与(2，1)所在直线的斜率为22＋2，点(0,0)与(1，－1)所在直线的斜率为－1，所以z的取值范围为(－∞，－1]∪[22＋4，＋∞)．18．(2014·云南第一次检测)已知a＞0，b＞0，方程为x2＋y2－4x＋2y＝0的曲线关于直线ax－by－1＝0对称，则3a＋2bab的最小值为________．答案：7＋43解析：该曲线表示圆心为(2，－1)的圆，由题意得，直线ax－by－1＝0经过圆心，则2a＋b－1＝0，即2a＋b＝1，所以3a＋2bab＝3b＋2a＝3b＋2a(2a＋b)＝6ab＋2ba＋7≥26ab·2ba＋7＝7＋43(当且仅当a＝2－3，b＝23－3时等号成立)．19．(2014·江苏南通期末)给出以下三个关于x的不等式：①x2－4x＋3＜0；②3x＋1＞1；③2x2＋m2x＋m＜0.若③的解集非空，且满足③的x至少满足①和②中的一个，则m的取值范围是________．答案：[－1,0)解析：由①解得x∈(1,3)，由②解得x∈(－1,2)，则①和②的并集为(－1,3)，根据题意，可得③的解集是(－1,3)的子集，令f(x)＝2x2＋m2x＋m，则－1＜－m24＜3，Δ＞0，f－1≥0，f3≥0，解得m∈[－1,0)．20．(2014·北京顺义一模)设x，y满足约束条件4x－3y＋4≥0，4x－y－4≤0，x≥0，y≥0，若目标函数z＝ax＋by(a＞0，b＞0)的最大值为8，则ab的最大值为________．答案：2解析：画出可行域，如图所示，目标函数变形为y＝－abx＋zb，由已知，得－ab＜0，且纵截距最大时，z取到最大值，故当直线l过点B(2,4)时，目标函数取到最大值，即2a＋4b＝8，因a＞0，b＞0，由基本不等式，得2a＋4b＝8≥42ab，即ab≤2(当且仅当2a＝4b＝4，即a＝2，b＝1时取“＝”)，故ab的最大值为2.21·cn·jy·com21．已知正数a，b，c满足a＋b＝ab，a＋b＋c＝abc，则c的取值范围是________．答案：1，43解析：由a＋b＝ab，a＋b＋c＝abc，得ab＋c＝abc，则c＝abab－1＝11－1ab1，又a＋b＝ab≥2ab，ab≥4，得1ab≤14，∴1－1ab≥34，∴c≤43，故c∈1，43.22．已知不等式xy≤ax2＋2y2对于x∈