不等式的证明及应用

不等式的证明及应用目录1初等数学中常用不等式的证明方法………………………41.1综合法……………………………………………………………………………………………………………….41.2分析法……………………………………………………………………………………………….................41.3比较法……………………………………………………………………………………………………………….51.3.1“作差法”………………………………………………………………………………………………51.3.2“作商法”………………………………………………………………………………………………61.4放缩法……………………………………………………………………………………………………………….71.4.1“放大”…………………………………………………………………………………………………71.4.2“缩小”……………………………………………………………………………………………….71.5构造法……………………………………………………………………………………………………………….81.5.1构造函数………………………………………………………………………………………………….81.5.2构造复数…………………………………………………………………………………………………..91.5.3构造图形………………………………………………………………………………………………….71.6反证法……………………………………………………………………………………………………………….101.7换元法……………………………………………………………………………………………………………….81.7.1整体换元………………………………………………………………………………………………….81.7.2增量代换………………………………………………………………………………………………….111.7.3三角换元………………………………………………………………………………………………….91.7.4三角边换元………………………………………………………………………………………………91.8判别式法……………………………………………………………………………………………………………121.9数学归纳法………………………………………………………………………………………………………102高等数学中不等式证明的常用方法……………………132.1利用函数的极值与最值………………………………………………………………………………………132.2利用Jensen不等式…………………………………………………………………………………………..122.3利用拉格朗日中值定理………………………………………………………………………………………162.4利用函数的凹凸性………………………………………………………………………………………….172.5利用积分不等式性质………………………………………………………………………………………….173不等式的应用……………………………………………183.1不等式在数学中的应用………………………………………………………………………………………183.1.1在集合中的运用………………………………………………………………………………………1853.1.2在函数中的运用………………………………………………………………………………………163.1.3在数列中的应用………………………………………………………………………………………193.2在实际生活中的应用………………………………………………………………………………………….203.3在物理学中的应用…………………………………………………………………………………………….20总结:…………………………………………………………21参考文献：…………………………………………………19不等式的证明及应用摘要：不等式是数学基础知识的重要的组成部分，并且在考试中占得一定的比重。不等式的证明方法很多，本文着重分析了几种常用的证明方法，通过这些方法能够更加快速、方便地证明一些不等式。不等式的应用也非常的广泛，在线性规划、极限的求值、集合、函数最值、物理学等方面都会有相应的应用。关键字：不等式证明、拉格朗日中值定理、函数单调性、函数极值与最值、不等式的计算正文不等式是数学基础知识中的重要组成部分。无论是初等数学中，还是在高等数学中都是重要的工具，并且不等式在高中数学中是一个重难点、考分点。除此而外，不等式的应用也非常广泛，例如函数求最值、数列极限求值、线性规划、函数的单调性凹凸判断、讨论二次方程根的存在性、根的分布以及根的个数问题、数列的增减性等。本文通过一些简单的例子，归纳总结了证明不等式的常见方法，并且结合了一些高等数学中的一些知识和现实生活中的实际例子，来证明一些比较困难的不等式会更加的易懂、简洁。1初等数学中常用不等式的证明方法1.1综合法证明不等式的综合方法，是从题目的已知条件出发，已知成立的不等式出发，利用不等式的基本性质进行推导变形化简，进而得出所要求证的不等式，利用综合法的关键是要熟知一些常用的不等式，通过变形、化简，将复杂未知的不等式归结为常用不等式。如：),,(33,22),,(3,2,22222233322RcbacbacbababaRcbaabccbaabbaabba例1.已知0,,cba，且全不相等。求证：abcbaccabcba6222222证：0,,cba，且全不相等abcbaccabcbaabcabcacbbcabaccabcbaabbaaccabccb662.2.2.222222222222222222222，，1.2分析法分析法是证明不等式的一种重要的方法，用分析法论证，“若A则B”这个命题的模式是：欲证B为真，只需证命题1B为真，从而又只需证2B为真…，只需证命题A为真，现在已知A真，故B真，可见分析法是执果索因。一步一步地寻找上一步成立的条件。其形式可表示为：ABBBBn21注意：分析法不是等价证明，不能写成ABBBBBn321例2.已知11,1||,1||abbaba求证：分析：要证11abba即证：1122abba011012122222222222babababaabbaba由1,1ba.可知01122ba成立11baba1.3比较法这是一种证明不等式中最基本的方法，比较法有“作差法”和“作商法”两种。“作差法”的证明步骤是将不等式两边的式子作差化简后，再与0比较。而“作商法”是将不等式两边的式子作商化简后，再与1比较。而一般情况下，不等式两边的式子和或差的形式出现用“作差法”，不等式两边的式子以乘积或指数幂形式出现时，则用“作商法”。注意观察不等式两边的式子，灵活运用。1.3.1“作差法”步骤：作差—化简—判号—定论关键：若要证ba，即证0ba成立，关键是找到0ba的结论。例3.如果用akg白糖制出bkg糖水，则糖的浓度为ba。若在上诉溶液中再添加mkg白糖，此时糖水的浓度变为mbma，从现实生活中，我们都知道糖水加糖更甜，也就说0m0且bambmaba证明：0m0且bambmaba证：bambma=mbbmbamab=mbbabm000.0,,mbbabmabmbbamba，且即bambma1.3.2“作商法”步骤：作商—化简—与1比较—定论，（如果要证ba，若0,ba，则只要证1ba成立。）注意：1.作商法的前提为ba,为正实数；2.在证明幂、指数时常用“作商法”。例4.已知,,,Rcba求证：3cbacbaabccba证：不妨设cba不等式两边式子均大于0要证3cbacbaabccba只需证13cbacbaabccba而3232323baccabcbacbacbacbaabccba=333333acbccbabcabacba=333cbcabacbcaba11.003babababacba又同理可证：1,133cbcacbca3cbacbaabccba1.4放缩法利用放缩法证明不等式的关键是寻找中间变量C,使ACB成立。C在量A与B之间架起一座桥梁，通过桥梁C的过渡，使A与B之间间接地建立起不等关系。具体表述为：欲证AB，先证明AC且CB(放大)；或先证明BCˊ且CˊA(缩小)1.4.1“放大”关键是找到量C,使AC且CB，从而得AB例5.设cba、、是ABC的三边，求证：2baccabcba的三边是、、证：ABCcbacbaaacbaacbabaccabcba2，，同理：cbacbaccbabcab22，三式相加得：2baccabcba1.4.2“缩小”关键是找到Cˊ,使BCˊ且CˊA，从而得BA例6.已知n为正整数，试证：2121-211511311nn证：令A=1211511311n=1225634nn而由不等式)0(,abmambab得nnnnnnnn2121222212322267564534以上不等式连乘得nnnnnnnn2122212674512232225634不等式两边再同时乘以A2124123122121226756453422nAnnAnnnnA1.5构造法构造法是利用不等式的结构，构造成某一函数，或者复数，或者几何图形，再利用相关的性质去解决问题。1.5.1构造函数有些不等式从结构上相似一个函数，以某字母看成自变量构造成适当的函数，利用函数的某些一些性质（如：单调性）来证明不等式。利用这个方法的关键是构造恰当的不等式。例7.已知ABC的三边长是cba,,，求证：111ccbbaa证明：设函数01111xxxxxf易知xf随x的增大而增大xf在，0上是增函数又cbabafcccf1即bbaababbaababacc11)(1111111ccbbaa1.5.2构造复数构造复数通常是利用不等式的结构，构造复数的模，再利用复数的模的性质进行证明。的虚部称为的实部，称为，，例如：zbzaiRbabiaz1,,222baz称为复数z的模212121zzzzzz例8.求证：2222222223yxzyxxzxzzyzyyxyx），（），（），（证：332132144421232132144421132132144421222222222222222222izxzxzxzxxzxzxzxziyzzyyzzyzyzyzyzyiyxyxyxyxyxyxyxyx由321321zzzzzz得