专题十三动量和能量

1专题十三动量和能量重重点点难难点点1．弹簧类问题：系统内有两个物体之间用轻质弹簧连在一起，连接的弹簧或为原长，或已压缩而被锁定．这样包括弹簧的系统与第三个物体相互作用（碰撞、子弹射入等）。这是这类问题的典型物理情境．首先应注意上述两种情况的区别：已完全压缩的弹簧没有缓冲作用，应将系统当作一个整体来处理；没压缩的弹簧有缓冲作用，只有碰撞的两个物体组成系统，与弹簧相连的另一端的物体没有参与．此类问题还应注意：把相互作用的总过程划分为多个依次进行的子过程，分析确定哪些子过程机械能是守恒的，哪些子过程机械能不守恒．还有一个常见的物理条件：当弹簧最长或最短（或弹簧中弹性势能最大）时，弹簧两端的物体速度相等．2．“子弹击木块”模型类问题：子弹击穿木块时，两者速度不相等；子弹未击穿木块时，两者速度相等．这两种情况的临界情况是：当子弹从木块一端到达另一端，相对木块运动的位移等于木块长度时，两者速度相等．此时系统的动量守恒，机械能不守恒．可应用动能定理分别对子弹、木块列式，也可应用动能关系对系统列式．对系统的功能关系是：滑动摩擦力对系统做的功（W=-fd，d为子弹击入木块的深度），等于系统功能的变化（ΔEk=Ek未Ek初）．3．“类子弹击木块”模型问题：此时相互作用力不是介质阻力或滑动摩擦力，而是重力、弹力，此时机械能是守恒的．如弹性碰撞时：动量守恒、动能守恒，以两个运动物体发生弹性碰撞为例：两物体质量分别为m1、m2，碰撞前速度分别为υ10、υ20，碰撞后速度分别为υ1，υ2，且碰撞是弹性正碰，则有：动量守恒即m1υ10+m2υ20=m1υ1+m2υ2①动能守恒即21m1υ210+21m2υ220=21m1υ21+21m2υ22②将①式变形有：m1（υ10-υ1）=m2（υ2-υ20）③将②式变形有：m1（υ10-υ1）（υ10+υ1）=m2（υ2-υ20）（υ2+υ20）④将④÷③有：υ10+υ1=υ2+υ20⑤由①和⑤解得：υ1=2121mmmmυ10+2122mmmυ20，υ2=2112mmmυ10+2112mmmm．当υ20＝0时，υ1＝2121mmmmυ10，υ2=2112mmmυ10．当m1=m2时，υ1＝υ20，υ2=υ10，即两物体交换速度．规规律律方方法法【例1】（05年南京）如图所示，光滑水平面上有A、B、C三个物块，其质量分别为mA=2.0kg，mB=1.0kg，mC=1.0kg．现用一轻弹簧将A、B两物块连接，并用力缓慢压缩弹簧使A、B两物块靠近，此过程外力做108J（弹簧仍处于弹性限度内），然后同时释放A、B，弹簧开始逐渐变长，当弹簧刚好恢复原长时，C恰以4m/s的速度迎面与B发生碰撞并粘连在一起．求：（1）弹簧刚好恢复原长时（B与C碰撞前）A和B物块速度的大小．（2）当弹簧第二次被压缩时，弹簧具有的最大弹性势能．【解析】（1）弹簧刚好恢复原长时，A和B物块速度的大小分别为υA、υB．2由动量守恒定律有：0=mAυA-mBυB此过程机械能守恒有：Ep=21mAυ2A+21mBυ2B代入Ep＝108J，解得：υA＝6m/s，υB=12m/s，A的速度向右，B的速度向左．（2）C与B碰撞时，C、B组成的系统动量守恒，设碰后B、C粘连时速度为υ′，则有：mBυB-mCυC=（mB+mC）υ′，代入数据得υ′=4m/s，υ′的方向向左．此后A和B、C组成的系统动量守恒，机械能守恒，当弹簧第二次压缩最短时，弹簧具有的弹性势能最大，设为Ep′，且此时A与B、C三者有相同的速度，设为υ，则有：动量守恒：mAυA-（mB+mC）υ′=（mA+mB+mC）υ，代入数据得υ=1m/s，υ的方向向右．机械能守恒：21mAυ2A+（mB+mC）υ′2=Ep′+21（mA+mB+mC）υ2，代入数据得E′p＝50J．训练题如图所示，滑块A、B的质量分别为m1和m2，m1＜m2，由轻质弹簧连接，置于光滑的水平面上，用一轻绳把两滑块拉至最近，使弹簧处于最大压缩状态后绑紧，并使两滑块以速度υ0向右运动，突然轻绳断开，当弹簧伸长到原长时，滑块A的速度恰好为零．请通过定量分析说明，在以后的运动过程中，滑块B是否会有速度为零的时刻．答案：滑块B不会有速度为零的时刻【例2】（05年高考·广东）如图3-13-3所示，两个完全相同的质量分别为m的木块A、B置于水平地面上，它们的间距S＝2．88m．质量为2m，大小可忽略的滑块C置于A板的左端．C与A、B之间的动摩擦因数μ1=0．22，A、B与水平地面之间的动摩擦因数为μ2＝0.10，最大静摩擦力可认为等于滑动摩擦力．开始时，三个物体处于静止状态．现给C施加一个水平向右、大小为52mg的力F，假定木板A、B碰撞时间极短且碰撞后粘连在一起，要使C最终不脱离木板，每块木板的长度至少应为多少？【解析】A、C之间的滑动摩擦力大小为f1，f1=μ1mcg=0.44mg，A与水平地面之间的滑动摩擦力大小为f2，f2=μ2（mA+mC）g=0.3mg，外力F=52mg=0．4mg可见F＜f1，F＞f2，即首先A和C之间保持相对静，在F的作用下一起向右做加速运动．设A与B碰撞前A、C的速度大小为υ1，由动能定理有：（F-f2）s=21（mA+mC）υ21代入数据得：υ1=0．83m/sA、B两木板的碰撞瞬间，内力的冲量远大于外力的冲量，由动量守恒定律，设A、B碰后一起运动的速度为υ2，则有：mAυ1=（mA+mB）υ2得υ2=12=0．43m/s碰撞后C与A、B之间有相对滑动，此时A、B与地面间滑动摩擦力大小为f3，f3＝μ2（mA+mB+mC）g=0．4mg，可见F＝f3，即三物体组成的系统受合外力为零，动量守恒，设它们达到的共同速度为υ3，此时A、B向前滑动的距离为s1，C恰好滑到B板的右端，此后三者一起做匀速运动，C不会脱离木板，设对应的木块长度为l．由动量守恒有：mcυ1+（mA+mB）υ2=（mC+mA+mB）υ3得υ3=0．63m/s对A、B整体，由动能定理有：f1s1-f3s1=21（mA+mB）（υ23-υ22），得s1=1.5m3对C，由动能定理有：F（2l+s1）-f1（2l+s1）=21mC（υ23-υ21），得l=0.3m训练题（05年广州）如图所示，O点左侧是粗糙的，右侧是光滑的一轻质弹簧右端与墙壁固定，左端与静止在O点的质量为m的小物块A连接，弹簧处于原长状态．质量也为m的物块B在大小为F的水平恒力．作用下由C处从静止开始向右运动，已知物块B与地面EO段的滑动摩擦力大小为4F．物块B运动到O点与物块A相碰并一起向右运动（设碰撞时间极短），运动到D点时撤云外力F已知CO＝4s，OD=s，求撤去外力后：（1）弹簧的最大弹性势能（2）物块B最终离O点的距离（设碰后A、B一起运动但不粘连）答案：（1）Ep=5Fs/2（2）L=0．3m【例3】空间探测器从行星旁边绕过时，由于行星的引力作用，可以使探测器的运动速率增大，这种现象被称之为“弹弓效应在航天技术中，“弹弓效应”是用来增大人造小天体运动速率的一种有效方法．（1）如图所示是“弹弓效应”的示意图：质量为m的空间探测器以相对于太阳的速度u0飞向质量为M的行星，此时行星相对于太阳的速度为u0，绕过行星后探测器相对于太阳的速度为υ，此时行星相对于太阳的速度为υ，由于mM，υ0、υ、u0、u的方向均可视为相互平行试写出探测器与行星构成的系统在上述过程中“动量守恒”“及始末状态总动能相等”的方程，并在mM的条件下，用υ0和u0来表示υ．（2）若上述行星是质量为M＝5．67×1026kg的土星，其相对太阳的轨道速率u0=9.6km/s，而空间探测器的质量m＝150kg，相对于太阳迎向土星的速率υ0＝10.4km/s，则由于“弹弓效应”，该探测器绕过火星后相对于太阳的速率将增为多少？（3）若探测器飞向行星时其速度υ0与行星的速度u0同方向，则是否仍能产生使探测器速率增大的“弹弓效应”？简要说明理由．【解析】（1）以探测器初始时速度υ0的反方向为速度的正方向由动量守恒定律有：-mυ0+Mu0=mυ+Mu由动能守恒有:21mυ20+21Mu20=mυ2+Mu2由上两式解得：υ=mMmMυ0+mMM2u0．当mM时，mMmM≈1，mMM2≈2，故近似有υ＝υ0+2u0（2）从所给数据可知mM，代入υ0、u0的值可得υ＝29．6km/s（3）当υ0与u0方向同向时，此时υ0、u0都取负值，为使探测器能追上行星，应使｜υ0｜＞|u0|，此时有υ=υ0+2（u0）即｜υ｜＝｜υ0．2u0｜＜|υ0|可见不能使探测器速率增大训练题如图所示，运动的球A在光滑的水平面上与一个原来静止的B球发生弹性碰撞，碰撞前后的速度在一条直线上A、B的质量关系如何，才4可以实现使B球获得：（1）最大的动能；（2）最大的速度；（3）最大的动量（设两球半径相等）答案：（1）Ek2m=mAv02/2（2）vBm=2v0（3）P2m=2mAv0【例4】如图所示，弹簧上端固定在O点，下端挂一木匣A，木匣A顶端悬挂一木块B（可视为质点），A和B的质量都为m=1kg，B距木匣底面高度h=16cm，当它们都静止时，弹簧长度为L某时刻，悬挂木块B的细线突然断开，在木匣上升到速度刚为0时，B和A的底面相碰，碰撞后结为一体，当运动到弹簧长度又为L时，速度变为υ′=1m/s求：（1）B与A碰撞中动能的损失ΔEk;（2）弹簧的劲度系数k；（3）原来静止时弹簧内具有的弹势势能E0【解析】线断后，A向上做简谐运动，刚开始为最低点，此时弹簧伸长为x，应有kx=2mg；A到达平衡位置时，应有kx1=mg，x1为此时弹簧的伸长，可见x=2x1，A振动的振幅即x1=2x，当A到达最高点时，A的速度为零，弹簧处于原长位置，弹簧的弹性势能也为零．（1）当A、B结为一体运动到弹簧长度又为L时，弹簧中弹性势能不变，A的重力势能不变，B的重力势能减少mgh，此时A、B具有动能·2m·υ2，可见系统（A、B及弹簧）减少的机械能为ΔE＝mgh·2mυ2=0．6J只有在B与A碰撞粘合在一起时有机械能（动能）的损失，其他过程均不会损失机械能，故碰撞中损失的动能即系统损失的机械能：ΔEk=ΔE＝0．6J（2）A、B发生碰撞时，A向上运动了x，速度为零;B向下自由下落了h-x，速度为υB，由机械能守恒定律有：mg（h-x）=21mυ2BA和B碰撞过程，动量守恒，设碰后共同速度为υ，则mυB=2mυ由能量守恒有：21mυ2B=ΔEk+21·2m·υ2由以上各式，代入数据解得：x=0．04m，k=500N/m（3）线断后，A从最低点到最高点时，弹簧原来具有的弹性势能转化为A的重力势能，有E0＝mgx，得E0=0.4J训练题（05年天星）如图所示，一质量M＝2kg的长木板B静止于光滑的水平面上，B的右端与竖直档板的距离为s＝1m，一个质量m=1kg的小物体A以初速度υ0=6m/s从B的左端水平滑上B，在B与竖直挡板碰撞的过程中，A都没有到达B的右端设物体A可视为质点，A、B间的动摩擦因数μ=0.1，B与竖直挡板碰撞时间极短，且碰撞过程中无机械能损失，g取10m/s2求：（1）B与竖直挡板第一次碰撞前的瞬间，A、B的速度各是多少？（2）最后要使A不从B的两端滑下，木板B的长度至少是多少？（结果保留3位有效数字）答案：（1）vA=4m/s，vB=1m/s5（2）L=18．0m能能力力训训练练1．矩形滑块由不同材料的上、下两层粘结在一起，将其放在光滑的水平面上，如图所示，质量为m的子弹以速度u水平射向滑块若射击上层，则子弹刚好不穿出；若射击下层，则整个子弹刚好嵌入，则上述两种情况相比较（AB）A．两次子弹对滑块做的功一样多B．两次滑块所受冲量一样大C．子弹嵌入下层过程中对滑块做功多D．子弹击中上层过程中，系统产生的热量多2．（05年扬州）1924年法国物理学家德布罗意提出物质波的概念任何一个运动着的物体，小到电子，大到行星、恒星都有一种波与之对应，波长为λ=ph，P为物体运动的动量，h是普朗克常量．同样光也具有粒