中学数学例谈中考数学归纳思想

例谈中考数学试题中的归纳思想吴立宝王新民内江师范学院数学与信息科学学院，四川内江641112归纳是人类探索真理和发现真理的主要工具之一.法国大数学家拉普拉斯曾说过，发现真理的主要工具是归纳和类比.归纳法虽然是一种“似然”的“合情推理”，但这并不意味着归纳法的作用不大，实际上对于数学的发展和创新而言，归纳推理的巨大作用，是论证推理所无法代替的.牛顿说过：“没有大胆的猜测，就做不出伟大的发现。”在特殊的情况下，通过观察或实验等方法，捕捉它们的本质属性，从而大胆猜测，得出归纳判断，在这个基础上再设法加以论证.中考作为选拔性考试，更侧重于能力测试，归纳能力的测试越来越得到出题者的重视.本文拟从枚举、类比、实验、统计与模式等方面对各地中考试题进行探索与分析.1枚举归纳枚举归纳法是从枚举一类事物中的若干分子具有某种性质得出这类事物的所有分子都具有该性质的逻辑方法.枚举归纳法只依靠所枚举的事例的数量，因此它所得到的结论可靠性较低，一旦遇到一个反例，结论就会被推翻.但是枚举归纳法仍有一定的作用，通过枚举归纳法得到的结论可作为进一步研究的假说.例1（2009年山东省济宁市）观察图中每一个大三角形中白色三角形的排列规律，则第5个大三角形中白色三角形有个．分析设第n个大三角形中白色三角形有na个.第1个里面蕴含1个白色三角形（即11a）；第2个里面蕴含4个白色三角形（即2113aa）；第3个里面蕴含13个白色三角形（即3213aa）；……通过前三个里面蕴含的规律，可以发现第n个大三角形中白色三角形有113nnaa个.因此，可知11a，24a，313a，440a，5121a，解应填121.点评：此题入口比较容易，计算量不大，但是需要根据前三个图形白色三角形的个数，找出蕴含的规律，猜测归纳一般情况.例2（2009年辽宁省抚顺市）观察下列图形（每幅图中最小．．的三角形都是全等的），请写出第n个图中最小．．的三角形的个数有个．图1第1个第2个第3个图2分析：设第n个图中最小三角形有na个.第1个图里面蕴含1个最小的三角形（即0114a）；第2个图里面蕴含4个最小的三角形（即121244a）；第3个图里面蕴含16个最小的三角形（即231344a）；第4个图里面蕴含64个最小的三角形（即341444a）；……通过前4个里面蕴含的规律，归纳得出第n个图中的最小三角形有14nna个.解：14n点评：此题是一个等比数列的原始模型，然后分析哪些因素随项数的变化而变化，哪些因素不变，分析得出符号、数字、字母与项数之间的关系，初步归纳出特征，再通过前四个进行检验.有效的考察了学生的发现问题的能力、归纳一般规律的能力.例3（2009年辽宁省本溪市）如图所示，已知点(00)A，，(30)B，，(01)C，，在ABC△内依次作等边三角形，使一边在x轴上，另一个顶点在BC边上，作出的等边三角形分别是第1个11AAB△，第2个122BAB△，第3个233BAB△，…，则第n个等边三角形的边长等于．分析分析显然要求第n个等边三角形的边长，需要求出第1个等边三角形的边长、第2个等边三角形的边长，…，从中发现规律，顺利解决.ABC△在平面直角坐标系下，显然3OB，通过计算可得出132OB，12232BB，…，132nnnBB.解答案为32n.点评：此题把图形的数量关系坐标化，将其转化为长度关系并且一开始就没有给出第1个等边三角形的边长，需要根据已知来求，然后依次求第2个，第3个，…，然后归纳得出一般结果.这类问题注重检验考生的学习潜能，仅仅有死的知识是不行的，还必须具备较强的逻辑判断能力、运算能力与归纳推理能力．2类比归纳类比归纳法是两种或两种以上在某些关系上表现相似的对象进行对比，做出归纳判断的Oyx(A)A1C112BA2A3B3B2B1图3第1个图第2个图第3个图第4个图一种科学研究方法.在中考数学中考查类比归纳法，引导学生通过对知识的类比和归纳，把知识由点连成线，由线织成网，使知识有序化、系统化，从而使学生掌握知识内在的规律.例4（2008年贵州省遵义市）如图是与杨辉三角形有类似性质的三角形数垒，ab，是某行的前两个数，当7a时，b．分析：一看到此题，学生应该头脑中马上映现出杨辉三角的基本数表结构对比杨辉三角形的性质通过观察、类比、归纳三角形数垒的特征，当6a，邻近的数字是16，那么当7a，邻近的数字是22.解：b22点评：此题以大家熟知的杨辉三角为基本模型，设计构造了个新的数表，在解决过程中需要头脑中映像出杨辉三角的基本特征，以此为依托，发现两者异同，从而迅速准确把握其数字规律，从而有效解决，重在考察学生的类比归纳能力.3实验归纳实验归纳是直接从观察实验结果中分析、归纳、概括而总结出规律的方法.在中考试题中，需要学生动手操作，通过实验，依托直觉，对实验的结果进行大胆猜想，形成问题解决的初步方案；然后根据猜想，继续实验，通过实验来验证方案，从而获得问题的解决.例5（2008年北京市）已知等边三角形纸片ABC的边长为8，D为AB边上的点，过点D作DGBC∥交AC于点G．DEBC于点E，过点G作GFBC于点F，把三角形纸片ABC分别沿DGDEGF，，按图4所示方式折叠，点ABC，，分别落在点A，B，C处．若点A，B，C在矩形DEFG内或其边上，且互不重合，此时我们称ABC△（即图中阴影部分）为“重叠三角形”．（1）若把三角形纸片ABC放在等边三角形网格中（图中每个小三角形都是边长为1的等边三角形），点ABCD，，，恰好落在网格图中的格点上．如图5所示，请直接写出122343477451114115·········ab········AGCFBCEBDA图4AGCFBCEBDA图5此时重叠三角形ABC的面积；（2）实验探究：设AD的长为m，若重叠三角形ABC存在．试用含m的代数式表示重叠三角形ABC的面积，并写出m的取值范围．解：（1）重叠三角形ABC的面积为；（2）用含m的代数式表示重叠三角形ABC的面积为；m的取值范围为．分析：通过一个等边三角形进行折叠实验.根据折叠，发现结果是等边三角形，那么可以猜测如果出现重叠的话，那么可能是等边三角形.此时的归纳结论还属于猜测，通过第二次或第三次的折叠来验证结论，在验证的过程中，可能会出现没有重叠的可能性，那么根据直觉经验，能否获得重叠三角形可能与点D有密切联系，从而顺利过渡到m取值范围上来.解：根据折叠，设AD的长为m，那么AB的长为82m，从而23(4)ABCSm，此时8mm，即得4m.那么m到底应该至少多长才会出现重叠呢？观察实验可以得出82mm，解得83m.故843m.点评：此题设计精巧，以学生喜闻乐见的折纸为背景，使代数知识、几何知识融为一体，有效的考察了数形结合思想、变换思想、函数思想等，使学生经历观察、动手操作、猜测、合情推理等活动.尤其是第2问，由特殊到一般的认知规律，在直观感知的基础上，将直觉思维与简单推理融合在一起，有效的考察了学生的数学建模意识与能力.4统计归纳统计归纳推理是归纳推理的主要形式，作为归纳推理，它是以一些统计数据或资料为前提，以概率演算为基础，由样本所含单位具有某属性的相对频率推出总体所含单位具有该属性的概率.例6（2009年辽宁省本溪市）初中生对待学习的态度一直是教育工作者关注的问题之一．为此某市教育局对该市部分学校的八年级学生对待学习的态度进行了一次抽样调查（把学习态度分为三个层级，A级：对学习很感兴趣；B级：对学习较感兴趣；C级：对学习不感兴趣），并将调查结果绘制成图①和图②的统计图（不完整）．请根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）此次抽样调查中，共调查了名学生；（2）将图①补充完整；（3）求出图②中C级所占的圆心角的度数；（4）根据抽样调查结果，请你估计该市近20000名初中生中大约有多少名学生学习态度达标（达标包括A级和B级）？分析：以柱状图、扇形图等来呈现资料，只要读懂里面蕴含的信息，从而迅速求解.解（1）200；（2）2001205030人；人数1201005050120Ａ级B级C级学习态度层级图①图②25%Ａ级B级C级60%（3）C所占圆心角度数360(125%60%)54°°；（4）20000(25%60%)17000．点评：以抽样调查获得数据以柱状图、扇形图来呈现，要求学生通过数表、图表获取数据信息，分析整理数据，根据样本数据显示的的特征来推测总体具有的特征，并将统计结果应用到现实生活中，这是统计的基本思想解决问题的基本方式，在全国各地中考试题中屡见不鲜.此题以现在初中生的学习态度的调查为背景，进行了初步的抽样调查，然后对数据进行分析，一者考察学生的数据分析处理能力；二者有利于教师与学生认识到初中生学习态度的现状.5模式归纳模式归纳是借助于已有的提供数、图表信息，以此为依据，构造数学模型，进行归纳得出结论的过程.模式可以包括数的模式、形的模式、运动变化的模式、推理通信的模式、算法模式等等.例7（2007年梅州）将4个数,,,abcd排成2行2列，两边各加一条竖线记作abcd，定义abadbccd.上述记号就叫做二阶行列式.若11611xxxx，则x=.分析：此题给出了一个新的运算规则，学生需读懂这个运算规则，然后根据运算规则，将二阶行列式转化为一个一元二次方程，从而获得解决.解：计算(1)(1)(1)(1)6xxxx，解得2x.点评：二阶行列式是高中数学或大学数学的基础知识，此题以此为背景设计，运算对初中生来说是一种新的运算，实际上提供了一个新的算法模式，利用模式来解决问题，从而有效考察学生的阅读理解能力，学生进一步学习的潜力.例8（2009年山东省德州市）如下图，根据下面的运算程序，若输入13x时，输出的结果y．分析：此题结合程序设计框图，设计出一个选择结构，构造出一个算法模式.使输入值人数1201005050120A级B级学习态度层级C级30输入x输出y2(0)yxx221(01)yxxx≤221(01)yxxx≤221(1)yxxx≥与输出值之间产生新的函数关系.解：根据输入的数值，选择合理的算式，显然得出结果13.点评：此题要求学生能有比较高的分类讨论能力，根据信息有效选择路径的能力.数学的基本思想是归纳与演绎，通过归纳预测结果，通过演绎来验证结果.预测以后各地中考数学试卷中将会出现更多背景新颖、构思巧妙的归纳型问题.参考文献：[1]史宁中.数学课程标准的若干思考[J].数学通报，2007，46（5）：1-5.[2]单肖天.中考数学探究试题的考察特征[J].数学通报，2008，47（7）：58-59，61.吴立宝（1977—），男，汉，山东莒县人，硕士，讲师.主要从事数学教育理论方面研究。在《数学通报》、《教育探索》、《继续教育研究》、《安徽理工大学学报》等发表30余篇论文。联系方式：四川省内江师范学院数学与信息科学学院邮编641112E—mail：[e-mail]联系电话：[phone]