中学数学教学中渗透数学建模思想的初探

数学教学中渗透数学建模思想的初探数学建模活动本身是一项创造性的思维活动。在中学数学教学中构建数学建模思想无疑是我们中学数学教学在如何培养中学生素质方面的一个正确的方向。本文通过分析数学建模与中学数学应用问题的差异入手，着重阐述了中学数学建模问题的构建和数学建模对提高学生素养的作用。一数学建模问题与中学数学应用问题的差异数学建模是建立数学模型的缩略表示，就是指根据具体问题，在一定的假设下找到解决这个问题的数学框架，求模型的解并进行验证的过程。其目的是使学生体会数学与自然及人类社会的联系，体会数学的应用价值，培养数学的应用意识，增进对数学的理解和应用数学的信心。（一）中学数学应用问题是数学专家和命题者经过精心加工提炼出来的，问题比较明确，问题中给出的条件一般是充分的；而数学建模的问题直接来自实际，问题中的条件往往是不充分的，有时甚至要求同学自己动手来收集数据。例如，1985年美国大学生数学竞赛的一个问题：建立一定的环境中动物自然生长的数学模型．一定环境指有限的食物、空间、水等等．选择一种你可以找到与环境有关数据的鱼或哺乳动物(如北美的小种马、兔子、鲑鱼、条纹鲈鱼等等)，对于这种动物的总数建立数学模型并给出最优的饲养量．参赛队必须自己查阅资料，收集数据，才能完成问题的解答，这样的问题是在中学数学应用问题中不会出现的。（二）在数学建模过程中为了使问题更明确，作一定的假设是必须的；然而在解决中学数学应用问题时，一般不需要假设。（三）数学建模的讨论与论证，比解中学数学应用问题的验证要复杂得多．不仅要验证是否有增根或不符题意的根，而且还要考察它们与假设是否矛盾，与实际情况是否吻合等．（四）中学数学应用问题只要求写出答案，而数学建模需要写一篇报告文章来总结。（五）数学建模比中学数学应用问题更能贴近日常生活和生产实际，具有更高的科研价值。（六）数学建模从形式上为充分调动学生的主体作用创造了条件。在教学中，尽量结合实际设置问题情境，提供实验操作，猜想，归纳验证等方面的背景材料或者先让学生深入实验进行调查收集材料数据，组织学生讨论分析，建立模型解决问题。使学生装在解决问题中感受数学学习的乐趣，这比教师在课堂上提出问题，学生进行解决问题更能激发学生的积极性。虽然数学建模与中学数学应用问题有着以上明显的差异性，但是新世纪数学的最重要的发展是应用在课堂建立数学模型的教学，比传统的应用数学更进一步。它是培养学生运用能力的重要一环。二中学数学建模问题的构建中学数学建模教学应结合正常的数学内容进行切入，把培养应用数学的意识落实在平时的教学过程中，以教材为载体，以改革教学方法为突破口，通过对教学内容的科学加工、处理和再创造达到在学中用，在用中学，进一步培养学生的“用数学”意识以及分析和解决实际问题的能力。（一）重视课堂教学，立足课本习题的发掘改编数学素质教育的主战场是课堂,数学建模应结合正常的教学内容切入,把培养学生的应用意识落实到平时的教学过程中。从课本内容出发，联系实际，以教材为载体。对课本中出现的应用题，可以改变设问方式，变换题设条件，互换条件结论，综合拓广类比成新的应用题，逐步提高学生的建模能力。例1建筑一个容积为8000米3，深为6米的长方体蓄水池，池壁每平方米的造价是a元，池底每平方米的造价为2a元，把总造价y元表示为底的一边长为x米的函数，并指出函数的定义域。此题背景是与我们生活密切相关的工程造价问题，学生对此不会陌生，应该对每一个同学有一定的吸引力，问题是学生如何把这一应用题抽象化为数学模型。题目降低难度，预先设出变量x,y，并指出把总价y表示为底的一边长为x的函数，对学生的思路有提示作用，同时题目要求指出函数的定义域，这一点很多学生容易忽视，而对函数问题来说又是必不可少的条件。这一题目用来训练学生利用函数的知识点建模是具有代表性的。该题虽然不算复杂，但是却有相当的综合性，内涵丰富。利用它可以改编出很多有较高思维价值的题目。例2有一条马路和公路交叉着，并相交的夹角为30。，在马路边且距交叉点160米处有一所学校。假设汽车行驶时周围100米以内会受到噪声污染，那么汽车以60米／小时在公路上行驶时，学校是否受到影响？请说明理由，并计算受到影响的时间。〖建模〗MZBD0FEAN【分析】取两条相交直线EF、MN表示马路和公路，交点为O，设A点表示学校的位置。从而可看出学校是否受到影响取决于点A到MN的距离，点A到MN的距离小于或等于100米时学校能受影响，反之则不受影响。过点A作AB⊥MN于点B，在Rt⊿ABO中易求AB的长为80米，显然学校受到噪声影响。要求受影响时间，就需求汽车影响学校这段时间所走过的路程：设开始影响在C点，结束影响时为D点，求出CD长即可。（二）深入生活联系实际，在生活中发现数学建模问题学数学的一个基本目的是要用数学，用数学解决生活中的问题。目前很多学生还没有意识到生活中处处存在着数学，处处存在着要用数学解决的问题，如果教师能利用学生生活中的事情作背景编制数学建模题，必然会大大提高学生用数学的意识，以及学习数学的兴趣。例1某市准备在A、B两处铺上草坪（A处为正方形，B处为直角梯形），A、B两处所需草皮面积分别如下图。已知甲、乙某市准备在A、B两地有草皮出售，且售价一样，甲、乙两地到A、B两处每平方米草皮的运费如下表（1）、A处需草皮＿＿平方米，B处需草皮＿＿平方米。每平方米划皮运费（元）A处B处甲地2.73.0乙地3.53.2AB（2）、如果甲地有草皮4000平方米，乙地有草皮2000平方米，当甲、乙两地各运往A、B两处多少平方米草皮时，总运费最省？最省的运费的多少？解（1）A处需草皮3600平方米，B处需草皮2400平方米。（2）〖建模〗xx－1600设甲地运往A处x平方米草皮，依题意得y=2.7x＋3（4000－x）＋3.5（3600－x）＋3.2（x－1600）=－0.6x＋19480∴当x＝3600时，y最小＝17320答：当甲地分别运往A处3600平方米，B处400平方米，乙地运往B处2000平方米时，总运费最省，最省的运费是17320元。例2王倩同学在商店里看到一块漂亮的方纱巾，想买来作为生日礼物送给妈妈，但当她拿起来看时感觉纱不太方。商店老板看她犹豫的样子，马上过来拉起一组对角，让王倩看另一组是否对齐，王倩还有些疑惑，老板又拉起另一组对角，让王倩检验，王倩终于买了这块纱巾。你认为王倩买的这块纱巾真是正方形的吗？当时采用什么方法就可以检验出来？（1）（1）（2）（3）（4）【分析】很明显商店老板的两次做法如图（2）、（3），最多只能断定该纱巾的四边相等而已，就是说该纱巾是菱形。所以说王倩买的这块纱巾不一定是正方形。而要确定它是正方形的话，尚须有一个角是直角，即沿一组对边中点的直线折叠便可，甲A乙B如图（4）。从以上的实例中，我们可以知道数学应用性问题，很多是通过数学建模帮助下完成的。数学建模可以把问题从无形转化成有形的，特别是它能把一些问题进行简单化，帮助学生“问题数学化”。而我们现在素质教育要求加强培养学生的应用意识，所以数学教育中的应用性问题教学应逐渐培养学生的数学建模意识。（三）编拟社会热点相关的应用题，介绍建模方法采用社会热点问题做试题背景，使学生掌握相关类型的建模方法，不仅可以使学生树立正确的商品经济观念，而且有助于他们日后主动以数学的意识、方法、手段处理问题。例1商厦一年内需购进彩电5000台，每台的价格为4000元，每次订购彩电的费用为1600元，年保管费用率为10%，问每次订购多少台彩电，才能使订购的费用与保管费用之和为最小？建模与求解年定货次数每次数量（台）平均库存（台）保管费用（每年10%）订购费用（1600元/批）年总费用（元）150002500100000016001001600225001250500000320050320031667834333334480033813451000500200008000208000105002501000016000116000153341676666724000906672025012550000320008200025200100400004000080000301678433334480008133350100502000080000100000100502510000160000170000(1)列表法:计算一些特殊数值，请学生观察、归纳、猜想凭直觉。估计一次购进200台费用最小。（2）图解法:利用上述数据，进行图解总费用（万元）17100订购批量(x)从图上看出保管费用=订购费用时，总费用最小。（3）代数法:设每次订购货量为X台，则每年总费用:y=f（x）=21x·4000×10%+1600×x5000≥8000050001600%104000021x当且仅当x50001600%104000021时，即x=200（台），每年总费用y=80000元，最小当然生活中的热点问题很多，比交通、环保、贷款购房，下岗再就业等，都可以用建模来解决。总之，中学数学应用问题与数学建模所设计的问题都是与日常生活和科学技术相关的问题，是对学生数学，语文，计算机运算能力的全面考核这样打破了学科界限，为共同研究问题开了先河，对中学各课教学起了不可替代的作用，促进了学生的全面发展。三数学建模教学对提高学生素养的作用数学建模问题贴近实际生活，往往一个问题有很多种思路，有较强的趣味性、灵活性，能激发学生学习兴趣，可以触发不同水平的学生在不同层次上的创造性，使他们有各自的收获和成功的体验。由于给了学生一个纵情创造的空间，就为学生提供了展示其创造才华的机会,从而促进学生全面素质能力的培养和提高，对中学素质教育起到积极推动作用。（一）构建建模意识，培养学生的转换能力恩格斯曾说过：“由一种形式转化为另一种形式不是无聊的游戏而是数学的杠杆，如果没有它，就不能走很远。”由于数学建模就是把实际问题转换成数学问题，因此如果我们在数学教学中注重转化，用好这根有力的杠杆，对培养学生思维品质的灵活性、创造性及开发智力、培养能力、提高解题速度是十分有益的。学生对问题的研究过程，无疑会激发其学习数学的主动性，且能开拓学生创造性思维能力，养成善于发现问题，独立思考的习惯。（二）注重直觉思维，培养学生的想象能力众所周知，数学史上不少的数学发现来源于直觉思维，如笛卡尔坐标系、歌德巴赫猜想等，应该说它们不是任何逻辑思维的产物，而是数学家通过观察、比较、领悟、突发灵感发现的。通过数学建模教学，使学生有独到的见解和与众不同的思考方法，如善于发现问题，沟通各类知识之间的内在联系等是培养学生创新思维的核心。（三）灌输“构造”思想，培养学生的创新能力“一个好的数学家与一个蹩脚的数学家之间的差别，就在于前者有许多具体的例子，而后者则只有抽象的理论。”我们前面讲到，“建模”就是构造模型，但模型的构造并不是一件容易的事，又需要有足够强的构造能力，而学生构造能力的提高则是学生创造性思维和创造能力的基础：创造性地使用已知条件，创造性地应用数学知识。只要我们在教学中仔细地观察，精心的设计，就可以把一些较为抽象的问题，通过现象除去非本质的因素，从中构造出最基本的数学模型，使问题回到已知的数学知识领域，并且能培养学生的创新能力。总之，要真正培养学生的创新能力，光凭传授知识是远远不够的，重要的是在教学中必须坚持以学生为主体，不能脱离学生搞一些不切实际的建模教学，我们的一切教学活动必须以调动学生的主观能动性，培养学生的创新思维为出发点，引导学生自主活动，自觉的在学习过程中构建数学建模意识。只有这样才能使学生分析和解决问题的能力得到长足的进步，也只有这样才能真正提高学生的创新能力，使学生学到有用的数学。我们相信，在开展“目标教学”的同时，大力渗透“建模意识”必将为中学数学课堂教学改革提供新的思路。