两自由度系统的振动.

两自由度系统列出下列系统的动力学微分方程两自由度系统的振动单自由度系统与多自由度系统单自由度系统描述系统运动状态只需一个广义坐标；系统振动微分方程为一个二阶常微分方程；系统有一个固有频率；系统自由振动的频率为固有频率。多自由度系统描述系统运动状态需多个广义坐标；系统振动微分方程一般包括多个相互耦合的二阶常微分方程组；系统具有多个不同数值的固有频率（特殊情况下数值可能相等或有一个等于零）。当系统按其中任一固有频率作自由振动时，称为主振动。主振动是一种简谐振动系统作主振动时，任何瞬时各点位移之间具有一定的相对比值，即整个系统具有确定的振动形态，称为主振型。两自由度系统的振动两个自由度的振动系统工程实际中大量的问题不能简化为单自由度系统，往往需要简化成多自由度系统；两自由度系统是最简单的多自由度系统，无论是模型的简化、振动微分方程式的建立和求解的一般方法、以及系统响应表现出来的振动特性等等，两自由度系统的多自由度系统没有什么本质上区别，却有数学上求解比较简便的好处。研究两自由度系统是分析和掌握多自由度系统振动特性的基础。两自由度系统的振动双质量弹簧系统的自由振动m1与m2的任一瞬时位置只要用和两个独立座标就可以确定，系统具有两个自由度质量m1与m2的自由振动微分方程)(1221111xxKxKxm2312222)(xKxxKxm0)(0)(23212222212111xKKxKxmxKxKKxm两自由度系统的振动自由振动微分方程0)(0)(23212222212111xKKxKxmxKxKKxm矩阵形式0000213222212121xxkkkkkkxxmm2100mmM322221kkkkkkK质量矩阵刚度矩阵双盘转子的扭振动力学方程0000212t1t1t1t1t2121kkkkkJJ汽车车体的振动系统简化成二自由度系统，即一根刚性杆（车体的简化模型）支承在两个弹簧（悬挂弹簧和轮胎的模型）上，刚性杆作跟随其质心的上下垂直振动和绕刚性杆质心轴的俯仰运动。以钢杆中点垂直位移和转角为广义坐标，可以得到如下动力学方程0)()()(4231lxklxkexm0)()()(331442eexmllxkllxkJc整理后得0023124231423142211xlklklklklklkkkxJememmc0)()()(23124231422lklkxlklkmeJxemc0)()(314221lklkxkkmexm两自由度系统的振动静力耦合和动力耦合一般情况下两自由度系统无阻尼自由振动微分方程组为002122211211212211211xxkkkkxxmmmm每个方程式中往往都有耦合项0)(0)(23212222212111xKKxKxmxKxKKxm座标之间的耦合称为静力耦合或弹性耦合加速度之间的耦合称为动力耦合或惯性耦合两自由度系统的振动双质量弹簧系统的自由振动0)(0)(23212222212111xKKxKxmxKxKKxm双盘转子的扭振0)(02211122211111tttttkkkJkkJ汽车车体的平面振动广义坐标：车体随参考点O的（上下）平动x和车体在平面内绕O点的转动θ0)()(0)()()(21112211222222112xkklklkxmmaxlklklklkxmamaJ振动方程的矩阵形式0KMqq22211211Mmmmm22211211Kkkkk质量矩阵刚度矩阵2100Mmm322221Kkkkkkk2100MJJ2t1t1t1t1tKkkkkkmmamamaJ2M2111221122222211Kkklklklklklklk21xxq21qxq座标之间的耦合称为静力耦合或弹性耦合座标之间的耦合称为静力耦合或弹性耦合座标之间的耦合称为静力耦合或弹性耦合加速度之间的耦合称为动力耦合或惯性耦合两自由度系统的振动固有频率0)(0)(23212222212111xKKxKxmxKxKKxm为了书写简便，引入符号：121mKKa12mKb22mKc221mKKd00212211dxcxxbxaxx这是二阶常系数性齐次联立微分方程组。第一个方程中包含-bx2项，第二个方程中包含-cx1项，称为耦合项。如果耦合项均为零时，方程组便成为两个独立的单自由度系统自由振动的微分方程两自由度系统的振动固有频率00212211dxcxxbxaxx设在振动两个质量按同样频率和相位角作简谐振动tAxtAxsinsin2211其中振幅A1与A2，频率ω和相位角θ都为待定常数代入运动微分方程组可得0sin][212tbAAa0)sin(])([221tAdcASin(ωt+θ)不恒等于零两自由度系统的振动固有频率0)(0)(221212AdcAbAAa这是A1和A2的线性齐次代数方程组显然，A1=A2=0是它的解，但这只对应于系统处于静平衡的情况，不是我们所需的解A1和A2具有非零性解的充要条件是系数行列式等于零0)(222dcba0)()()(242bcadda该方程唯一确定了频率ω所需满足的条件，称为频率方程或特征方程两自由度系统的振动固有频率频率方程是ω2的二次代数方程，它的两个特征根为0)()()(242bcadda)(22222,1bcaddadabcdada222121mKKa12mKb22mKc221mKKd弹簧刚度和质量恒为正数，a，b，c，d的值都是正数2122和都是实根由于ad＞bc21和都是正数两自由度系统的振动固有频率2122和是两个正实根。它们仅决定于系统本身的物理性质，称为振动系统的固有频率。较低的一个称为第一阶固有频率，简称基频。较高的一个称为第二阶固有频率。固有振型将特征值2122和分别代回方程组0)(0)(221212AdcAbAAa任一式2222)2(1)2(222121)1(1)1(21dcbaAAvdcbaAAv对应于2122和，振幅A1和A2之间有两个确定的比值。这个比值称为振幅比虽然振幅大小与初始条件有关，但当系统按任一固有频率振动时，振幅比却和固有频率一样只决定于系统本身的物理性质。两自由度系统的振动固有振型（主振型）对应于2122和振幅A1和A2，之间有两个确定的比值。tAxtAxsinsin2211两个质量任一瞬时的位移的比值x1/x2也同样是确定的，并且等于振幅比o在振动过程中系统各点位移的相对比值都可由振幅比确定o振幅比决定了整个系统的振动形态，称为主振型与ω1对应的振幅比ν1称为第一阶主振型与ω2对应的振幅比ν2称为第二阶主振型两自由度系统的振动固有振型（主振型）bcdada222,1222222)2(1)2(222121)1(1)1(21dcbaAAvdcbaAAv022102212221bcdadabvbcdadabvo说明系统以频率ω1振动时，质量与总是按同一个方向运动，而以频率ω2振动时，则按相反方向运动。两自由度系统的振动主振动系统以某一阶固有频率按其相应的主振型作振动，称为系统的主振动第一阶主振动为11)1(1111)1(2)1(211)1(1)1(1sin)sin()sin(tAvtAxtAx第二阶主振动为22)2(1222)2(2)2(222)2(1)2(1sin)sin()sin(tAvtAxtAx系统作主振动时，各点同时经过静平衡位置和到达最大偏离位置，以确定的频率和振型作简谐振动。两自由度系统的振动系统的自由振动微分方程组00212211dxcxxbxaxx的通解是两种主振动的叠加)sin()sin()sin()sin(22)2(1211)1(11)2(2)1(2222)2(111)1(1)2(1)1(11tAvtAvxxxtAtAxxx在一般情况下，系统的自由振动是两种不同频率的主振动的叠加，其结果不一定是简谐振动。例1试求图示系统的振动系统的固有频率和主振型假设已知mm1mm22KKK21KK23例4.1试求图示系统的振动系统的固有频率和主振型。已知mm1mm22KKK21KK23解振动微分方程0)(0)(23212222212111xKKxKxmxKxKKxm03202212211KxKxxmKxKxxmtAxtAxsinsin2211代入运动微分方程组得记mKa03202212211axaxxaxaxx0)sin(])23([0sin]2[221212tAaaAtaAAa0)23(0)2(221212AaaAaAAa0232)(222aaaa频率方程0)23)(2(222aaa0572224aa固有频率（特征根）)40497(41222aaa)37(422,1amKa21mKa41041022tAxtAxsinsin22110)23(0)2(221212AaaAaAAamK21mK41022mK12222)1(1)2(222121)1(1)1(21232232aaaaAAvaaaaAAvmKa121mKmKmKv第一阶振幅比第一阶主振型11)1(21AA11vmKmK581.1252第一阶固有频率第二阶固有频率212522mKmKmKv212v第二阶主振型5.01)2(21AA第二阶振幅比第一阶主振型11)1(21AA第二阶主振型5.01)2(21AAmK1mK252两自由度系统的振动对初始条件的响应00212211dxcxxbxaxx是两个二阶常微分方程，应有四个待定常数