《线性代数(理)》综合复习资料

《线性代数（理）》综合复习资料一、选择填空题1、行列式601135243中，元素4的代数余子式为。2、设A111111131123，则A的秩()rA。3、如果矩阵A与三角矩阵3107023004相似，则A的全部特征值为。4、齐次线性代数方程组0nnAxAR()有非零解解的充要条件是。5、二次型221231223426fxxxxxxx(,,)的矩阵为A。6、设向量组123,,线性无关，如果向量组21t，32，13线性相关，则t的值为（）。（1）1；（2）2；（3）-1；（4）-2。7、对于矩阵nnAR，下列说法不正确的是（）（1）如果矩阵A中有一行元素全为零，则A0；（2）如果矩阵A中有两行元素对应成比例，则A0；（3）如果交换矩阵A的任意两行，则相应的矩阵行列式值不变；（4）如果将矩阵A的某一行加到另外一行，则相应的矩阵行列式值不变。8、设nnABR,，则下面说法不正确的是()（1）如果APBP1，则A与B相似；（2）如果APBQ，则A与B等价；（3）如果TAAE，则A为正交矩阵，其中E为单位矩阵；（4）如果TAA，则A为对称矩阵。9、设A和B皆为n阶方阵，则下面论断正确的是()（1）TTTABAB()；（2）AAAE，其中A为A的伴随矩阵；（3）111ABAB()；（4）如果ABO，则AO或BO。10、设矩阵mnAR的秩为r（min(,),rmnr0），则下列说法不正确的是（）（1）矩阵A所有r阶子式均不等于零；（2）矩阵A的所有1r阶子式全等于零；（3）矩阵A的行向量构成的向量组的秩为r；（4）矩阵A的列向量构成的向量组的秩为r。11、行列式212114231中，元素3的代数余子式为。12、设A111111112133，则A的秩()rA。13、设三阶方阵A与上三角矩阵100020001相似，则A的全部特征值为。14、二次型22123131234fxxxxxxx(,,)的矩阵为A。15、设,AB均为3阶方阵，且AB2,4，则2BAB。16、设行列式aaaaaaaaa1112132122233132333，则aaaaaaaaa313233212223111213222。17、设矩阵mnAR的秩为r（min(,),rmnr0），则下列说法不正确的是（）（1）矩阵A所有r阶子式均不等于零；（2）矩阵A的所有1r阶子式全等于零；（3）矩阵A的行向量构成的向量组的秩为r；（4）矩阵A的列向量构成的向量组的秩为r。18、对于矩阵nnAR，下列说法不正确的是（）（1）如果矩阵A中有一行元素全为零，则A0；（2）如果矩阵A中有两行元素对应成比例，则A0；（3）如果交换矩阵A的任意两行，则相应的矩阵行列式值不变；（4）如果将矩阵A的某一行加到另外一行，则相应的矩阵行列式值不变。19、下列说法不正确的是（）（1）含有零向量的向量组一定线性相关；（2）不含有零向量的向量组一定线性无关；（3）如果一个向量组的部分向量线性相关，则该向量组一定线性相关；（4）如果一个向量组线性无关，则该向量组中任意部分向量构成的向量组一定线性无关。20、设111213212223313233aaaAaaaaaa，aaaaBaaaaaaaa111213132122232331323333，如果APB，则初等矩阵P为（）（1）100010011P；（2）100010011P；（3）100011001P；（4）100011001P。21、行列式315412231中，元素5的代数余子式为。22、设A111222145254，则A的秩()rA。23、已知三阶方阵A的特征值为,,324，矩阵B与A相似，则B的全部特征值为。24、二次型221231213232410fxxxxxxxxx(,,)的矩阵为A。25、设行列式aaaaaaaaa1112132122233132331，则aaaaaaaaa31323321222311121324222。26、设,nnABR满足关系式ABE，其中E为单位矩阵，则下列说法不正确的是（2）（1）,AB的行列式均不为零；（2）A为可逆矩阵，B为不可逆矩阵；（3）*ABA；（4）*BAB。（其中符号*表示伴随矩阵）27、下列向量组中线性无关的向量组是（3）。（1）(000)、(121)、(221)；（2）(011)、(112)、(110)、(121)；（3）(1000)、(1010)、(1111)；（4）(112)、(100)、(224)。28、设nnABR,，则下面说法不正确的是(2)（1）如果APBP1，则A与B相似；（2）如果APBQ，则A与B等价；（3）如果TAAE，则A为正交矩阵，其中E为单位矩阵；（4）如果TAA，则A为对称矩阵。29、下列说法不正确的是（）（1）一个向量组的最大无关组是不唯一的；（2）向量组与其最大无关组是等价的；（3）如果向量组所含向量的个数大于它的秩，则该向量组线性相关；（4）秩相同的向量组一定是等价向量组。30、设111213212223313233aaaAaaaaaa，aaaBaaaaaaaaa111213212223311132123313222，如果PAB，则初等矩阵P为（）（1）P100010201；（2）P102010001；（3）P102010001；（4）P100010201。二、计算题1、计算n阶行列式ababDabba000000000000（ab0）的值。2、设矩阵A110423135，求矩阵1A。3、计算行列式aaaabbbbDccccdddd2222222222222222(3)(2)(1)(3)(2)(1)(3)(2)(1)(3)(2)(1)的值。4、设矩阵A110101102，求矩阵1A。5、计算n阶行列式Dn122...2222...2223...2...........222...的值。6、设矩阵A130210422，求矩阵1A。7、计算行列式2345325445235432D的值。8、设矩阵A110423135，求矩阵1A。9、已知向量组，1111，2110，3243，4042，求该向量组的一个最大无关组。10、问为何值时，非齐次线性方程组131231234226423xxxxxxxx有解？并写出通解。11、求矩阵310130002A的特征值和相应的特征向量。参考答案第一题选择填空题1、-31；2、2；3、3，2，4；4、0A；5、400023030；6、（1）；7、（3）；8、（2）；9、（2）；10、（1）。11、-10；12、2；13、1，2，-1；14、120200003；15、-16；16、-6；17、（1）；18、（3）；19、（2）；20、（2）。21、-14；22、2；23、,,324；24、202015250；25、-4；26、（2）；27、（3）；28、（2）；29、（4）；30、（4）。第二题计算题1．nnabbababDab()aabbaab10000000001000000000（其中两个行列式分别为上三角和下三角行列式）利用特殊行列式即得11()nnnnDab。2．AE110100423010135001110100023410045101，513222100713010222001101A15132227132221013．提示：利用初等列变换（第4列乘以-1加到前3列）aaaabbbbDccccdddd2222222222222222(3)(2)(1)(3)(2)(1)(3)(2)(1)(3)(2)(1)aaaabbbbccccdddd2222694421694421694421694421（第3列分别乘以-2和-3加到前2列）aabbccdd222262216221062216221（两行元素对应成比例）4．AE110100101010102001110100011110012101211331002101003300111033，A12113321033110335．将第2行乘以-1分别加到3至n行得：122...2222...2223...2...........222...Dn1222...22222...20010...0.............0000...2n再将第2列乘以-1分别加到3至n列得：Dn120...0220...0001...0000...0...........000...210...01202...022.........00...2n22()!n6．AE13010021001042200113010007021000202113077130210100770011012，A1130772107710127．利用行列式的性质简化行列式即得2345325445235432D21314115151515325445235432rrrrrr1111325415452354321111012115012101230（两行对应成比例）8．AE110100423010135001110100023410045101513222100713010222001101，A15132227132221019．将给定的向量按行排列成矩阵，利用初等行变换将其化为阶梯形矩阵即可：123411111024304212341110210210421234111021000000，所以12,是该向量组的一个最大无关组。10．解：提示：对方程组的增广矩阵进行初等行变换，根据方程组有解的充要条件是系数矩阵的秩和增广矩阵的秩相等即得101412261423()Ab101012320001因此，当1时，()()2rankArankAb，方程组有解；此时，等价方程组为1323121xxxx，相应齐次方程组的基础解系为：121，非齐次方程组的一个特解为110x