万有引力定律的发现与探究过程分析

万有引力定律的发现与探究过程分析——兼论如何在教学中展示知识形成过程北京教育学院吴剑平引言物理学的发端始于人类对理解星体运行的追求。三百多年前，万有引力定律的发现堪称人类文明与理性探索进程中最壮丽的诗篇，其所体现出的科学智慧的震撼力，至今仍为世人所叹服。李政道先生在回答是什么使他走上献身物理学研究的道路时曾说过，是物理学中那些具有普适性的物理法则和概念深深打动了他，激发了他深入探究的兴趣。万有引力定律就是这样一条具有简约性和普适性的自然法则，它第一次把看似毫不相关的地上与天上运动统一起来，第一次揭示大自然的对称和谐与物理规律表达简洁而含蓄的内在美，并作为牛顿的“从运动现象研究自然力”的又一个科学思辨范例，而不断为历代科学家所效仿。因此万有引力定律的教学绝不能仅限于具体知识的讲解、记忆与实际的（习题）应用，更应强调人类对天体运动的认识以及建立万有引力定律的探究过程，把教学重点放在“引导学生体会万有引力定律发现过程中的思路和方法”上。然而，除了教材与教参已有的介绍外，我们对物理学史上这段辉煌史实真正了解多少？我们能否把握整个发现过程中的探索脉络，并将从中领悟到的思想精髓介绍给学生？由此看来，要教好新教材中的万有引力定律一章，适当扩展相应的知识背景，了解有关牛顿引力理论的现代评述，就显得十分必要了。本专题将着重探讨以下几个问题：（1）如何正确评价“地心说”与“日心说”的作用？（2）开普勒是如何导出行星三定律的？（3）牛顿如何从开普勒三定律推导出引力的平方反比定律（圆轨道、椭圆轨道）？（4）牛顿是如何解决引力定律的普适性的？一、行星视运动及其天文观测常识讨论开普勒三定律与万有引力定律离不开人类对行星运动的天文观测，这其中涉及我们不十分熟悉的天文知识。1．天球及其坐标系研究天体位置和运动而引进的假想圆球。由于天体与观察者距离远大于地球的移动距离，可将其视作散布于以观察者（地球）为中心的一个圆球面上。实际应上是将天体投影到半径任取（可视作无穷大）的天球面上。为定量表示天体投影在天球上位置和运动，需要建立以地球为中心的参考系，常用的坐标系有：（1）赤道坐标系：地球赤道平面延伸后与天球相交的大圆称作天赤道，地轴（自转轴）延伸线与天球相交两点称作北南天极，过天极的大圆称为赤经圈，与天赤道平行小圆称作赤纬圈。（2）黄道坐标系：以地球绕太阳公转的轨道平面称为黄道面，其与天球相交的大圆称作黄道，地球轨道面的法线与天球交点称为北南黄极，该坐标系同样划分有黄经圈与黄纬圈。赤道面与黄道面有23027/的交角，两者相交的两点称作春分点与秋分点。如图1所示。黄极天极黄道天赤道图12．行星视运动地球观测者所见的行星在天球上位置的移动。行星既有相对于恒星的视运动，又有相对于太阳的视运动，是从地球角度描述行星的出没规律。行星的视运动情况可由两方面加以综合分析：一方面由于地球每天自西向东的自转，我们所看到的恒星、行星、太阳、月亮有自东向西的周日运动；另一方面由于地球每年相对太阳的由东向西的公转，太阳在遥远的恒星背景上有位于黄道面上的向东的周年运动，较近的恒星也呈现小椭圆状的周年运动，而九大行星几乎都在接近同一平面的近圆轨道，朝同一方向作绕太阳的公转，因而从地球上看，相对于自东向西遥远星空背景而言，其视运动轨迹均离黄道不远，且应呈现与太阳视运动方向一致的自西向东(称作顺行)运动。但实际观察到的行星运动却是时而顺行，时而逆行，有时甚至短时静止不动(称作留)的怪现象（如图2所示），难怪古希腊文将其称作“游荡者”。人类历史上一个最伟大科学探索篇章以及由此引发的日心说与地心说争议，乃至引力定律的发现就是从试图揭示行星视运动这一普通天文现象的成因而发端的。3．恒星视差与秒差距视差是前景恒星相对于遥远恒星背景的恒星视位移。恒星视差与其距离的关系可以给出天文与宇宙学一个十分重要的概念——秒差距（PC）。具体测量原理如图3所示。恒星在黄道面上C点，地球在三个月内公转位置从B到B/，此段时间恒星的视差角为θ，设恒星与太阳的距离为r，地太距离为一个天文单位（1.496×1011m），而3600=1.296×106弧秒（1弧秒=1/3600度），则有∶θ/1.296×106=1天文单位/2πr，∴θ=2.06×105天文单位/r=1PC/r，∴1PC=2.06×105天文单位=3.09×1016m=3.27光年，而1百万秒差距=106PC=3.27×106光年。二、“地心说”是怎样解释行星视运动的古代人们一方面从站在地球参考系观测天体，很自然认为地静而天动，地球是宇宙中心；另一方1981。51980。101981．2木星轨道1981。9太阳轨道（黄道）图2B天球B/C太阳θr图3面天体是可望而不可及的另一类世界事物，其运动也应是神圣的，而匀速圆周运动曾被古希腊人认为是最完美和谐的运动，这也正是形成地心体系的最初的动因。托勒密的伟大之处在于他试图以地心说为基础，设计出能对行星在天球上十分复杂的视轨迹作出大致合理的解释模型，这就是通常所说的本轮与均轮模型，如图4所示。那么托勒密是如何解释行星视运动极为重要的逆行问题呢？这一模型对木星退行现象的解释的示意参见图5所示。由于不同行星有不同的退行状况，故仅有一个本轮是难以将本均轮轨道运动叠加与实际情况相弥合，为此托勒密需要根据不同行星情况，叠套一个又一个的本轮，从而这个体系日趋复杂。但不管怎么说，既能说明以前的行星轨迹，又能较好地预言其未来位置。把这样一个限于观测手段的粗糙而有缺陷的观念体系简单地说成是唯心或反动的，是有违于科学史实的。我们应该告诉学生：以某种参考系来描述物体的相对运动，即使在今天也经常使用，而在地心说的建立和运用过程中，也仍能反映出历代学者那些富有启迪意义的理性思索，就如同后来不断出现的，诸如活力论、以太说那样的观念，虽最终被扬弃，却仍然是最可宝贵的科学智慧的结晶。三、“日心说”是如何解释行星的视运动的哥白尼建立日心说源于对托勒密本均轮庞杂体系的强烈不满，他实际上只是改变地心说两个假设前提中的一个，或者说只是稍稍改变了描述的参考系（即“换一个角度来思考”），结果情况大变。这种转换观念而大获成功的事例在以后的物理学中屡见不爽，值得强调。在哥白尼体系中，太阳是宇宙的中心，六大行星以匀速圆周轨道绕日旋转，越靠近太阳的行星旋转速度越大。由于在日心坐标系中地球也在运动，此时地球观察者所看到的行星视运动似乎要复杂一些，但稍作分析发现，它竟能得出比地心说更简洁清晰的结论。下面以地外行星如木星为例，讨论日心说是如何解释行星的退行现象的：如图6所示，由于木星比地球运动慢，当地球位于E1～E7各点时，木星对应位置分别为J1～J7，图4行星本轮地球均轮太阳地球图5如果某一时刻地球观察者沿两者位置连线望去，将看到木星位置被投影到遥远星空背景上的不同点1～7上，于是当地球绕太阳一周，我们将看到木星好象在星空背景上走一个螺旋线，其中1～2、6～7是与木星实际公转同方向的顺向，而3～5则是逆行，并且在2～3与5～6之间会有短暂停顿的状态，这就是“留”。四、开普勒是如何导出行星三定律的与哥白尼的日心说相比，开普勒归纳总结出行星三定律更具革命性，具体表现在：1．根据精确的天文观测数据计算行星运动轨迹，而不是在先验模型基础上拟合修补。典型的作法是利用第谷丰富的火星观测资料，以各种几何图线去反复拟合，终于发现火星轨道是一个椭圆，而太阳位于其中一个焦点上（开普勒第一定律），破除了天体必须是完美的圆周运动的观念。。2．从天文资料发现火星近日点速度快，远日点速度慢，打破行星运动必为匀速的传统束缚。为解释这一非匀速的现象，他利用了当时的一个假定：行星速率与离太阳的距离成反比，即在任一相等的时间内行星走过的弧长S应该和这一距离r成反比，因而有S1/S2=r2/r1，S1r1=S2r2，即1/2(S1r1)=1/2(S2r2)，或者曲线三角形面积△1=△2，这就是行星第二定律。不言而喻，当时开普勒的推算谈不上严格，且更具有猜测性，但是一个开创性的科学成果并非必然要有严密的逻辑的推理过去，有时可能只是一种跳跃性的领悟，而最关键之处则在于它是否获得最终的实验验证。开普勒死后的几十年间，人们不仅在天文观测上，而且也在理论推证上对行星运动第二定律加以确认，这其中最具有思想启迪意义的是牛顿运用几何方法的证明。下面简要介绍牛顿的证明过程：如图7所示。设太阳位于A点，行星从B点开始在相等的时间间隔t1、t2、t3、t4…分别到达折线上的B、C、D、F…，若在t1间隔行星匀速由B→C，如不受力将沿BC至I，且CI=BC，但在C点受到指向A的力，故它沿CD运动。从I作平行CA的直线ID，D是t2末时位点。由于△ACD与△ACI同底（AC）等高，面积相等，又△ABC与△ACI也同底等高，所以t1掠过面积△ABC与t2掠过面积△ACD相等。同理可证其它相等时间间隔掠过面积均与△ABC相等。若△t足够小，折线△面积变为曲线△面积。这正是行星第二定律。3．开普勒的最重要贡献在他给出了具有定量意义的行星运动第三定律。这一定律揭示了各行星运E6J63E5J54太阳E4J41E2J25E3E1J1J3图6IMFLEKIDCAB图7动所遵循的一种更普遍的规律。这种简洁的数学表达最终成为万有引力定律发现的前奏。为获得这一定律，开普勒历经十年之久，他深知这一发现来之不易，以至于他自豪地写到：“我也许要整整等上一个世纪才会有读者，对此我毫不在意。”开普勒是以归纳行星观测数据，通过作图获得该定律的，新教材教学参考书上有一道参考题：如何由牛顿的万有引力定律和向心力公式证明作圆周运动的地球卫星轨道参数满足开普勒第三定律，可增强对这一定律的认识，建议留给学生去做。五、牛顿如何导出万有引力定律的科学的研究总是遵循这样一种传统：在获得对某一自然规律正确的乃至定量化的描述之后，就必须回答为什么会有这种规律。这既是一种满足人类探究天性的、十分自然的理性诉求，也是科学理论得以建立和发展，从个别认识走向完整逻辑体系的必经途径。“从发现行星运动规律转而研究其动力学成因”无疑是建立近代科学思想体系最初的几块奠基石之一，值得深入探讨其中所蕴含的科学方法。为此，新教材增加较大篇辐介绍当时人们围绕行星运动成因提出的种种假设，例如伽利略的物体运动趋向合并论，开普勒的太阳磁力论，笛卡尔的以太作用模型以及胡克的只规定作用效果，却不知其内涵的“引力说”（就如同我们把同性相吸的电磁力也称作引力一样）。千万别小看这些现在看来十分幼稚的假定，它们是激发当时科学家创造性思维的源泉。一个正确的理论的产生，并不必然要求其假设前提一定正确，因为一个革命性观念是无法从原有的理论框架中逻辑性地导出，最初的假定作为一种猜测可以被抛弃，但由此导出的结果却因实验确认而长存于世，并重新被赋予新的科学内涵。事实上，牛顿发现万有引力定律并非一帆风顺，他也和其它人那样经历了从朦胧认识到逐渐清晰的过程，其间的思辨方法也极富启迪意义。下面我们分几个具体专题剖析牛顿当时的探索心路，以补教材内容的不足。（一）引力平方反比律的发现（圆轨道与椭圆轨道）牛顿最初只是考虑要使行星以圆或椭圆轨道绕太阳旋转而不作匀速直线运动，太阳所提供的吸引力是什么性质的力，并未涉及这种力与什么因素有关。为简化问题首先讨论行星绕太阳的匀速圆周运动。由于牛顿已用几何方法导出向心力公式，再结合开普勒第三定律，很容易得出F∝1/R2。具体推导过程新教材已有介绍，这里不再重复。需要指出的是：上述结论仍有两个不足，一是要推广到行星实际运行的椭圆轨道，二是未能证明为什么可以把两个天体看作全部质量集中于中心的质点来看待。现介绍第一个问题的基本处理思路，后一问题则要用到引力场理论的知识，这里从略。基于椭圆轨道的平方反比律更严格推导见于一般《理论力学》教程有关“质点在有心力场中的运动”一节，这里介绍一种相对简单的作法，这只是对当时牛顿几何证法的近似模拟，。如图8所示，考虑某种特例，即质点在一个焦点为F的椭圆两个顶点A、C的运动。设在一个微小的时间间隔内，质点分别从A、C到E、D，再分别从E和D作过A和C切线的垂线EM、ND。