《连续体力学》习题及解答2

162二阶张量及其若干运算法则(一)概念、理论和公式提要2-1张量的乘法①张量的外乘(并乘)张量的外乘用表示，其外积为张量，其阶数等于外乘诸张量阶数之和。②张量的内乘(点乘)张量的点乘用“·”表示(有时也可省去“·”)，其内积为张量，其阶数为内乘诸张量阶数之和减去2倍内乘的次数。③张量的双点乘记作“∶”(两次点乘)，例如BA∶；其积为张量，其阶数为诸张量阶数之和减2倍点乘次数。设)(CT)(CT)(CTpnm为，为，为CBA，则)42(CTpnm为，∶∶DDCBA(2-1-1)取)2(CT244为，则，，Dpnm，其分量为rpmnrpijmnijCBAD(2-1-2)其中A分量的后两个指标与B分量的前两个指标，B分量的后两个指标与C分量的前两个指标依次相同。④二阶张量ijijTTTTTT∶，定义为的范数记为为正方根，且有时才取等号只当，oTT0(2-1-3)的绝对值为标量，TT(2-1-4)RTRT(2-1-5)RTRT∶(2-1-6)aTaT(2-1-7)Raa的模，为矢量亦为二阶张量。⑤设CBABA次缩拼为张量外积的和，则和分是是和str)(CT)(CT，记为CBAsC)2(str为C阶张量，其分量关系为mnkkkkkkijmnijssBAC2121(2-1-8)17反之，如果已知CB和为张量，其分量与带指标的量ijA满足上式，则ijA为张量A的分量，称为商法则或张量识别定理。A的阶数等于s2的阶数加C，减去B的阶数。特别地当B，ts的分量的全部指标都是哑标时，则A的阶数等于B和C的阶数之和。在笛卡尔坐标生系内，有jijixx(2-1-9)式中jixx和是点的位矢的分量，都是一阶张量，且j是哑标，根据张量识别定理，ij是二阶张量的分量，这个二阶张量称为二阶单位张量，记作I；其分量式为332211eeeeeeeeeeIiijiij(2-1-10)I的分量矩阵为单位矩阵。矢量ba和的叉积为iiikjijkcbaeeeba(2-1-11)即kjijkibaec(2-1-12)已知二阶张量kjjijibaba，所以上式中eeba是二阶张量的分量；按张量识别定理，为置换张量，记作是三阶张量的分量，称ijke：kjiijkeeee(2-1-13)2-2张量的代数运算法则可以将矩阵的某些代数运算法则移用到二阶张量和矢量的运算。以下设aaTTT为矢量的分量矩阵，为，且记}{][)2(为CT的列阵。①记TT为T的转置，则有jiTijTTTT][][TT(2-2-1)②记TT为det的行列式，则有TTTTdet]det[det(2-2-2)设)2(CT都是和BA，则))(det(det)det()det(BAABBA(2-2-3)③设)()('''jijiijijTTeeee和和分别是相对于基和的分量，则有18TijijLTLT]][][[]['其中1)]det[(2L，于是由上式可得]det[]det['ijijTT(2-2-4)上式表明，张量T的行列式是坐标不变性的，称为张量T的三次主不变量。当为正则张量时，称TT0det。④记TT为张量tr的迹，则有TTTTtr]tr[tr(2-2-5)以及TTBABAABBA∶∶)tr()tr((2-2-6))tr()tr()tr(ACBBACCBA(2-2-7)于是又有][tr)]][][([tr]tr['ijTijijTLTLT(2-2-8)上式表明，张量T的迹是坐标系不变性的，称为张量T的一次主不变量。⑤记ITTTTT111)(的逆，且有为张量或及11][][TT(2-2-9)当张量存在逆时，称张量为可逆的；张量可逆的条件是张量为正则的。对于正则张量oaoaTT，则，如果。⑥记2TTT，则有22][][TT(2-2-10)以及nn共TTTT个相乘，则为正整数，nnn][][TT(2-2-11)⑦设为矢量，bbaT，则有}{}]{[baT(2-2-12)⑧设}'{}{][}'{][}{baTbTabTaTT或者，则有，后一式对应于'baTT。由此可得TTTaaTaTTa及(2-2-13)于是bBAabBaAT)()((2-2-14)192-3二阶张量的特征值和特征矢(1)二阶张量是仿射量，它将一个矢量线性变换为另一个矢量(映象)；一般地原矢量与其映象的方向和大小(模)都不相同。但是，对于任意二阶张量vT存在特殊的矢量使得vvT(2-3-1)与映象方，为待求标量。上式表明v位相同。满足上式的矢量Tv称为张量的特征矢，T则称为的特征值。式(2-3-1)可写成ovIT)((2-3-2)I为二阶单位张量。上式的分量式(相对于给定的基)为3210)(，，，，jivTjijij(2-3-3)式(2-3-2)或(2-3-3)存在非零解)(ov的条件是系数行列式等于零0)det(IT(2-3-4)或0ijijT(2-3-5)上式的展示式为0)()()(32213TTTIII(2-3-6)上式称为张量T的特征方程；其中TTTTTTTdet)(]tr)tr[(21)(tr)(32221III(2-3-7))(2TI又可写成分量式)()(2112133132231133332222112TTTTTTTTTTTTIT(2-3-8)前已说明，TTtrdet和都是坐标系不变性的量，因此)()()(321TTTIII和、都是坐标系不变性的量，分别称为张量T的一次、二次和三次主不变量。由此可见，特征方程(式2-3-6)的3个根也都是坐标系不变性的，记这3个根为i，321，，i，它们是二阶张量T的特征值。20已求出i，将它们依次代入式(2-3-3)，结合1)(iv，可以求出3个对应的特征矢321)(，，，iiv。显然，二阶张量的特征矢是坐标系不变性的。当取vv，则1称为特征方向。张量的幂nn征值为的特征方向相同，但特与TT为正整数，nvvTvn(2-3-9)如果T是正则的，则n可以是任意整数。2-4特殊张量(1)对称张量设TTT，称T为对称张量。对称张量总有3个实的特征值和3个实的特征方向，常分别称为张量的主值和主方向或主轴。当三个主值不相等时，三个主方向相互正交；当其中两个主值相等时，在与之对应的主轴所在平面内的任何方向都是主方向；当三个主值都相等时，则任何方向都是主方向。因此，在任何情况下，对于对称张量总可选取三个相互正交的主轴作局部坐标系的基)()(iv，相对于这个局部基，二阶张量的分量式为)3()3(3)2()2(2)1()1(1)()(vvvvvvvvTiii(2-4-1)或)()()()(jiijjiijiTvvvvT(2-4-2)指标下加一横线表示该指标不是哑标，但随哑标取值。式(2-4-1)或(2-4-2)称为T的谱表示。显然，相对于主轴基)()(iv的分量矩阵为321000000][T(2-4-3)T的主不变量可表示为321313322123211)()()(TTTIII(2-4-4)当21时，式(2-4-1)变为)3()3(131)(vvIT(2-4-5)21当321时，上式进一步简化为IT1(2-4-6)具有上列形式的二阶张量称为球张量。根据式(2-3-9)，可以写出)3()3(23)2()2(22)1()1(21)()(22vvvvvvvvTiii(2-4-7))3()3(3)2()2(2)1()1(1)()(vvvvvvvvTnnniinin(2-4-8)对于对称张量aT及任意非零矢量，如果)12-4-2(0)11-4-2(010)-4-(209)-4-(20为半负定的称，为负定的称，为半正定的称，为正定的称，TTTTaTajiijaaT对任意二阶张量B，有0)()(aBBaaBaBT(2-4-13)0)()(aBBaaBaBTTT(2-4-14)此处TTBBBB和都是对称张量，按式(2-4-10)，它们都是半正定的。如果B是正则的，则当TTBBBBoaoaB和。这时时,是正定张量。根据T的谱表示，有233222211aaaaTa)()(iiava在基为非零矢量上的分量。于是根据式(2-4-9)~(2-4-12)，可得是半负定的时，，其中至少有一个为零当是半正定的时，，其中至少有一个为零当是负定的时，，，当是正定的时，，，当TTTT00)321(0)321(0iiiiii(2-4-15))3()3(213)2()2(212)1()1(211)()(2121vvvvvvvvTiii(2-4-16)如果11TTT。用是正则的，则存在逆左点乘式(2-3-1)两侧，得到vvT11(2-4-17)这表明TTT相同，主值则是的主方向与1的主值的倒数。类似地可得vvTnn)(1(2-4-18)于是在T存在逆的情况下，我们有22vvTnn(2-4-19)n为任意整数。主轴依次相同的张量称为同轴张量。两个张量BA和同轴的充要条件是ABBA(2-4-20)(2)反称张量如果ToTT，则称或jiijTTT为反称张量。显然反称张量的正分量为零。可以证明，任意反称张量SW和任意对称张量的双点乘乘积恒为零0)tr(SWSW∶(2-4-21)置换张量a与任意矢量之点积为反称张量。现记wW(2-4-22))2(Iw∶为矢量。由上式可解出Ww∶21(2-4-23)以上两式表明，任一反称张量W恒有一矢量w与之对偶；反之亦然。w称为反称张量W的轴矢量。利用反称张量W与其轴矢量w之间的关系(式2-4-22和2-4-23)，可得awaW(2-4-24)owW(2-4-25)设)2()2()1()1(和、和分别为两个反称张量及其轴矢量，则有I)()2()1()1()2()2()1((2-4-26))2()1()2()1(2∶(2-4-27)设babaabba为是反称张量，其轴矢量是两个矢量，则和。另外，还有如下关系IwW(2-4-28)反称张量只有一个实的特征值0，与其对应的特征矢即它的轴矢量。这一结论从式(2-4-25)已可看到。任何二阶张量可唯一地分解为对称部分和反称部分。(3)偏斜张量和球张量23迹恒为零(但正分量不全为零)的二阶张量称为偏斜张量，具有形式I的张量称为球张量，I为任意标量，为二阶单位张量。球张量的三个主值相等，所有方向都是主方向。易证偏斜张量(记作D)和球张量(记作H)的双点乘乘积恒为零0HD∶(2-4-30)任意对称张量T恒可唯一地分解为偏斜部分'T和球张量部分)0(T之和：)0()0()0(')tr(31'TTTITTTTT(2-4-31)(4)正交张量使任意矢量Qaaaa的二阶张量的模变换后的映象**称为正交张量。正交张量具有下列性质：TTTQQIQQQQ1，(2-4-32)1detQ(2-4-33)1det1detQQ，时，称为正常正交张量时，称为非正常正交张量。任意两矢量Qba经和变换后其夹角不变，即有****bbQaaQbaba，，(2-4-34)标准正交基][)(Li与正交变换矩阵e之间有如下关系iieQe'(2-4-35)][][L与正交变换矩阵的分量矩阵QQ之间有如下关系1][