《高三数学总复习》高考数学理新课标A版一轮总复习课件第2章函数导数及其应用-9

第二章函数、导数及其应用自主园地备考套餐课前学案基础诊断第九节函数模型及其应用课堂学案考点通关开卷速查1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，了解直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义．考纲导学2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.夯基固本基础自测课前学案基础诊断1．三种函数模型性质比较y＝ax(a＞1)y＝logax(a＞1)y＝xn(n＞0)在(0，＋∞)上的单调性单调□1____函数单调□2____函数单调□3____函数增长速度越来越□4____越来越□5____相对平稳图像的变化随x值增大，图像与□6____轴接近平行随x值增大，图像与□7____轴接近平行随n值变化而不同2.几种常见的函数模型(1)一次函数模型：y＝□8______________；(2)反比例函数模型：y＝kx(k≠0)；(3)二次函数模型：y＝□9________________；(4)指数函数模型：y＝N(1＋p)x(x＞0，p≠0)(增长率问题)；(5)对数函数模型y＝blogax(x＞0，a＞0且a≠1)；(6)幂函数模型y＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)；(7)y＝x＋ax型(x≠0)；(8)分段函数型．答案：□1递增□2递增□3递增□4快□5慢□6y□7x□8ax＋b，a≠0□9ax2＋bx＋ca≠01个防范——实际问题的定义域要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域．1个步骤——解决实际应用问题的一般步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)求模：求解数学模型，得出数学结论；(4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义．以上过程用框图表示如下：1．f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是()A．f(x)g(x)h(x)B．g(x)f(x)h(x)C．g(x)h(x)f(x)D．f(x)h(x)g(x)解析：由图像知，当x∈(4，＋∞)时，增长速度由大到小依次为g(x)f(x)h(x)．答案：B2．抽气机每次抽出容器内空气的60%，要使容器内剩下的空气少于原来的0.1%，则至少要抽()(参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)A．15次B．14次C．9次D．8次解析：依题意，先建立容器内剩余空气量y与抽气次数x的函数关系式，即y＝(1－0.6)x＝0.4x.要使容器内剩余空气少于原来的0.1%，则有y＜0.1%.即0.4x＜0.001＝10－3，两边取常用对数，得xlg0.4＜－3，即x(2lg2－1)＜－3，解得x＞7.5.又x∈N*，故x＝8.答案：D3．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)＝12x2＋2x＋20(万元)．一万件售价是20万元，为获取最大利润，该企业一个月应生产该商品数量为()A．36万件B．18万件C．22万件D．9万件解析：利润L(x)＝20x－C(x)＝－12(x－18)2＋142，当x＝18时，L(x)有最大值．答案：B4．一种产品的成本原为a元，在今后的m年内，计划使成本平均每年比上一年降低p%，成本y是经过年数x(0x≤m)的函数，其关系式y＝f(x)可写成___________________________．解析：依题意有y＝a(1－p%)x(0x≤m)．答案：y＝a(1－p%)x(0x≤m)5．有一批材料可以建成200m的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，则围成的矩形最大面积为__________．(围墙厚度不计)解析：设矩形的长为xm，宽为200－x4m，则S＝x·200－x4＝14(－x2＋200x)．当x＝100时，Smax＝2500m2.答案：2500m2考点例析通关特训课堂学案考点通关考点一一次函数、二次函数模型【例1】(1)某电信公司推出两种手机收费方式：A种方式是月租20元，B种方式是月租0元．一个月的本地网内打出电话时间t(分钟)与打出电话费s(元)的函数关系如图，当打出电话150分钟时，这两种方式电话费相差()A．10元B．20元C．30元D.403元(2)将进货单价为80元的商品按90元出售时，能卖出400个．若该商品每个涨价1元，其销售量就减少20个，为了赚取最大的利润，售价应定为每个()A．115元B．105元C．95元D．85元解析：(1)设A种方式对应的函数解析式为s＝k1t＋20，B种方式对应的函数解析式为s＝k2t，当t＝100时，100k1＋20＝100k2，∴k2－k1＝15.t＝150时，150k2－150k1－20＝150×15－20＝10.选A.(2)设售价定为(90＋x)元，卖出商品后获得利润为：y＝(90＋x－80)(400－20x)＝20(10＋x)(20－x)＝20(－x2＋10x＋200)＝－20(x2－10x－200)＝－20[(x－5)2－225]，∴当x＝5时，y取得最大值，即售价应定为：90＋5＝95(元)，选C.答案：(1)A(2)C►名师点拨求解一次函数与二次函数模型问题的关注点(1)二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决，但一定要密切注意函数的定义域，否则极易出错；(2)确定一次函数模型时，一般是借助两个点来确定，常用待定系数法；(3)解决函数应用问题时，最后要还原到实际问题．通关特训1为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为：y＝12x2－200x＋80000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，那么国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？解析：设该单位每月获利为S，则S＝100x－y＝100x－12x2－200x＋80000＝－12x2＋300x－80000＝－12(x－300)2－35000，因为400≤x≤600，所以当x＝400时，S有最大值－40000.故该单位不获利，需要国家每月至少补贴40000元，才能不亏损．考点二分段函数模型【例2】提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．(1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式．(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值(精确到1辆/小时)．解析：(1)由题意：当0≤x≤20时，v(x)＝60；当20≤x≤200时，设v(x)＝ax＋b.由已知得200a＋b＝0，20a＋b＝60，解得a＝－13，b＝2003，故函数v(x)的表达式为v(x)＝60，0≤x≤20，200－x3，20＜x≤200.(2)依题意并由(1)可得f(x)＝60x，0≤x≤20，x200－x3，20＜x≤200.当0≤x≤20时，f(x)为增函数，故当x＝20时，其最大值为60×20＝1200；当20＜x≤200时，f(x)＝13x(200－x)≤13x＋200－x22＝100003.当且仅当x＝200－x，即x＝100时，等号成立．所以当x＝100时，f(x)在区间(20,200]上取得最大值．综上，当x＝100时，f(x)在区间[0,200]上取得最大值f(x)max＝100003≈3333，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大约为3333辆/小时．►名师点拨应用分段函数模型的关注点(1)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车票价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解．(2)构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理、不重不漏．(3)分段函数的最值是各段的最大(最小)者的最大者(最小者)．通关特训2根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)＝cx，xA，cA，x≥A(A，c为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是()A．75,25B．75,16C．60,25D．60,16解析：由函数解析式可以看出，组装第A件产品所需时间为cA＝15，故组装第4件产品所需时间为c4＝30，解得c＝60，将c＝60代入cA＝15，得A＝16.答案：D考点三指数函数模型【例3】一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的14，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的22.(1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？(3)今后最多还能砍伐多少年？解析：(1)设每年砍伐的百分比为x(0＜x＜1)．则a(1－x)10＝12a，即(1－x)10＝12，解得x＝1－12110.(2)设经过m年剩余面积为原来的22，则a(1－x)m＝22a，即12m10＝1212，m10＝12，解得m＝5.故到今年为止，已砍伐了5年．(3)设从今年开始，以后砍了n年，则n年后剩余面积为22a(1－x)n.令22a(1－x)n≥14a，即(1－x)n≥24，12n10≥1232，n10≤32，解得n≤15.故今后最多还能砍伐15年．►名师点拨应用指数函数模型应注意的问题(1)指数函数模型，常与增长率相结合进行考查，在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以利用指数函数模型来解决．(2)应用指数函数模型时，关键是对模型的判断，先设定模型，再将已知有关数据代入验证，确定参数，从而确定函数模型．(3)y＝a(1＋x)n通常利用指数运算与对数函数的性质求解．通关特训3某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了n次涨停(每次上涨10%)，又经历了n次跌停(每次下跌10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为()A．略有盈利B．略有亏损C．没有盈利也没有亏损D．无法判断盈亏情况解析：设该股民购这支股票的价格为a，则经历n次涨停后的价格为a(1＋10%)n＝a×1.1n，经历n次跌停后的价格为a×1.1n×(1－10%)n＝a×1.1n×0.9n＝a×(1.1×0.9)n＝0.99n·a＜a，故该股民这支股票略有亏损，故选B.答案：B考点四函数y＝x＋ax模型的应用【例4】为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系C(x)＝k3x＋5(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k的值及f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．解析：(1)由已知条件得C(0)＝8，则k＝40，因此f(x)＝6x＋20C(x)＝6x＋8003