《高等数学(一)》复习大纲

《高等数学一》课程复习大纲与练习题课程名称高等数学一教材信息名称高等数学出版社北京大学出版社作者吴纪桃，漆毅著版次2006.08第一章函数一、内容小结1.函数的概念（1）函数的定义（2）函数的表示法：公式法（解析法）、图像法和表格法2.函数的基本性质（1）有界性（2）单调性：函数的单调性一般与区间有关（3）奇偶性：偶函数的图像关于y轴对称，而奇函数的图像则是关于原点对称（4）周期性：周期函数的图像呈周期状，即在任意形如])1(,[TnxnTx的区间上，函数的图像有相同的形状。3.常用的函数类型（1）基本初等函数：常值函数：cy；幂函数：(xy为实常数)；指数函数：)1,0(aaayx；对数函数：)1,0(logaaxya；三角函数：xyxyxyxyxyxycsc,sec,cot,tan,cos,sin；反三角函数：xarcyxyxyxycot,arctan,arccos,arcsin（2）反函数（3）复合函数（4）初等函数：由基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算，并能用一个解析式（公式）表示的函数（5）分段函数：如果)(xf在其定义域的不同的子区间内，其对应法则有着不同的初等函数表达式，则称)(xf为分段函数。二、常见题型1.求函数的自然定义域。2.判断函数是否相等。3.已知(x)u,)(fyu，求复合函数(x))f(。4.已知复合函数(x))f(的表达式，求f(u)或(x)u的表达式。5.判断函数的有界性、单调性、奇偶性、周期性。6.求函数的反函数。7.从实际问题中列函数关系式。第二章极限与连续一、内容小结1.有关定义（1）数列（2）数列的极限（3）级数（4）级数的部分和（5）级数的敛散（6）函数的极限（7）无穷小量（8）无穷大量（9）无穷小量的阶（10）函数的连续性（11）左连续（12）右连续（13）函数在闭区间],[ba上连续（14）第一类间断点（15）第二类间断点2.数列极限的有关性质和结论（1）唯一性：若aannlim，则极限值是唯一的。（2）有界性：若aannlim，则}{na有界（3）保序性：若baannnnblimlim，，且ba，则当n充分大时)(Nn，有nnba（4）极限的运算法则：设baannnnblimlim，，则)(lim)(lim)0(balim,blim,)blim(nnn是正整数为常数kaaccacabbaababaaknknnnnnnnnn（5）极限存在的单调有界准则：单调有界数列必有极限（6）极限存在的夹逼准则3.收敛级数的性质与判别法（1）设c是非零常数，则级数11nnnncuu与有相同的敛散性；（2）去掉或改变1nnu的前有限项的值，不会改变级数的敛散性；（3）若1nnu、1nnv都收敛，则1)(nnnvu也收敛；（4）必要条件：若1nnu收敛，则0limnnu；（5）正项级数收敛的充要条件：若,...)2,1(0nun，则1nnu收敛的充要条件是它的部分和}{ns有界；（6）正项级数的比较判别法：设1nnu、1nnv是两个正项级数，且)(Nnvunn，若1nnv收敛，则1nnu收敛；若1nnu发散，则1nnv发散；4.函数极限的有关性质和结论（1）唯一性（2）局部有界性（3）保序性（4）极限的运算法则（5）极限存在的夹逼准则5.无穷小量的有关性质（1）有限个无穷小量的代数和是无穷小量；（2）有限个无穷小量的乘积是无穷小量；（3）有界变量乘无穷小量是无穷小量；（4）常数乘无穷小量是无穷小量；（5）无穷小量与无穷大量的关系（7）等价无穷小的替换性质6.连续函数的有关性质（1）函数连续的充要条件（2）连续函数的四则运算法则（3）连续函数的复合运算法则（4）连续函数的求极限法则（5）连续函数的反函数的连续性（6）基本初等函数在其定义域内连续（7）初等函数在其定义区间内连续（8）闭区间上连续函数的性质：若函数)(xf在闭区间],[ba上连续，则①有界性定理：)(xf在],[ba上有界；②最值定理：)(xf在],[ba上必取得最大值、最小值；③介值定理：)(xf在],[ba上必取得介于它的最小值与最大值之间的一切值；④零点定理：若0)()(bfaf，则)(xf在],[ba内必有零点。7.重要结果（1）两个重要极限：1xsinxlim,)1lim(0x01exxx（2）常用的极限：mnmnmnbabxbxbaxaxaaaaammmnnnxnnnn,0,,......lim)0(,1lim),1|(|,0lim00110110（3）常见的级数敛散性：等比级数0nnar，当1r时收敛，当1r时发散；调和级数11nn，发散；p级数11npn，当10p时发散，当1p时收敛。（4）常用的等价无穷小：当0x时xxxxxexxxxInxxx~arctan,~tan,~1,2~cos1,~)1(,~sin2二、常见题型1.利用连续性定义“)()(lim00xfxfxx”求连续函数的极限；2.利用分解因式消去“零因子”来求00型极限；3.利用分子、分母“有理化”变形求00型、型或型极限；4.利用分子、分母同除一个最高次的无穷大来变形求型极限；5.利用左、右极限求极限或判断极限不存在；6.利用“有界变量乘以无穷小量是无穷小量”求极限；7.利用等价无穷小替换性质求极限；8.利用两个重要极限求00型和1极限；9.利用分段函数在分界点处的连续性确定函数中未知常数；10.利用“夹逼准则”求极限；11.求函数的间断点并分类；12.利用零点定理证明方程根的存在性。第三章导数与微分一、内容小结1.有关定义（1）导数（2）导函数（3）左导数（4）右导数（5）微分（6）二阶导数2.概念之间的关系（1）可导与单侧导数的关系：函数)(xf在点0x处可导的充分必要条件是)(xf在点0x处的左、右导数都存在且相等，即)()()(0'0'0'xfxfxf存在（2）可导与连续的关系：若函数)(xf在点0x处可导，则函数)(xf在点0x处连续，即)()(lim)(00'0xfxfxfxx存在（3）可导与可微的关系：函数)(xfy在点0x处可微的充分必要条件是函数)(xf在点0x处可导，且xxfdyxx)('|00，即存在存在)('|00xfdyxx（4）可微与连续的关系：若函数)(xfy在点0x处可微，则函数)(xf必在点0x处连续，即)()(lim|000xfxfdyxxxx存在3.导数与微分的几何意义与物理意义（1）导数的几何意义：若)('0xf存在，则)('0xf是曲线)(xfy在点))(,(00xfx处的切线的斜率，则切线方程：))((')(000xxxfxfy，法线方程：)()('1)(000xxxfxfy（2）导数的物理意义：若)(tss是变速直线运动的位置函数，则)('0ts是在0t时刻的瞬时速度，)(''0ts是在0t时刻的加速度；（3）微分的几何意义：若)('0xf存在，则xxf)('0是曲线)(xfy在点))(,(00xfx处的切线上在点xxx0处的纵坐标与点0xx处的纵坐标之差；（4）微分的实际意义：若0)('0xf，则yxf)('0是增量y的线性主部，与y的差是)(xo。4.基本的求导公式与微分公式求导公式微分公式基本初等函数求导公式0c)(为常数c基本初等函数微分公式0dc)(为常数c1)(xx)(为实数1d()dxxx)(为实数aaaxxln)(xaaaxxdln)(dxxe)e(xxxde)e(daxxaln1)(logxaxxadln1)(logdxx1)(lnxxxd1)(lndxxcos)(sinxxxdcos)(sindxxsin)(cosd(cos)sindxxxxx2sec)(tanxxxdsec)(tand2xx2csc)(cotxxxdcsc)(cotd2xxxtansec)(secxxxxdtansec)(secdxxxcotcsc)(cscxxxxdcotcsc)(cscd211)(arcsinxxxxxd11)(arcsind2211)(arccosxxxxxd11)(arccosd2211)(arctanxxxxxd11)(arctand2211)cotarc(xxxxxd11)cotarc(d25.求导法则与微分法则求导与微分法则表求导法则微分法则函数的四则运算求导法则)()()()(xxuxxu函数的四则运算微分法则)(d)(d)()(dxxuxxu)()()()()()(xxuxxuxxu)()(xucxuc)(为常数c)(d)()(d)()()(dxvxuxuxxxu)(d)(dxucxcu)(为常数c)0)(()()()()()()()(2xxxxuxxuxxu)0)(()()()(12xxxx)0)(()()(d)()(d)()()(d2xxxxuxuxxxu)0)(()()(d)(1d2xxxx复合函数求导法则设)(ufy，)(xu，则复合函数)(xfy的导数为xuuyxydddddd复合函数微分法则设函数)(ufy，)(xu,则函数)(ufy的微分为uufyd)(d，此式又称为一阶微分形式不变性反函数求导法则设)(xfy的反函数为)(yx，则)0)(()(1)(yyxf或yxxydd1dd6.在求导运算中常见的函数类型：（1）初等函数：应用基本求导公式和导数的四则运算法则及复合函数的求导法则就可求出初等函数的导数，并且导函数一般还是用初等函数表示。（2）分段函数：在函数分段的各自区间内，函数的表达式是初等函数，可以用公式与求导法则做；在各子区间的分界点处，由于函数在分界点的左、右邻域的表达式不同，按求导数的定义计算函数在这些点上的函数。（3）幂指函数：用对数求导法往往可使求导运算容易进行。（4）隐函数：对于由方程0),(yxF确定的隐函数)(xyy的导数，在该方程中将y视为x的函数，两边对x求导，就会得到一个含',,yyx的方程，再从中解出'y。（5）参数式函数：若参数方程)()(tytx确定了y是x的函数，则txtyxydddddd或xydd=)()(tt。7.高阶导数⑴二阶导数函数)(xfy的一阶导数)(xfy仍然是x的函数，则将一阶导数)(xf的导数))((xf称为函数)(xfy的二阶导数，记为)(xf或y或22ddxy，即y=)(y或22ddxy=xyxdddd.⑵n阶导数)1(n阶导数的导数称为n阶导数（n=3，4，,)1(n,n）分别记为)(xf,)()4(xf,,)()1(xfn,)()(xfn，或y,)4(y,,)1(ny,ny，或33ddxy,44ddxy,11ddnnxy,nnxydd，二阶及二阶以上的导数称为高阶导数.二、常见题型1.按公式与求导法则求初等函数的导数、二阶导数；2.求分段函数的导数，尤其是在分界点处的导数；3.判断分段函数在分界点处的可导性；4.由分段函数在分界点处的可导性确定函数中的未知常数；5.由导数的定义求一些函数的极限；6.求曲线在一点的切线方程、法线方程；7.求隐