【2016届走向高考】高三数学一轮(人教A版)基础巩固第9章第3节空间点直线平面之间的位置关系

-1-第九章第三节一、选择题1．(文)已知E、F、G、H是空间内四个点，条件甲：E、F、G、H四点不共面，条件乙：直线EF和GH不相交，则甲是乙成立的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案]A[解析]点E、F、G、H四点不共面可以推出直线EF和GH不相交；但由直线EF和GH不相交不一定能推出E、F、G、H四点不共面，例如：EF和GH平行，这也是直线EF和GH不相交的一种情况，但E、F、G、H四点共面．故甲是乙成立的充分不必要条件．(理)如图是正方体或四面体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个图是()[答案]D[解析]A中，PS∥QR；B中如图可知此四点共面；C中PS∥QR；D中RS在经过平面PQS内一点和平面PQS外一点的直线上，故选D．2．(文)(2014·山西康杰中学期中)下列四个命题中错误．．的是()A．若直线a，b互相平行，则直线a，b确定一个平面B．若四点不共面，则这四点中任意三点都不共线C．若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线D．两条异面直线不可能垂直于同一个平面[答案]C[解析]过两条平行直线，有且只有一个平面，A正确；如果四点中存在三点共线，则四点共面，B正确；两条直线没有公共点，这两条直线可能平行，也可能异面，C错误；垂直于同一个平面的两条直线平行，这样的两条直线共面，D正确．-2-(理)(2014·陕西咸阳范公中学摸底)下列命题中正确的个数是()①若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；②若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行；③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行；④若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点．A．0B．1C．2D．3[答案]B[解析]“若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α”是错误的，因为直线l可与平面α相交．“若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行”是错误的，因为直线l可与平面α内的直线成异面直线．“如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行”是错误的，因为另一条直线可能在平面内．“若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任一条直线都没有公共点”是正确的，因为直线l与平面α平行，则直线l与平面α没有公共点．综上可知应选B．3．(文)若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则()A．α内的所有直线与l异面B．α内不存在与l平行的直线C．α内存在唯一的直线与l平行D．α内的直线与l都相交[答案]B[解析]由题意知直线l与平面α相交，不妨设直线l∩α＝M，对A，在α内过M点的直线与l不异面，A错误；对B，假设存在与l平行的直线m，则由m∥l得l∥α，这与l∩α＝M矛盾，故B正确，C错误；对D，α内存在与l异面的直线，故D错误．综上知选B．(理)(2014·汉沽一中检测)已知平面α和不重合的两条直线m、n，下列选项正确的是()A．如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n∥αB．如果m⊂α，n与α相交，那么m、n是异面直线C．如果m⊂α，n∥α，m、n共面，那么m∥nD．如果m⊥α，n⊥m，那么n∥α[答案]C[解析]如图(1)可知A错；如图(2)可知B错；如图(3)，m⊥α，n是α内的任意直线，都有n⊥m，故D错．∵n∥α，∴n与α无公共点，∵m⊂α，∴n与m无公共点，又m、n共面，∴m∥n，故选C．-3-4．(2013·广东)设l为直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是()A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l⊥α，l⊥β，则α∥βC．若l⊥α，l∥β，则α∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β[答案]B[解析]画出一个长方体ABCD－A1B1C1D1.对于A，C1D1∥平面ABB1A1，C1D1∥平面ABCD，但平面ABB1A1与平面ABCD相交；对于C，BB1⊥平面ABCD，BB1∥平面ADD1A1，但平面ABCD与平面ADD1A1相交；对于D，平面ABB1A1⊥平面ABCD，CD∥平面ABB1A1，但CD⊂平面ABCD．5．(文)(2015·衡水调研)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列判断错误的是()A．MN与CC1垂直B．MN与AC垂直C．MN与BD平行D．MN与A1B1平行[答案]D[解析]由于C1D1与A1B1平行，MN与C1D1是异面直线，所以MN与A1B1是异面直线，故选项D错误．(理)(2013·南昌第一次模拟)设a，b是夹角为30°的异面直线，则满足条件“a⊂α，b⊂β，且α⊥β”的平面α，β()A．不存在B．有且只有一对C．有且只有两对D．有无数对[答案]D[解析]过直线a的平面α有无数个．当平面α与直线b平行时，两直线的公垂线与b确定的平面β⊥α；当平面α与b相交时，过交点作平面α的的垂线与b确定的平面β⊥α，∵平面α有无数个，∴满足条件的平面α、β有无数对，故选D．6．(2014·广东执信中学期中)如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总是保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是()-4-A．线段B1CB．线段BC1C．BB1的中点与CC1中点连成的线段D．BC中点与B1C1中点连成的线段[答案]A[解析]如图所示，连接AB1，B1C，AC，由于四边形ABCD为正方形，所以AC⊥BD．因为DD1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以AC⊥DD1.因为BD∩DD1＝D，所以AC⊥平面BDD1.因为BD1⊂平面BDD1，所以BD1⊥AC，同理可证BD1⊥AB1.因为AB1∩AC＝A，所以BD1⊥平面AB1C．因为B1C⊂平面AB1C，所以BD1⊥B1C．过点A有且只有一个平面与BD1垂直，且过点A与BD1垂直的直线都在此平面内，故AP⊂平面AB1C，而平面AB1C∩平面BCC1B1＝B1C，故点P在侧面BCC1B1内的轨迹为线段B1C，故选A．二、填空题7．在图中，G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则使直线GH、MN是异面直线的图形有________．(填上所有正确答案的序号)[答案]②④[解析]图①中，直线GH∥MN；图②中，G、H、N三点在三棱柱的侧面上，MG与这个侧面相交于G，∴M∉平面GHN，因此直线GH与MN异面；图③中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；图④中，G、M、N共面，但H∉平面GMN，因此GH与MN异面．所以图②、④中GH与MN异面．-5-8．如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝1，BC＝2，AC＝5，AA1＝3，M为线段BB1上的一动点，则当AM＋MC1最小时，△AMC1的面积为________．[答案]3[解析]将三棱柱的侧面A1ABB1和B1BCC1以BB1为折痕展平到一个平面α上，在平面α内AC1与BB1相交，则交点即为M点，易求BM＝1，∴AM＝2，MC1＝22，又在棱柱中，AC1＝14，∴cos∠AMC1＝AM2＋MC21－AC212AM·MC1＝2＋8－142×2×22＝－12，∴∠AMC1＝120°，∴S△AMC1＝12AM·MC1·sin∠AMC1＝12×2×22×32＝3.9．(文)如图所示，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是________．[答案]90°[解析]取BC的中点N，连接AN，则AN⊥平面BCC1B1，∵BM⊂平面BCC1B1，∴AN⊥BM，又在正方形BCC1B1中，M、N分别为CC1与BC的中点，∴B1N⊥BM，又B1N∩AN＝N，∴BM⊥平面AB1N，∴BM⊥AB1，∴AB1与BM所成的角是90°.(理)在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，AC⊥BC，PA＝AC＝BC，则直线PC与AB所成角的大小是________．[答案]60°[解析]分别取PA、AC、CB的中点F、D、E连接FD、DE、EF、-6-AE，则∠FDE是直线PC与AB所成角或其补角．设PA＝AC＝BC＝2a，在△FDE中，易求得FD＝2a，DE＝2a，FE＝6a，根据余弦定理，得cos∠FDE＝2a2＋2a2－6a22×2a×2a＝－12，所以∠FDE＝120°.所以PC与AB所成角的大小是60°.[点评]化异为共的思想．在立体几何解题过程中，经常运用化异为共的思想解决问题．(1)与异面直线有关的命题真假判断．①(2014·浙江温州八校联考)已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则()A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α与β相交，且交线垂直于lD．α与β相交，且交线平行于l[答案]D[解析]解法1：平移直线m使之与n相交于O，这两条直线确定的平面为γ，∵m⊥平面α，n⊥平面β，则平面α与平面β相交．设交线为a，则a⊥γ，又l⊥m，l⊥n，则l⊥γ，∴l∥a.解法2：若α∥β，∵m⊥α，n⊥β，∴m∥n，这与m、n异面矛盾，故α与β相交，设α∩β＝a，则a⊥m，a⊥n，在m上取点O，过O作n′∥n，设m与n′确定的平面为γ，∵a⊥m，a⊥n′，∴a⊥γ，∵l⊥n，∴l⊥n′，又l⊥m，∴l⊥γ，∴a∥l.(2)异面直线的判定方法异面直线的判定主要用定理法、反证法1°定理法：过平面内一点与平面外一点的直线与平面内不经过该点的直线为异面直线(此结论可作为定理使用)．2°反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严密的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面．②一个正方体纸盒展开后如图，在原正方体纸盒中有下列结论：①AB⊥EF；②AB与CM成60°的角；③EF与MN是异面直线；-7-④MN∥CD．其中正确的是()A．①②B．③④C．②③D．①③[答案]D[解析]如图，画出折叠后的正方体后，由正方体的性质知①③正确，故选D．③如图是某个正方体的侧面展开图，l1，l2是两条侧面对角线，则在正方体中，l1与l2()A．互相平行B．异面且互相垂直C．异面且夹角为π3D．相交且夹角为π3[答案]D[解析]将侧面展开图还原成正方体如图所示，则B，C两点重合．故l1与l2相交，连接AD，△ABD为正三角形，所以l1与l2的夹角为π3.故选D．③求异面直线所成角的方法求异面直线所成的角主要用平移法，其一般步骤为(1°)平移：选取适当的点，平移异面直线的一条(或两条)成相交直线．(2°)证明：证明所作的角是异面直线所成的角．(3°)求解：找出含有此角的三角形，并解之．(4°)取舍：根据异面直线所成角的范围确定大小．(一)在已知平面内平移直线构造可解的三角形，或根据实际情况构造辅助平面，在辅助平-8-面内平移直线构造可解的三角形，是求异面直线所成角的途径之一；这种方法常常是取两条异面直线中的一条和另一条上一点确定一个平面，在这个平面内过这个点作这条直线的平行线，或在两条异面直线上各选一点连线，构造两个辅助面过渡．④如图所示，在正方体AC1中，M、N分别是A1B1、BB1的中点，求异面直线AM和CN所成角的余弦值．[解析]在平面ABB1A1内作EN∥AM交AB于E，则EN与CN所成的锐角(或直角)即为AM和CN所成的角．设正方体棱长为a.在△CNE中，可求得CN＝52a，NE＝54a，CE＝174a，由余弦定理得，cos∠CNE＝EN2＋CN2－CE22EN·CN＝25.即异面直角AM与CN所成角的余弦值为25.(二)利用平行平面平移直线构成可解的三角形，是求异面直线所成角的途径之二；这种方法常见于两条异面直线分别在两个互相平行的平面内，可利用面面平行的性质，将一条直线平移到另一条所在的平面内．⑤如图所示，正方体AC1中，B1E1＝D1F1＝A1B14，求BE1与DF1所成角的余弦值．[解析]∵平面ABB1A1∥平面DCC1D1，∴在A1B1上取H，使A1H＝A1B14，即可得：AH∥DF1.引NH∥BE1，则锐角∠AHN就是DF1与BE1所成的角．设正方体棱长