【2016年高考数学总复习】(第34讲)数列的综合应用(41页)

第34讲数列的综合应用主要内容一、聚焦重点等差数列、等比数列的综合应用．二、破解难点构建数学模型解数列应用性问题．知识结构数列通项an等差数列前n项和Sn等比数列定义通项前n项和性质11(1)(2)nnnSnaSSn≥聚焦重点：等差、等比数列的综合应用经典例题1例1有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和为12，求这四个数．例1有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和为12，求这四个数．思路分析思路1：设这四个数分别为x，y，m，n．22,,16,12.xmyynmxnym解四元二次方程组不经济！例1有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和为12，求这四个数．思路分析思路2：设前三个数分别为a-d，a，a+d．则第四个数为16－(a－d)．列出方程组212,()[16()].aadadaad解二元二次方程组可以一试！例1有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和为12，求这四个数．思路分析思路3：设后三个数为aq，a，aq．则第一个数为16－aq，这样列出的方程组为216,12.aaqaqaaq解二元方程组可以一试！例1有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和为12，求这四个数．思路分析思路4：设这四个数为x，y，12－y，16－x．求解过程收获：未知数设得巧妙，从而减少了运算量．解设四个数分别为x，y，12－y，16－x，则2(12)2,(1)(16)(12).(2)xyyyxy由（1），得x＝3y－12.（3）代入（2），得y2－13y+36＝0．解得y＝4或y＝9，分别代入（3），得0,4;xy或15,9.xy∴四个数分别为0，4，8，16或15，9，3，1．回顾反思（1）思想方法：基本量思想，方程思想．（2）解题步骤：①设未知数；②列方程；③解方程．（3）方法比较：四种方法均可，但前三种方法计算较复杂；法四运算量小．三个成等差数列的数可设为a－d，a，a+d．三个成等比数列的数可设为aq，a，aq．（4）通性通法：方法1、2、3虽然有一定的运算量，但属于通性通法．经典例题2例2已知数列{an}为等差数列，公差d≠0,由{an}中的部分项组成的数列a1b,a2b,…,anb,…为等比数列，其中b1=1,b2=5,b3=17.(1)求数列{bn}的通项公式；(2)求数列{bn}的前n项和．例2已知数列{an}为等差数列，公差d≠0,由{an}中的部分项组成的数列a1b,a2b,…,anb,…为等比数列，其中b1=1,b2=5,b3=17.（1）求数列{bn}的通项公式；（2）求数列{bn}的前n项和．思路分析三数列：等差数列{an},等比数列{anb}，下标数列{bn}．切入点：1517,,aaa成等比数列.基本量：1,ad.解题过程∴bn=2·3n－1－1.解(1)由题意知a52=a1·a17，即(a1+4d)2=a1(a1+16d)，得a1d=2d2．∵d≠0,∴a1=2d,等比数列{nba}的公比q=51114aadaa=3．∴在等比数列{nba}中，nba=1ba·3n－1=a1·3n－1①又在等差数列{an}中，nba=a1+(bn－1)d=112nba②由①②得a1·3n－1=12nb·a1.∵a1=2d≠0,第n项第bn项解题过程∴Tn=b1+b2+…+bn=(2·30－1)+(2·31－1)+…+(2·3n-1－1)=2·(30+31+…+3n-1)－n=2·(1313n)－n=31n－n.（2）∵bn=2·3n－1－1.等比数列的前n项和公式通项分解回顾反思本题难点：第（1）小题．审读题意：三个数列一个入口，即原数列——等差数列；新数列——等比数列；联系点——下标数列．a1，a5，a17成等比数列．思维方向：在新旧数列中不断转换角色．解题策略：主抓数列的首项、公差、公比．基本公式：等差、等比数列有关公式．破解难点：构建数学模型解数列应用性问题．问题研究如何构建适当的数列模型解决实际应用问题？经典例题3例3某种细菌在培养过程中,每20分钟分裂一次（一个分裂成二个），经过3小时这种细菌由一个可繁殖成多少个？思路分析思路1：共繁殖9次,9a81aq256个．思路2：共繁殖9次,9919(1)21511121aqSq个．思路3：共繁殖9次,1010110(1)211023121aqSq个．思路4：共繁殖9次,10a91aq512个．例3某种细菌在培养过程中,每20分钟分裂一次（一个分裂成二个），经过3小时这种细菌由一个可繁殖成多少个？哪个正确？求解过程解由题意知,逐次分裂细菌数构成等比数列{}na,11a,公比2q,共分裂180920次,第1次应为2112aaq1个,第2次应为23112aaq2个,……第9次应为910112512aaq9个．答：经过3小时这种细菌由一个可繁殖成512个．回顾反思解题策略：构造等比数列模型思维误区：（1）数列的第n项误认为前n项和；（2）项数判断错误.经典例题4例4某县位于沙漠地带，人与自然长期进行着顽强的斗争,到2001年底全县的绿化率已达30%。从2002年开始,每年将出现这样的局面，即原有沙漠面积的16%将被绿化,与此同时,由于各种原因，原有绿化面积的4%又被沙化.（1）设全县面积为1，2001年底绿化面积为13,10a经过n年绿化总面积为1.na求证144.255nnaa（2）至少需要多少年（年取整数，lg20.3010）的努力，才能使全县的绿化率达到60%？思路分析（1）设全县面积为1，2001年底绿化面积为13,10a经过n年绿化总面积为1.na求证144.255nnaa思路1由1a可求出一年后的绿化面积2a，由2a可求出两年后的绿化面积3a……由na可求出n年后的绿化面积1na．再找1na和na的关系．思路2寻找一年后的绿化面积2a与1a的关系，两年后的绿化面积3a与2a的关系，……n年后的绿化面积1na与na的关系．思维经济，但运算较繁！目标意识！解题过程（1）证明：由已知可得na确定后，1na表示如下：1na=na(14%)(1)16%na.即1na=80%na+16%=45na+425.想一想：数列{na}中，已知1310a，且1na=45na+425.如何求na？解题过程思路1：由1na=45na+425，得na=144525na回代上式，依次代入，直到用1a表示．（2）至少需要多少年（年取整数，lg20.3010）的努力，才能使全县的绿化率达到60%？目标：求出!na解题过程（2）解法1由1na=45na+425，可得na=451na425=452444()52525na=224444()55255na=323444444()()552552525na=……=123144444()[()()1]555525nnna=1141()4345()45102515nn=114344()[1()]51055nn故有na=1144()255n.解题过程想一想：数列{na}中，已知1310a，且1na=45na+425.如何求na？思路2：由1na=45na+425，得1na45=45（na45）．得na45=45（1na45）回代上式，依次代入，直到用1a表示．解题过程（2）解法2由1na=45na+425,可得1na45=45（na45）.∴na45=45（1na45）=（45）2（2na45）=…=1144()()55na故有na=1144()255n.解题过程想一想：数列{na}中，已知1310a，且1na=45na+425.如何求na？思路3：由1na=45na+425，得1na45=45（na45）构造新的等比数列．解题过程（2）解法3由1na=45na+425，可得1na45=45（na45）.数列{na45}是以1a45为首项公比为45的等比数列．na45=（1a45）14()5n,故有na=1144()255n.n年后n-1年后解题过程若na3,5≥则有1144()255n3.5≥1114()525n≥,即124()55n≥.1144()255n≥,即214()25n≥两边同时取对数,可得lg2(2)(2lg2lg5)(2)(3lg21)nn≥故lg22513lg2n≥，故使得上式成立的最小*nN为6.故最少需要经过5年的努力，才能使全县的绿化率达到60%.n-1年后回顾反思解数学问题应用题重点在过好三关（1）事理关：阅读理解，知道命题所表达的内容；（2）文理关：将“问题情景”中的文字语言转化为符号语言，用数学关系式表述事件；（3）数理关：由题意建立相关的数学模型，将实际问题数学化，并解答这一数学模型，得出符合实际意义的解答。总结提高一、聚焦重点等差数列、等比数列的综合应用．二、破解难点构建数学模型解数列应用性问题．知识与内容总结提炼思想与方法（2）基本量思想，方程思想．（3）化归转化思想（1）通性通法再见同步练习1．已知x、y为正实数，且x，a1，a2，y成等差数列，x，b1，b2，y成等比数列，则21212()aabb的取值范围是_____．2．已知数列na中，nS是其前n项和，并且1142(1,2,),1nnSana．（1）设数列12(1,2,)nnnbaan，求证：数列nb是等比数列；（2）设数列,(1,2,)2nnnacn，求证：数列nc是等差数列；（3）求数列na的通项公式及前n项和．同步练习3．从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少15，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加14新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆．同步练习（1）设n年内(本年度为第一年)总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元，写出an,bn的表达式；（2）至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？参考答案1.［4,+∞)．2.（1）略；（2）略；（3）Sn=21n(3n－4)+2．参考答案3.（1）an=4000×［1－(45)n］；bn=1600×［(54)n－1］．（2）设至少经过n年旅游业的总收入才能超过总投入，即bn－an＞0，1600×［(54)n－1］－4000×［1－(45)n］＞0，令x=(45)n，代入上式，得5x2－7x+2＞0．解此不等式，得x＜25，或x＞1(舍去)．即(45)n＜25，由此得n≥5．∴至少经过5年．