【世纪金榜】2016届高三文科数学总复习课件29函数模型及其应用

第九节函数模型及其应用【知识梳理】1.必会知识教材回扣填一填(1)几种常见的函数模型:函数模型函数解析式一次函数模型f(x)=ax+b(a,b为常数,a≠0)二次函数模型f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)与指数函数相关模型f(x)=bax+c(a,b,c为常数,a0且a≠1,b≠0)与对数函数相关模型f(x)=blogax+c(a,b,c为常数,a0且a≠1,b≠0)与幂函数相关模型f(x)=axn+b(a,b,n为常数,a≠0)(2)三种函数模型性质比较:y=ax(a1)y=logax(a1)y=xn(n0)在(0,+∞)上的单调性单调___函数单调___函数单调___函数增长速度越来越___越来越___相对平稳图象的变化随x值增大,图象与__轴接近平行随x值增大,图象与__轴接近平行随n值变化而不同增增增快慢yx(3)解决实际应用问题的一般步骤:①审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择数学模型;②建模:将自然语言转化为数学语言,利用数学知识,建立相应的数学模型;③求模:求解数学模型,得出数学结论;④还原:将数学问题还原为实际问题.以上过程用框图表示如下:2.必备结论教材提炼记一记“f(x)=x+(a0)”型函数模型形如f(x)=x+(a0)的函数模型称为“对勾”函数模型:①该函数在(-∞,-]和[,+∞)上单调递增,在[-,0)和(0,]上单调递减.②当x0时,x=____时取最小值____,当x0时,x=_____时取最大值_____.axaaaaa2aa2aax3.必用技法核心总结看一看(1)常用方法:图象法、导数法、配方法、待定系数法.(2)数学思想:函数与方程、数形结合、分类讨论、转化与化归.【小题快练】1.思考辨析静心思考判一判(1)函数y=2x的函数值在(0,+∞)上一定比y=x2的函数值大.()(2)在(0,+∞)上,随着x的增大,y=ax(a1)的增长速度会超过并远远大于y=xa(a0)的增长速度.()(3)“指数爆炸”是指数型函数y=a·bx+c(a≠0,b0,b≠1)增长速度越来越快的形象比喻.()(4)指数函数模型,一般用于解决变化较快,短时间内变化量较大的实际问题中.()【解析】(1)错误.当x∈(0,2)和(4,+∞)时,2xx2,当x∈(2,4)时,x22x.(2)正确.由两者的图象易知.(3)错误.增长越来越快的指数型函数是y=a·bx+c(a0,b1).(4)正确.根据指数函数y=ax(a1)函数值增长特点知(4)正确.答案:(1)×(2)√(3)×(4)√2.教材改编链接教材练一练(1)(必修1P107A组T1改编)在某个物理实验中,测量得变量x和变量y的几组数据,如下表:则x,y最适合的函数的是()A.y=2xB.y=x2-1C.y=2x-2D.y=log2xx0.500.992.013.98y-0.990.010.982.00【解析】选D.根据x=0.50,y=-0.99,代入计算,可以排除A;根据x=2.01,y=0.98,代入计算,可以排除B,C;将各数据代入函数y=log2x,可知满足题意.故选D.(2)(必修1P107A组T3改编)一根蜡烛长20cm,点燃后每小时燃烧5cm,燃烧时剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系用图象表示为图中的()【解析】选B.由题意知h=20-5t(0≤t≤4),故选B.3.真题小试感悟考题试一试(1)(2015·泉州模拟)某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系是y=3000+20x-0.1x2(0x240,x∈N*),若每台产品的售价为25万元,则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是()A.100台B.120台C.150台D.180台【解析】选C.设利润为f(x)(万元),则f(x)=25x-(3000+20x-0.1x2)=0.1x2+5x-3000≥0,所以x≥150.(2)(2015·武汉模拟)里氏震级M的计算公式为:M=lgA-lgA0,其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅,A0是相应的标准地震的振幅.假设在一次地震中,测震仪记录的最大振幅是1000,此时标准地震的振幅为0.001,则此次地震的震级为级;9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的倍.【解析】由lg1000-lg0.001=6,得此次地震的震级为6级.因为标准地震的振幅为0.001,设9级地震最大振幅为A9,则lgA9-lg0.001=9解得A9=106,同理5级地震最大振幅A5=102,所以9级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的10000倍.答案:610000考点1一次函数、二次函数模型知·考情以一次函数、二次函数为模型的应用题常出现在高考试题中,尤其是二次函数,考查较多,既有选择题、填空题,也有解答题,难度适中,属中档题.明·角度命题角度1:单一考查一次函数或二次函数模型【典例1】(1)(2015·西安模拟)某电信公司推出两种手机收费方式:A种方式是月租20元,B种方式是月租0元.一个月的本地网内通话时间t(分钟)与电话费s(元)的函数关系如图所示,当通话150分钟时,这两种方式电话费相差()A.10元B.20元C.30元D.元403(2)(2015·昆明模拟)在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分),则其边长x为m.【解题提示】(1)根据对应点的坐标分别求出两条直线方程.(2)根据相似三角形的性质,找出比例关系,列出以x为变量的二次函数式表示出阴影部分的面积。【规范解答】(1)选A.依题意可设sA(t)=20+kt,sB(t)=mt,又sA(100)=sB(100),所以100k+20=100m,得k-m=-0.2,于是sA(150)-sB(150)=20+150k-150m=20+150×(-0.2)=-10,即两种方式电话费相差10元.(2)由相似三角形性质可得,解得y=40-x,所以面积S=x(40-x)=-x2+40x=-(x-20)2+400(0x40),当x=20时,Smax=400.答案:20x40y4040＝【互动探究】在本例(2)中,欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园,则其边长x的取值范围又是多少呢?【解析】,则x=40-y,y=40-x.由xy≥300,即x(40-x)≥300,解得10≤x≤30.x40y4040＝命题角度2:以分段函数的形式考查一次函数和二次函数模型【典例2】(2015·厦门模拟)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下,大桥上的车流速度v(单位:千米/时)是车流密度x(单位:辆/千米)的函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为0;当车流密度不超过20辆/千米时,车流速度为60千米/时.研究表明:当20≤x≤200时,车流速度v是车流密度x的一次函数.(1)当0≤x≤200时,求函数v(x)的表达式.(2)当车流密度x为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆/时)f(x)=x·v(x)可以达到最大,并求出最大值.(精确到1辆/时)【解题提示】(1)根据已知条件,确定0≤x≤200时v(x)的表达式.(2)确定0≤x≤20及20≤x≤200时,v(x)的分段函数,根据函数的性质确定f(x)=x·v(x)的最大值.【规范解答】(1)由题意,当0≤x≤20时,v(x)=60;当20≤x≤200时,设v(x)=ax+b,再由已知得解得故函数v(x)的表达式为v(x)=200ab0,20ab60,1a,3200b.3600x20,1200x,20x200.3，＜＜(2)依题意并由(1)可得f(x)=当0≤x≤20时,f(x)为增函数,故当x=20时,其最大值为60×20=1200;当20x≤200时,f(x)=x(200－x)当且仅当x=200-x,60x0x201x200x20x200.3，＜，，＜132x200x110000[]323＝，即x=100时,等号成立.所以当x=100时,f(x)在区间(20,200]上取得最大值≈3333.综上,当车流密度为100辆/千米时,车流量可以达到最大,最大值约为3333辆/时.100003悟·技法一次函数、二次函数模型问题的常见类型及解题策略(1)直接考查一次函数、二次函数模型.解决此类问题应注意三点:①二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决,但一定要密切注意函数的定义域,否则极易出错;②确定一次函数模型时,一般是借助两个点来确定,常用待定系数法;③解决函数应用问题时,最后要还原到实际问题.(2)以分段函数的形式考查.解决此类问题应关注以下三点:①实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出,而是由几个不同的关系式构成,如出租车票价与路程之间的关系,应构建分段函数模型求解;②构造分段函数时,要力求准确、简洁,做到分段合理、不重不漏;③分段函数的最值是各段的最大(或最小)者的最大者(最小者).提醒:(1)构建函数模型时不要忘记考虑函数的定义域.(2)对构建的较复杂的函数模型,要适时地用换元法转化为熟悉的函数问题求解.通·一类1.(2015·盐城模拟)某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料(如图),为降低消耗,开源节流,现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图阴影部分)备用,则截取的矩形面积的最大值为.【解析】依题意知:即x=(24-y),所以阴影部分的面积S=xy=(24-y)y=(-y2+24y),所以当y=12时,S有最大值为180.答案:18020xy8x24y－－＝，－5454542.(2015·福州模拟)为了在“十一”黄金周期间降价搞促销,某超市对顾客实行购物优惠活动,规定一次购物付款总额:①如果不超过200元,则不予优惠;②如果超过200元,但不超过500元,则按标价给予9折优惠;③如果超过500元,其中500元按第②条给予优惠,超过500元的部分给予7折优惠.辛云和她母亲两次去购物,分别付款168元和423元,假设他们一次性购买上述同样的商品,则应付款额为.【解析】依题意,价值为x元的商品和实际付款数f(x)之间的函数关系式为当f(x)=168时,由168÷0.9≈187200,故此时x=168;当f(x)=423时,由423÷0.9=470∈(200,500],故此时x=470.所以两次共购得价值为470+168=638元的商品,又500×0.9+(638-500)×0.7=546.6元,即若一次性购买上述商品,应付款额为546.6元.答案:546.6元x,0x200,fx0.9x,200x500,5000.9x5000.7,x500.3.(2015·日照模拟)某家庭进行理财投资,根据长期收益率市场预测,投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比,投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比.已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元.(1)分别写出两类产品的收益与投资额的函数关系.(2)该家庭有20万元资金,全部用于理财投资,问:怎么分配资金能使投资获得最大收益,其最大收益是多少万元?【解析】(1)设两类产品的收益与投资额的函数分别为f(x)=k1x,g(x)=k2.由已知得f(1)==k1,g(1)==k2,所以f(x)=x(x≥0),g(x)=(x≥0).x1812181x2(2)设投资债券类产品为x万元,则投资股票类产品为(20-x)万元,依题意得y=f(x)+g(20-x)=(0≤x≤20).令t=则y=所以当t=2,即x=16时,收益最大,ymax=3万元.投资债券类产品16万元,投资股票类产品4万元,可使投资获得最大收益,最大收益为3万元.x120x8220x(0t25),2220t11tt23,828【加固训练】1.(2014·武汉模拟