【世纪金榜】2016届高三文科数学总复习课件93用样本估计总体

第三节用样本估计总体【知识梳理】1.必会知识教材回扣填一填(1)常用统计图表①频率分布表的画法:第一步:求_____,决定组数和组距,组距=______;第二步:_____,通常对组内数值所在区间取左闭右开区间,最后一组取闭区间;第三步:登记频数,计算频率,列出频率分布表.极差极差组数分组②频率分布直方图:反映样本频率分布的直方图.如图:横轴表示样本数据,纵轴表示______,每个小矩形的面积表示样本落在该组内的_____.频率组距频率③茎叶图的画法.第一步:将每个数据分为茎(高位)和叶(低位)两部分;第二步:将最小茎与最大茎之间的数按_____次序排成一列,写在左(右)侧;第三步:将各个数据的叶依次写在其茎的右(左)侧.大小(2)样本的数字特征及意义①众数、中位数、平均数:数字特征定义与求法众数一组数据中重复出现次数_____的数中位数把一组数据按_________排列,处在______位置的一个数据(或两个数据的平均数)平均数如果有n个数据x1,x2,…，xn,那么这n个数的平均数=_________________大小顺序最中间x12n1(xxx)n最多②标准差、方差:(i)标准差:表示样本数据到平均数的一种平均距离,一般用s表示,s=_________________________________.(ii)方差:标准差的平方s2叫做方差.s2=_______________________________,其中xi(i=1,2,3,…,n)是样本数据,n是_________,是___________.x22212n1xxxxxxn［］22212n1xxxxxxn［］样本容量样本平均数2.必备结论教材提炼记一记(1)频率分布直方图中纵轴的含义是______,不是频率.(2)小矩形的面积即数据落在该区间内的频率,所有小矩形的面积和为__.(3)方差(标准差)越小,样本数据越稳定,波动越___;方差(标准差)越大,样本数据越不稳定,波动_____.频率组距1小越大3.必用技法核心总结看一看(1)常用方法:由具体到抽象的方法,用样本估计总体的方法.(2)数学思想:数形结合思想,方程思想.【小题快练】1.思考辨析静心思考判一判(1)一组数据的平均数一定大于这组数据中的每个数据.()(2)平均数、众数与中位数都可以描述数据的集中趋势.()(3)一组数据的方差越大,说明这组数据的波动越大.()(4)频率分布直方图中,小矩形的面积越大,表示样本数据落在该区间内的频率越高.()(5)茎叶图中的数据要按从小到大的顺序写,相同的数据可以只记一次.()【解析】(1)错误.平均数一定不大于这组数据中的最大值.(2)正确.平均数表示一组数据的平均水平,众数表示一组数据中出现次数最多的数,中位数等分样本数据所占频率,都可以从不同的角度描述数据的集中趋势.(3)正确.由方差的意义知结论正确.(4)正确.由频率分布直方图的意义知结论正确.(5)错误,茎叶图要求不能丢失数据.答案:(1)×(2)√(3)√(4)√(5)×2.教材改编链接教材练一练(1)(必修3P70例题改编)某赛季,甲、乙两名篮球运动员都参加了11场比赛,他们每场比赛得分的情况用如图所示的茎叶图表示,则甲、乙两名运动员得分的中位数分别为.【解析】数据的个数为奇数时,中位数为数据按大小排列后最中间的数据.答案:19,13(2)(必修3P82A组T6改编)甲、乙两人在相同条件下各射靶10次,每次命中环数如下:甲47109568688乙7868678759试问10次射靶的情况较稳定的是.【解析】本题要计算两样本的方差，当样本平均数不是整数，且样本数据不大时，可用简化公式计算方差.(4＋7＋…＋8)＝7.1，(7＋8＋…＋9)＝7.1，(42＋72＋…＋82－10×7.12)＝3.09，(72＋82＋…＋92－10×7.12)＝1.29，因为，所以乙10次射靶比甲10次射靶情况稳定.答案：乙1x10甲＝1x10乙＝21s10甲＝21s10乙＝22ss甲乙＞3.真题小试感悟考题试一试(1)(2014·陕西高考)设样本数据x1,x2,…,x10的均值和方差分别为1和4,若yi=xi+a(a为非零常数,i=1,2,…,10),则y1,y2,…,y10的均值和方差分别为()A.1+a,4B.1+a,4+aC.1,4D.1,4+a【解析】选A.样本数据x1,x2,…,x10的均值(x1+x2+…+x10)=1,方差s′2=[(x1-1)2+(x2-1)2+…+(x10-1)2]=4,新数据x1+a,x2+a,…,x10+a的均值(x1+a+x2+a+…+x10+a)=(x1+x2+…+x10)+a=1+a,新数据x1+a,x2+a,…,x10+a的方差s2=[(x1+a-1-a)2+(x2+a-1-a)2+…+(x10+a-1-a)2]=[(x1-1)2+(x2-1)2+…+(x10-1)2]=4.1x101101x10110110110(2)(2015·济南模拟)对某种电子元件的使用寿命进行跟踪调查,所得样本的频率分布直方图如图所示,由图可知,这一批电子元件中使用寿命在100～300h的电子元件的数量与使用寿命在300～600h的电子元件的数量的比是.【解析】由于已知的频率分布直方图中组距为100，寿命在100～300h的电子元件对应的矩形的高分别为：则寿命在100～300h的电子元件的频率为：寿命在300～600h的电子元件对应的矩形的高分别为：则寿命在300～600h的电子元件的频率为：则寿命在100～300h的电子元件的数量与寿命在300～600h的电子元件的数量的比大约是答案：13,,2000200013100()0.2,20002000113,,,4002502000113100()0.8,40025020000.21.0.8414考点1数字特征的计算与应用【典例1】(1)(2014·陕西高考)某公司10位员工的月工资(单位:元)为x1,x2,…,x10,其均值和方差分别为和s2,若从下月起每位员工的月工资增加100元,则这10位员工下月工资的均值和方差分别为()A.,s2+1002B.+100,s2+1002C.,s2D.+100,s2xxxxx(2)(2015·东城模拟)汽车的碳排放量比较大,某地规定,从2014年开始,将对二氧化碳排放量超过130g/km的轻型汽车进行惩罚性征税.检测单位对甲、乙两品牌轻型汽车各抽取5辆进行二氧化碳排放量检测,记录如下(单位:g/km).甲80110120140150乙100120x100160经测算得乙品牌轻型汽车二氧化碳排放量的平均值为=120g/km.x乙①从被检测的5辆甲品牌轻型汽车中任取2辆,则至少有一辆二氧化碳排放量超过130g/km的概率是多少?②求表中x的值,并比较甲、乙两品牌轻型汽车二氧化碳排放量的稳定性.【解题提示】(1)根据均值和方差的计算公式代入求解即可.(2)①利用古典概型的概率公式求解.②计算两种品牌车二氧化碳排放量的平均数与方差,再根据平均数和方差的意义判断.【规范解答】(1)选D.样本数据x1,x2,…,x10的均值(x1+x2+…+x10),方差s2=［(x1-)2+(x2-)2+…+(x10-)2］新数据x1+100,x2+100，…,x10+100的均值(x1+100+x2+100+…+x10+100)=(x1+x2+…+x10)+100=+100,新数据x1+100,x2+100,…,x10+100的方差［(x1+100--100)2+(x2+100--100)2+…+(x10+100--100)2］=［(x1-)2+(x2-)2+…+(x10-)2］=s2.1x10110xxx1x10110x21s10110xxxxxx(2)①从被检测的5辆甲品牌的轻型汽车中任取2辆,共有10种不同的二氧化碳排放量结果:(80,110),(80,120),(80,140),(80,150),(110,120),(110,140),(110,150),(120,140),(120,150),(140,150).设“至少有一辆二氧化碳排放量超过130g/km”为事件A,则事件A包含以下7种不同的结果:(80,140),(80,150),(110,140),(110,150),(120,140),(120,150),(140,150).所以P(A)==0.7.即至少有一辆二氧化碳排放量超过130g/km的概率为0.7.710②由题可知，=120，所以=120，解得x=120．[(80-120)2+(110-120)2+(120-120)2+(140-120)2+(150-120)2]=600.[(100-120)2+(120-120)2+(120-120)2+(100-120)2+(160-120)2]=480，因为所以乙品牌轻型汽车二氧化碳排放量的稳定性好．x乙480x521s5甲21s5乙22xx120ss甲乙甲乙，，【一题多解】解答本题(1),你还会什么解法?解答本题(1),还可以利用以下解法:因为平均值反映的是数据的平均水平,都增加100时,平均值也增加100;而方差反映的是数据的波动情况,都增加100时,数据的波动情况不变,故选D.【规律方法】众数、中位数、平均数及方差的意义及计算方法(1)平均数与方差都是重要的数字特征,是对总体的一种简明地描述,平均数、中位数、众数描述其集中趋势,方差和标准差描述波动大小.(2)平均数、方差的公式推广.①若数据x1,x2,…,xn的平均数为,那么mx1+a,mx2+a,mx3+a,…,mxn+a的平均数是m+a.②数据x1,x2,…,xn的方差为s2.(i)数据x1+a,x2+a,…,xn+a的方差也为s2;(ii)数据ax1,ax2,…,axn的方差为a2s2.xx(3)方差的简化计算公式.s2=或写成即方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方.222212n1xxxnxn［］2222212n1sxxxxn，【变式训练】1.某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40%.在一次考试中,男、女平均分数分别是75,80,则这次考试该年级学生平均分数为.【解析】由平均数的定义得75×40%+80×(1-40%)=78.答案:782.(2013·江苏高考)抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位:环),结果如下:运动员第一次第二次第三次第四次第五次甲8791908993乙8990918892则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为.【解题提示】利用平均数公式与方差公式求解可得结果.【解析】答案：28791908993x90,5甲2222222222228990918892x90,587909190909089909390s4,589909090919088909290s2.5乙甲乙故【加固训练】某人5次上班途中所花的时间(单位:分钟)分别为x,y,10,11,9,已知数据的平均数为10,方差为2,则|x-y|=.【解析】由题意得答案：42222222xy1011910,51(x10)(y10)(1010)(1110)(910)2,5(x10)(y10)0,(x10)(y10)8,x102,x102,y102y102,|xy|4.［－－－－－］－－所以－－－－－所以或－－－所以－考点2茎叶图的应用【典例2】(1)(2013·重庆高考)以下茎叶图记录了甲、乙两组各5名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位:分).已知甲组数据的中位数为15,乙组数据的平均数为16.8,则x,y的值分别为()A.2,5B.5,5C.5,8D.8,8(2)(2013·安徽高考)为