【优教通,同步备课】高中数学(北师大版)选修2-2教案第4章典型例题定积分的两种非常规用法

-1-例谈定积分的两种非常规用法定积分是新课标的新增内容，它不仅为传统的高中数学注入了新鲜血液，还给学生提供了数学建模的新思路、“用数学”的新意识，通常利用定积分可以求平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体体积、变速直线运动的路程及变力作功等。另外，利用定积分也能求物体所受的力、证明不等式。一、求物体所受的力例1.矩形闸门宽a米，高h米垂直放在水中，上沿与水面平齐，则该闸门所受水的压力F等于（）其中水的密度为kg/m3，g单位是m/s2，A.hgahdh0B.agahdh0C.agahdh021D.agahdh02解析：建立如图所示坐标系.取x为积分变量，x∈[0，h]，任取子区间[x，x+dx][0，h]，∵闸门所受水的压力F=ps，其中p为压强，s为受力面积，又p=gx，（x为水的深度.），∴相应一薄层水对闸门的压力近似为：dF=pds=gxds=gx·adx，于是整个闸门所受水的压力F为：F=hgaxdx0=hgahdh0，故选A.点评：闸门所受水的压强p是关于水深x的函数,随着x的变化而变化；且闸门的受力面积s也是关于水深x的函数.所以可用分割、近似代替、求和、取极限的方法,即用定积分的定义来求该闸门所受水的压力F.例2.矩形闸门上沿与水面平齐，且垂直放在水中，过此闸门的中心作水平线将矩形闸门分为面积相等的上下两部分，设上部所受水的压力为F1，下部所受水的压力为F2，则21FF等于（）A.21B.31C.32D.与矩形的具体尺寸有关（h，2a）xx+dxOyx-2-解析：由例1知F1=20hgahdh，F2=hhgahdh2，∴21FF=4341442202222222220hhhhhhgahhgagahdhgahdhhhh=31.故选B.二、利用积分证明不等式例3.求证16＜8011kk＜17.证明：可以考虑函数f（x）=x1在区间[k-1，k]（k=2，3，…，80）上的定积分.由k1＜kkxdx1，得8011kk=1+8021kk＜1+8021kkkxdx=1+801xdx=1+2（180）≈16.9＜17.同理，由k1＞1kkxdx，有8011kk＞8011kkkxdx=801xdx=2（180）=16.综上所述，即证得16＜8011kk＜17.