三相正弦交流电的教案

数学归纳法1．运用数学归纳法证明命题要分两步，第一步是_________________，第二步是___________________，两步缺一不可．2.用数学归纳法可以证明许多与自然数有关的数学命题，其中包括____________________________________________________．归纳奠基(或递推基础)归纳递推(或归纳假设)恒等式、不等式、数列通项公式、整除性问题、几何问题等1．在用数学归纳法证明多边形内角和定理时，第一步应验证()CA．n＝1时成立C．n＝3时成立B．n＝2时成立D．n＝4时成立解析：多边形至少有三边．A2．用数学归纳法证明：1＋12＋13…＋12n－1n，(n∈N*且n1)时，在第二步证明从n＝k到n＝k＋1成立时，左边增加的项数是()A．2kB．2k－1C．2k－1D．2k＋1解析：项数是(2k＋1－1)－(2k－1)＝2k.3.凸n边形有f(n)条对角线，则凸n＋1边形有对角线数f(n＋1)为()CA．f(n)＋n＋1B．f(n)＋nC．f(n)＋n－1D．f(n)＋n－2解析：在n个顶点的基础上增加一个顶点则增加n－1条对角线．4．如果1×2×3＋2×3×4＋3×4×5＋…＋n(n＋1)(n＋2)＝14n(n＋1)(n＋a)(n＋b)对一切正整数n都成立，a、b的值应该等于()A．a＝1，b＝3C．a＝1，b＝2B．a＝－1，b＝1D．a＝2，b＝3答案：D解析：令n＝1,2，得到关于a、b的方程组，解得即可．解析：a1＝13且Sn＝n(2n－1)an得，a2＝115，a3＝135，a4＝163，由1×3,3×5,5×7,7×9，…可得an＝12n－12n＋1.14n2－14．在数列{an}，a1＝13且Sn＝n(2n－1)an，通过求a2、a3、a4，猜想an的表达式，其结果是_______.5考点1对数学归纳法的两个步骤的认识例1：已知n是正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设n＝k(k≥2且为偶数)时命题为真，则还需证明()A．n＝k＋1时命题成立C．n＝2k＋2时命题成立B．n＝k＋2时命题成立D．n＝2(k＋2)时命题成立解题思路：从数学归纳法的两个步骤切入，k的下一个偶数是k＋2.解析：因n是正偶数，故只需证等式对所有偶数都成立，因k的下一个偶数是k＋2.故选B.用数学归纳法证明时，要注意观察下列几个方面：(1)n的范围以及递推的起点；(2)观察首末两项的次数(或其他)，确定n＝k时命题的形式f(k)；(3)从f(k＋1)和f(k)的差异，寻找由k到k＋1递推中，左边要加(乘)上的式子．n＋n24【互动探究】B(2)用数学归纳法证明不等式1n＋1＋1n＋2＋…＋113的过程中，由k推导到k＋1时，不等式左边增加的式子是_______________.12k＋12k＋21．(1)用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an＝1－an＋11－a(a≠1，n∈N*)时，在验证n＝1时，左边计算所得的式子是()A．1B．1＋aC．1＋a＋a2D．1＋a＋a2＋a4＋k＋1k＋1－，即2k＋2k＋12k＋12k＋2解析：求f(k＋1)－f(k)即可．当n＝k时，左边＝11k＋1k＋2＋…＋1k＋k.n＝k＋1时，左边＝1k＋2＋1k＋3＋…＋1.故左边增加的式子是12k＋1＋111.考点2用数学归纳法证明恒等式命题例2：是否存在常数a、b、c，使等式1·22＋2·32＋…＋n(nn都成立？证明你的＋1)2＝nn＋1(an2＋bn＋c)对一切正整数12结论．解题思路：从特殊入手，探求a、b、c的值，考虑到有3个未知数，先取n＝1,2,3，列方程组求得，然后用数学归纳法对一切n∈N*，等式都成立．解析：把n＝1,2,3代入得方程组a＋b＋c＝244a＋2b＋c＝449a＋3b＋c＝70，解得a＝3b＝11c＝10，猜想：等式1·22＋2·32＋…＋n(n＋1)2＝nn＋112(3n2＋11n＋10)对一切n∈N*都成立．(3k2＋11k＋10)，(3k2＋11k＋10)＋(k＋1)(k＋2)2(3k＋5)(k＋2)＋(k＋1)(k＋2)2下面用数学归纳法证明：(1)当n＝1时，由上面可知等式成立．(2)假设n＝k时等式成立，即1·22＋2·32＋…＋k(k＋1)2＝kk＋112则1·22＋2·32＋…＋k(k＋1)2＋(k＋1)(k＋2)2＝kk＋112＝kk＋112[k(3k＋5)＋12(k＋2)][3(k＋1)2＋11(k＋1)＋10]．2n＋1＝k＋1k＋212＝k＋1k＋212∴当n＝k＋1时，等式也成立．综合(1)(2)，对n∈N*等式都成立．11×3＋13×5＋…＋2．用数学归纳法证明：n∈N*时，n1＝.2n－12n＋1【互动探究】＝，＝，左边＝右边，所以等式成立．＋…＋，＋…＋k1k2k＋3＋1证明：(1)当n＝1时，左边＝111×33右边＝12×1＋113(2)假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即有11×3＋13×512k－12k＋1＝k2k＋1则当n＝k＋1时，11×3＋13×512k－12k＋1＋12k＋12k＋3＝＋＝2k＋12k＋12k＋32k＋12k＋32k2＋3k＋1k＋1k＋1＝＝＝，2k＋12k＋32k＋32k＋1＋1所以当n＝k＋1时，等式也成立．由(1)(2)可知，对一切n∈N*等式都成立．考点3用数学归纳法证明不等式命题例3：用数学归纳法证明不等式：1×2＋2＋3＋…＋nn＋112(n＋1)2(n∈N*).解题思路：按照数学归纳法证明命题的步骤进行，注意n0＝1及式子的变形方法、不等式的常见证明方法．解析：(1)当n＝1时，左边＝2，右边＝2，不等式成立．(2)假设当n＝k时不等式成立，即1×2＋2＋3＋…＋kk＋112(k＋1)2，则1×2＋2＋3＋…＋kk＋1＋k＋1k＋212(k＋1)2＋k＋1k＋2，∵12(k＋1)2＋k＋1k＋2－k＋222＝k＋1k＋2－k＋1＋k＋220.∴1×2＋2＋3＋…＋kk＋1＋k＋1k＋2∴当n＝k＋1时，不等式成立，由(1)(2)知，等式对所有正整数都成立．(1)用数学归纳法证明命题，格式严谨，必须严格按步骤进行；(2)归纳递推是证明的难点，应看准“目标”进行变形；(3)由k推导到k＋1时，有时可以“套”用其他证明方法，如：比较法、分析法等，表现出数学归纳法“灵活”的一面．12[(k＋1)＋1]2，－8(k＋1)－9＝9(32k+2－8k－9)＋9·8k＋9·9－考点4用数学归纳法证明整除性命题例4：试证：当n为正整数时，f(n)＝32n+2－8n－9能被64整除．由于32(k+1)+2即f(k＋1)＝9f(k)＋64(k＋1)，解析：方法一：(1)当n＝1时，f(1)＝34－8－9＝64，命题显然成立．(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，f(k)＝32k+2－8k－9能被64整除．8(k＋1)－9＝9(32k＋2－8k－9)＋64(k＋1)，∴n＝k＋1时命题也成立．根据(1)(2)可知，对任意的n∈N*，命题都成立．方法二：(1)当n＝1时，f(1)＝34－8－9＝64，命题显然成立．(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，f(k)＝32k＋2－8k－9能被64整除．由归纳假设，设32k＋2－8k－9＝64m(m为大于1的自然数)，将32k＋2＝64m＋8k＋9代入到f(k＋1)中得f(k＋1)＝9(64m＋8k＋9)－8(k＋1)－9＝64(9m＋k＋1)，∴n＝k＋1时命题成立．根据(1)(2)可知，对任意的n∈N*，命题都成立．【互动探究】3．求证：二项式x2n－y2n(n∈N*)能被x＋y整除．证明：(1)当n＝1时，x2－y2＝(x＋y)(x－y)，能被x＋y整除，命题成立．(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，x2k－y2k能被x＋y整除，那么当n＝k＋1时，x2k＋2－y2k＋2＝x2·x2k－y2·y2k＝x2x2k－x2y2k＋x2y2k－y2y2k＝x2(x2k－y2k)＋y2k(x2－y2)，显然x2k＋2－y2k＋2能被x＋y整除，即当n＝k＋1时命题成立．由(1)(2)知，对任意的正整数n命题均成立．错源：由n＝k变化到n＝k＋1时理解不透彻例5：求证：12＋13＋14＋…＋12n－1n－22(n≥2)．误解分析：对代数式12＋13＋14＋…＋12n－1的变化规律理解不透，即对该代数式的变化性质不理解，所以由n＝k变化到n＝k＋1时，左边的代数式到底增加了多少项？哪些项？找的不恰当，致使该题做不下去；有些同学能找对这个项数及项，但对不等式的性质掌握不扎实，即对ab，bc，则有ac这性质掌握不灵活，对12k－1＋1＋12k－1＋2＋…＋12k－1＋2k－112k＋12k＋…＋12k放缩不过去，导致证不出当n＝k＋1时，左边k－22＋12k－1＋1＋…＋12kk－12＋12k＋…＋12k＝k－12.正解：证明：(1)当n＝2时，120，不等式成立．(2)假设n＝k(k≥2)时，原不等式成立．即12＋13＋14＋15＋…＋12k－1k－22.则当n＝k＋1时，左边＝12＋13＋14＋…＋12k－1＋12k－1＋1＋12k－1＋2＋…＋12k－1＋2k－1k－22＋12k－1＋1＋12k－1＋2＋…＋12k－1＋2k－1k－22＋12k＋12k＋…＋12k＝k－22＋2k－12k＝k－12＝k＋1－22.纠错反思：数列中的不等式常用的放缩方法有：利用分式的性质、利用根式的性质、利用不等式的性质、利用二项展开式、利用函数的性质等进行放缩.当n＝k＋1时，原不等式成立．由(1)(2)知，原不等式对n≥2的所有的自然数都成立，即12＋13＋14＋…＋12n－1n－22(n≥2)．①②③4．已知f(n)＝1n＋1n＋1＋1n＋2＋…＋1n2，则下列说法有误的是________.①f(n)中共有n项，当n＝2时，f(2)＝12＋13；②f(n)中共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝12＋13＋14；③f(n)中共有n2－n项，当n＝2时，f(2)＝12＋13；④f(n)中共有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝12＋13＋14.【互动探究】例6：在数列{an}中，a1＝tanx，an＋1＝1＋an1－an，写出a1、a2、a3并求数列{an}的通项公式．解析：a1＝tanx，a2＝tanπ4＋x，a3＝tanπ2＋x，猜想an＝tann－1π4＋x.下列用数学归纳法证明：(1)当n＝1时，由上面的探求可知猜想成立．(2)假设当n＝k时等式成立，即ak＝tank－1π4＋x，“归纳——猜想——证明”是一个完整的发现问题和解决问题的思维模式，对于探索命题特别有效，要求善于发现规律，敢于提出更一般的结论，最后进行严密的论证．即ak＋1＝1＋ak1－ak＝1＋tank－1π4＋x1－tank－1π4＋x＝tank·π4＋x，∴当n＝k＋1时，猜想也成立．由(1)(2)可知，对一切n∈N*猜想都成立．1．用数学归纳法证明问题时应注意：①第一步验证n＝n0时，n0并不一定是1；②第二步证明的关键是要运用归纳假设，特别要弄清由k到k＋1时命题的变化；③由假设n＝k时命题成立，证n＝k＋1时命题也成立，要充分利用归纳假设，要恰当地“凑”出目标．2．用数学归纳法证明时，从n＝k到n＝k＋1的关键是，要注意初始值，要弄清n＝k和n＝k＋1时的结论是什么，要有目标意识，紧盯n＝k＋1时的结论，对n＝k时的结论进行一系列的变形，变形的目标就是n＝k＋1时的结论，这就是所谓的“凑假设，凑结论”．设正整数数列{an}满