【初数】几何专题课程(共9讲)_第09讲_旋转模型(二)-5月11日-周一-9点-张强

初中数学专题课程旋转模型二_学生版1/17几何专题课程一、对角互补四边形模型模型说明：本模型是模型一的延伸和变形，所以从某种程度上，两个模型有相通之处，而之所以提出此类模型，是因为在不同的题目之间，所给出已知条件以及图形的展现形式不同。对角互补类—四边形多数题目给出的条件会以四边形或者三角形等旋转为载体．二、角含半角模型模型说明：本模型除了用旋转之外，部分习题也会考到轴对称的辅助线作图，此类模型也是考察中经常考察的，此类模型经常会出现在正方形，等腰直角三角形中，由特殊到一般后也可以出现在一般的等腰三角形中，但是主要的条件还是出现“半角”旋转ABMCDNABMCDNNDCMBA第九讲：旋转模型二知识点睛初中数学专题课程旋转模型二_学生版2/17几何专题课程【例1】已知：如图（1），在Rt△ABC中，90BAC，ABAC，点D、E分别为线段BC上两动点，若45DAE．探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系．小明的思路是：把△AEC绕点A顺时针旋转90°，得到△ABE′，连结E′D，使问题得到解决．请你参考小明的思路探究并解决下列问题：（1）猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明；（2）当动点E在线段BC上，动点D运动在线段CB延长线上时，如图（2），其它条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明．例题精讲初中数学专题课程旋转模型二_学生版3/17几何专题课程【例2】如图1，在等腰直角△ABC中，ABAC，90BAC，小敏将一块三角板中含45°角的顶点放在A上，从AB边开始绕点A逆时针旋转一个角，其中三角板斜边所在的直线交直线BC于点D，直角边所在的直线交直线BC于点E．（1）小敏在线段BC上取一点M，连接AM，旋转中发现：若AD平分∠BAM，则AE也平分∠MAC．请你证明小敏发现的结论；（2）当045时，小敏在旋转中还发现线段BD、CE、DE之间存在如下等量关系：222BDCEDE．同组的小颖和小亮随后想出了两种不同的方法进行解决；小颖的想法：将△ABD沿AD所在的直线对折得到△ADF（如图2）；小亮的想法：将△ABD绕点A顺时针旋转90°得到△ACG（如图3）．请你选择其中的一种方法证明小敏的发现的是正确的．初中数学专题课程旋转模型二_学生版4/17几何专题课程【例3】已知正方形ABCD，一等腰直角三角板的一个锐角顶点与A重合，将此三角板绕A点旋转时，两边分别交直线BC、CD于M、N．（1）当M、N分别在边BC、CD上时（如图1），求证：BMDNMN；（2）当M、N分别在边BC、CD所在的直线上时（如图2，图3），线段BM、DN、MN之间又有怎样的数量关系，请直接写出结论；（3）在图3中，作直线BD交直线AM、AN于P、Q两点，若10MN，8CM，求AP的长．初中数学专题课程旋转模型二_学生版5/17几何专题课程【例4】如图1，等腰直角三角板的一个锐角顶点与正方形ABCD的顶点A重合，将此三角板绕点A旋转，使三角板中该锐角的两条边分别交正方形的两边BC，DC于点E，F，连接EF．（1）猜想BE、EF、DF三条线段之间的数量关系，并证明你的猜想；（2）在图1中，过点A作AM⊥EF于点M，请直接写出AM和AB的数量关系；（3）如图2，将Rt△ABC沿斜边AC翻折得到Rt△ADC，E，F分别是BC，CD边上的点，12EAFBAD，连接EF，过点A作AM⊥EF于点M，试猜想AM与AB之间的数量关系．并证明你的猜想．初中数学专题课程旋转模型二_学生版6/17几何专题课程【例5】已知四边形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，ABBC，120ABC，60MBN，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于E、F，（1）当∠MBN绕B点旋转到AECF时（如图1），试猜想AE，CF，EF之间存在怎样的数量关系？请将三条线段分别填入后面横线中：_______+_______=_______（不需证明）（2）当∠MBN绕B点旋转到AECF时，在图2和图3这两种情况下，上问的结论分别是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，那么这三条线段又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．初中数学专题课程旋转模型二_学生版7/17几何专题课程【例6】如图，△ABC是正三角形，△BDC是顶角120BDC的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角，使角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN．①当MN∥BC时，求证：MNBMCN；②当MN与BC不平行时，则①中的结论还成立吗？为什么？③若点M、N分别是射线AB、CA上的点，其它条件不变，再探线段BM、MN、NC之间的关系，在图③中画出图形，并说明理由．初中数学专题课程旋转模型二_学生版8/17几何专题课程【例7】在等边ABC的两边AB，AC所在直线上分别有两点MND，，为ABC外一点，且60MDN，120BDC，BDCD，探究：当点MN，分别在直线ABAC，上移动时，BMNCMN，，之间的数量关系及AMN的周长Q与等边ABC的周长L的关系．（1）如图①，当点MN，在边ABAC，上，且DMDN时，BMNCMN，，之间的数量关系式_________；此时QL__________（2）如图②，当点MN，在边ABAC，上，且DMDN时，猜想（1）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；（3）如图③，当点MN，分别在边ABCA，的延长线上时，若ANx，则Q_________（用xL，表示）图①MNDCBA图②MNDCBAN图③MDCBA初中数学专题课程旋转模型二_学生版9/17几何专题课程【例8】如图1，Rt△ABC≌Rt△EDF，90ACBF，30AE．△EDF绕着边AB的中点D旋转，DE，DF分别交线段．．AC于点M，K．（1）观察：①如图2、图3，当0CDF或60°时，AMCK_______MK（填“”，“”或“”）．②如图4，当30CDF时，AMCK_______MK（只填“”或“”）．（2）猜想：如图1，当060CDF时，AMCK_______MK，证明你所得到的结论．（3）如果222MKCKAM，请直接写出∠CDF的度数和AMMK的值．DBCAFEMK图1DBCA(F,K)EM图2DBCAFEK图3(M)DBCAFEMK图4初中数学专题课程旋转模型二_学生版10/17几何专题课程【例9】已知：等边ABC中，点O是边AC、BC的垂直平分线的交点，M、N分别在直线AC、BC上，且60MON．（1）如图1，当CMCN时，M、N分别在边AC、BC上时，请写出AM、CN、MN三者之间的数量关系；（2）如图2，当CMCN时，M、N分别在边AC、BC上时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请你加以证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，当点M在边AC上，点N在BC的延长线上时，请直接写出线段AM、CN、MN三者之间的数量关系．初中数学专题课程旋转模型二_学生版11/17几何专题课程【例10】已知：MAN，AC平分MAN．（1）在图1中，若90MANDCB，证明：2ABADAC．（2）在图2中，若120MAN，60DCB，探究AB、AD、AC三者之间的数量关系，并给出证明；（3）在图3中：若MAN（0180），180DCB，则______ABADAC（用含的三角函数表示,直接写出结果，不必证明）图3图2图1ABMCDNABMCDNNMDCBA初中数学专题课程旋转模型二_学生版12/17几何专题课程【例11】如图1，正方形ABCD和正方形QMNP，M是正方形ABCD的对称中心，MN交AB于F，QM交AD于E．（1）猜想：ME与MF的数量关系（2）如图2，若将原题中的“正方形”改为“菱形”，且MB，其它条件不变，探索线段ME与线段MF的数量关系，并加以证明．（3）如图3，若将原题中的“正方形”改为“矩形”，且:1:2ABBC，其它条件不变，探索线段ME与线段MF的数量关系，并说明理由．（4）如图4，若将原题中的“正方形”改为平行四边形，且MB，:ABBCm，其它条件不变，求出:MEMF的值（直接写出答案）图4图1图2图3ABCDQPNMEFABCDFEMQPNFEFEABCDQPNMQPNMDCBA初中数学专题课程旋转模型二_学生版13/17几何专题课程【例12】已知，点P是MON的平分线上的一动点，射线PA交射线OM于点A，将射线PA绕点P逆时针旋转交射线ON于点B，且使180APBMON.（1）利用图1，求证：PAPB；（2）如图2，若点C是AB与OP的交点，当3POBPCBSS时，求PC与PB的比值；（3）若60MON，2OB，射线AP交ON于点D，且满足且PBDABO，请借助图3补全图形，并求OP的长．图1TNMBPOACAOPBMNT图2图3TNMBPOAC初中数学专题课程旋转模型二_学生版14/17几何专题课程【例13】已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EFBD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．（1）求证：EGCG；（2）将图①中BEF绕B点逆时针旋转45，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（3）将图①中BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问⑴中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）初中数学专题课程旋转模型二_学生版15/17几何专题课程【作业1】如图，在等腰直角△ABC的斜边AB上取两点M、N（不与A、B重合）使45MCN，记AMm，MNx，NBn，试判断以x、m、n为边长的三角形的形状，并给予说明．课后作业初中数学专题课程旋转模型二_学生版16/17几何专题课程【作业2】在菱形ABCD中，120BAD，4AB，把一个含60°角的三角板与这个菱形叠合，使三角板的60°角的顶点与点A重合，两边分别落在AB、AC上．将三角板绕点A按逆时针旋转，设旋转角为（1）如图①，当060时，三角板的两边分别与菱形的两边BC、CD相交于点E、F，请你通过观察或测量写出图中现有的两组相等线段(菱形的边和对角线除外)．（2）如图②，当60120时，三角板的两边分别与BC、CD的延长线相交于点E、F，你在(1)中得到的结论还成立吗?若成立，请你选择一组加以证明；若不成立，请你说明理由．（3）当060时，三角板的两边分别与菱形的两边BC、CD相交于点E、F，请你求出这个三角板与这个菱形重合部分的面积．初中数学专题课程旋转模型二_学生版17/17几何专题课程【作业3】已知：在RtABC中，ABBC，在RtADE中，ADDE，连结EC，取EC的中点M，连结DM和BM．⑴若点D在边AC上，点E在边AB上且与点B不重合，如图①，探索BM、DM的关系并给予证明；⑵如果将图①中的ADE绕点A逆时针旋转小于45的角，如图②，那么⑴中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明．图1ABCDEM图2MEDCBA