三角函数有关的中考数学题展析

三角函数有关的中考数学题展析温州三角函数在高中是一个非常重要的函数，用途很广泛，而在初中关于锐角三角函数的定义给初中直角三角形问题的解决同样起了关键作用。在去年的浙江省各市的中考试题中多次出现运用三角函数定义来解决直角三角形的问题，且分值可观。我们知道初中的几何与代数的联系的一个重要环节就是利用三角函数，我们常遇见直角三角形中三边的关系用勾股定理，而要联系角和边就需要借助三角函数，因此透过三角函数的定义和本身的意义的考查确实是检测学生各方面的知识和能力的好方法。因此我们也会发现一个共同的问题，归纳起来就是要回到定义，这种定义法思想在2008年浙江省的各市中考数学试题中体现的非常明显。当我们去看2009年的考试说明时：我们发现了（1）认识锐角三角函数(sinA,cosA,tanA),知道00060,45,30角的三角函数值，（2）会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它对应的锐角（3）运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题----要求是C，即能在理解的基础上，把对象运用到新的情境中，能综合运用知识，灵活，合理地选择与运用有关的方法完成给定的数学任务；主动参与特定的数学活动，通过观察，实验，推理等活动发现对象的某些特征或与其他对象的区别和联系。下面就2008年与三角函数有关的中考试题做一简要分析一、特殊角三角函数的计算------三角函数应用的着眼点例1：（义乌第17题）计算：33sin602cos458；分析：要计算这个结果，需要学生掌握特殊角的三角函数值，对于9个结果每个都要非常清楚，在教材九年级下册第5至7页重点研究了定义还有030角的三角函数值。书中提到：在直角三角形中，如果有一个锐角是030，那么另一个锐角是060，设斜边为2，则两直角边分别是1，3，从而根据定义得出特殊角的三角函数值。同理，在等腰直角三角形中，如果有一直角边长为1，可根据定义求出045的三角函数值，列表如下A030045060SinA212223CosA232221TanA3313解：33sin602cos4583232222=2.5评析：本题以三角函数和正数的立方根为考查对象，全面考查学生对特殊角的三角函数值的掌握情况，以及实数之间的基本运算，是对学生运算能力的一次大检阅。命题意图：本题对三角函数的考查重在结果的记忆方面，而对此结果是怎么来的并不做考究，学生想把握好这些计算内容就是在理解的基础上要加强记忆，记忆也是数学学习的一个重要方法。而死记硬背不是好方法，好方法就是在两个特殊的直角三角形中去分析把握。二、锐角三角函数的定义--------三角函数应用的起跑线例2：（湖州第10题）如图，已知直角三角形ABC中，斜边AB的长为m，40B，则直角边BC的长是（）A．sin40mB．cos40mC．tan40mD．tan40m分析：本题考查学生的分析能力，在这样的一个直角三角形中，已知斜边和一个锐角，怎样求其它量的问题。学生首先得分析出运用哪个三角函数是最直接的，是最有效的。即具体到直角三角形背景下的锐角的余弦的定义。在教材中是这样定义的。，的邻边的对边，斜边的邻边，斜边的对边BBBBBBBtancossin解:在三角形ABC中，由角B的余弦定义可知0040cos40coscosmABBCABBCB，即选B评析：这是湖州中考卷的第10题，难度值不大，但是体现的信息是从定义角度入手，成功加以解决，要求学生对三角函数的定义非常清晰，能迅速找到定义中所需要的各边，将各边按照定义的方式先写出，从而再进行必要的转化。命题意图：考查学生对于教材的把握程度，引导学生回归课本，哪怕是一个很小的定义，也要充分的理解和把握，不能忽略。所以中考的复习阶段要重点抓住两个方面展开，一个考试说明，二是课本教材上的定义，定理和典型例题练习。例3：（义乌第18题）．如图，小明用一块有一个锐角为30的直角三角板测量树高，已知小明离树的距离为4米，DE为1.68米，那么这棵树大约有多高？（精确到0.1米）分析：本题考查如何将实验问题转化为数学几何问题的能力，要明确求树高CE可以转化为求CD和DE，而DE就是小明的身高，所以只需求CD，再利用三角函数的定义寻找CD与AD之间的关联就可以。这是一个常见的实际应用题，而这个应用的解法中需要用到三角函数的定义，解：∵0tan304CDADCD，∴CD433∴CE=4331.684.0∴这棵树的高大约有4.0米高.评析:这是义乌卷的一道大题，看似简单，但蕴涵的信息却很多，首先是线段的分解，其次是直角三角形中已知一个角和一条直角边求其它量的问题。学生不仅要会转化线段，也要学会利用角的正切的定义分析已知与未知量之间的关系，从而解决问题。命题意图：了解了锐角三角函数的定义就把握了问题的解决方案，也就是站在了解决问题的制高点上。强化这种定义的方式是衔接初高中数学的一种很好的方式。为高中数学的进一步学习提供了一个可靠的方法，那就是要重点把握概念和定义，也就是把握基础。三、三角函数的工具功能--------三角函数应用的广泛面（一）解决圆问题中的特殊三角形问题例4：（金华第20题）如图,CD切⊙O于点D,连结OC,交⊙O于点B,过点B作弦AB⊥OD，点E为垂足,已知⊙O的半径为10,sin∠COD=45.求：（1）弦AB的长；（2）CD的长；分析：本题考查在圆的背景下的直角三角形问题，其中涉及到已知某个锐角的三角函数值如何建立边之间的关系问题，体现了三角函数作为工具在圆问题中的关键作用。分析已知量与未知量之间的关系，灵活多变地逆用三角函数，达到解决问题，提高思维能力的效果。解：(1)∵AB⊥OD，∴∠OEB=900在Rt△OEB中，BE=OB×sin∠COD=10×45=8由垂径定理得AB=2BE=16所以弦AB的长是16(2)方法（一）在Rt△OEB中，OE=2222108OBBE=6.∵CD切⊙O于点D,∴∠ODC=900,∴∠OEB=∠ODC.∵∠BOE=∠COD,∴△BOE∽△COD,∴CDODBEOE,∴1086CD,∴CD=403.所以CD的长是403方法（二）由sin∠COD=45可得tan∠COD=43,在Rt△ODC中，tan∠COD=CDOD,∴CD=OD•tan∠COD=10×43=403评析：本题中不仅用到了条件所给的正弦值，还巧妙地得到了正切值，从而在第二步中迅速解决问题，这就反映了对三角函数的灵活运用。命题意图：这是金华卷的一道大题，旨在全面考查作为工具特征的三角函数ABCOED是否能够灵活云运用到解决圆的问题。三角函数在解决问题中起到了非常关键作用。（二）代数与几何的综合问题方面例5（衢州第24题）已知直角梯形纸片OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，四个顶点的坐标分别为O(0，0)，A(10，0)，B(8，32)，C(0，32)，点T在线段OA上(不与线段端点重合)，将纸片折叠，使点A落在射线AB上(记为点A′)，折痕经过点T，折痕TP与射线AB交于点P，设点T的横坐标为t，折叠后纸片重叠部分(图中的阴影部分)的面积为S；(1)求∠OAB的度数，并求当点A′在线段AB上时，S关于t的函数关系式；分析：本题考查几何图形的变换而产生的函数的问题，三角函数作为工具在其中体现了桥梁的作用，运用正切，正弦等三角函数综合解决问题。解：(1)∵A，B两点的坐标分别是A(10，0)和B(8，32)，∴381032OABtan，∴60OAB当点A´在线段AB上时，∵60OAB，TA=TA´，∴△A´TA是等边三角形，且ATTP，∴)t10(2360sin)t10(TP，)t10(21AT21APPA，∴2TPA)t10(83TPPA21SS，当A´与B重合时，AT=AB=460sin32，所以此时10t6。xyyOBCATxOBCAT评析：本题很好地考查了学生运用三角函数知识解决实际问题的能力命题意图：在复杂问题中，检测学生运用三角函数工具的灵活力，从而提升学生的思维能力。总之，以三角函数为载体或是工具，都能很好地检测学生的数学能力和对数学概念本身的理解程度，这是2008年三角函数中考题的显著特点，也必定是以后命题的主要方向，值得我们去认真思考，提高。