三角函数的图像与性质知识点及习题

-1-三角函数的图象与性质基础梳理1.三角函数的图象和性质函数性质y＝sinxy＝cosxy＝tanx定义域RR{x|x≠kπ＋π2，k∈Z}图象值域[－1,1][－1,1]R对称性对称轴：x＝kπ＋π2(k∈Z)；对称中心：(kπ，0)(k∈Z)对称轴：x＝kπ(k∈Z)___；对称中心：_(kπ＋π2，0)(k∈Z)__对称中心：_kπ2，0(k∈Z)周期2π_2ππ单调性单调增区间[2kπ－π2，2kπ＋π2](k∈Z)；单调减区间[2kπ＋π2，2kπ＋3π2](k∈Z)单调增区间[2kπ－π，2kπ](k∈Z)；单调减区间[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)_单调增区间_(kπ－π2，kπ＋π2)(k∈Z)奇偶性奇函数偶函数奇函数2.一般地对于函数f(x)，如果存在一个非零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期，把所有周期中存在的最小正数，叫做最小正周期(函数的周期一般指最小正周期)对函数周期性概念的理解周期性是函数的整体性质，要求对于函数整个定义域范围的每一个x值都满足f(x＋T)＝f(x)，其中T是-2-不为零的常数.如果只有个别的x值满足f(x＋T)＝f(x)，或找到哪怕只有一个x值不满足f(x＋T)＝f(x)，都不能说T是函数f(x)的周期.函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为π|ω|.3..求三角函数值域(最值)的方法：(1)利用sinx、cosx的有界性；关于正、余弦函数的有界性由于正余弦函数的值域都是[－1,1]，因此对于∀x∈R，恒有－1≤sinx≤1，－1≤cosx≤1，所以1叫做y＝sinx，y＝cosx的上确界，－1叫做y＝sinx，y＝cosx的下确界.(2)形式复杂的函数应化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式逐步分析ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响.(3)换元法：把sinx或cosx看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题．利用换元法求三角函数最值时注意三角函数有界性，如：y＝sin2x－4sinx＋5，令t＝sinx(|t|≤1)，则y＝(t－2)2＋1≥1，解法错误.5.求三角函数的单调区间时，应先把函数式化成形如y＝Asin(ωx＋φ)(ω0)的形式，再根据基本三角函数的单调区间，求出x所在的区间.应特别注意，应在函数的定义域内考虑.注意区分下列两题的单调增区间不同;利用换元法求复合函数的单调区间(要注意x系数的正负号)(同角基本关系式倒数关系商的关系平方关系tancot1sincsc1cossec1sinsectancoscsccoscsccotsinsec222222sincos11tansec1cotcsc同角基本关系式倒数关系商的关系平方关系tancot1sincsc1cossec1sinsectancoscsccoscsccotsinsec222222sincos11tansec1cotcsc诱导公式；奇变偶不变，符号看象限两角和与差的三角函数公式万能公式-3-sin()sincoscossinsin()sincoscossincos()coscossinsincos()coscossinsintantantan()1tantantantantan()1tantan2tan(/2)sin1tan2(/2)1tan2(/2)cos1tan2(/2)2tan(/2)tan1tan2(/2)二倍角的正弦、余弦和正切公式三倍角的正弦、余弦和正切公式sin22sincoscos2cos2sin22cos2112sin22tantan21tan2sin33sin4sin3cos34cos33cos.3tantan3tan313tan2三角函数的和差化积公式三角函数的积化和差公式sinsin2sincos22sinsin2cossin22coscos2coscos22coscos2sinsin221sincossin()sin()21cossinsin()sin()21coscoscos()cos()21sinsincos()cos()2化asinα±bcosα为一个角的一个三角函数的形式（辅助角的三角函数的公式）22sincossin()axbxabx其中角所在的象限由a、b的符号确定，角的值由tanba确定【点评】求三角函数的最值问题，主要有以下几种题型及对应解法．(1)y＝asinx＋bcosx型，可引用辅角化为y＝a2＋b2sin(x＋φ)(其中tanφ＝ba)．(2)y＝asin2x＋bsinxcosx＋ccos2x型，可通过降次整理化为y＝Asin2x＋Bcos2x＋C.(3)y＝asin2x＋bcosx＋c型，可换元转化为二次函数．(4)sinxcosx与sinx±cosx同时存在型，可换元转化．(5)y＝asinx＋bcsinx＋d(或y＝acosx＋bccosx＋d)型，可用分离常数法或由|sinx|≤1(或|cosx|≤1)来解决，也可化为真分式去求解．(6)y＝asinx＋bccosx＋d型，可用斜率公式来解决-4-三角函数的图像与性质热身练习:1．函数y＝cosx＋π3，x∈R()．A．是奇函数B．既不是奇函数也不是偶函数C．是偶函数D．既是奇函数又是偶函数2．函数y＝tanπ4－x的定义域为()．A.xx≠kπ－π4，k∈ZB.xx≠2kπ－π4，k∈ZC.xx≠kπ＋π4，k∈ZD.xx≠2kπ＋π4，k∈Z3．函数y＝sin(2x＋π3)的图象的对称轴方程可能是()A．x＝－π6B．x＝－π12C．x＝π6D．x＝π124．y＝sinx－π4的图象的一个对称中心是()．A．(－π，0)B.－3π4，0C.3π2，0D.π2，05．下列区间是函数y＝2|cosx|的单调递减区间的是()A.(0，π)B.－π2，0C.3π2，2πD.－π，－π26．已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)，其中φ为实数，若f(x)≤|f(π6)|对任意x∈R恒成立，且f(π2)f(π)，则f(x)的单调递增区间是()A．[kπ－π3，kπ＋π6](k∈Z)B．[kπ，kπ＋π2](k∈Z)C．[kπ＋π6，kπ＋2π3](k∈Z)D．[kπ－π2，kπ](k∈Z)7.函数f(x)＝3cosx2－π4x∈R的最小正周期为________．8..y＝2－3cosx＋π4的最大值为________，此时x＝_____________.9．函数y＝(sinx－a)2＋1，当sinx＝1时，y取最大值；当sinx＝a时，y取最小值，则实数______10．函数f(x)＝sin2x＋3sinxcosx在区间[π4，π2]上的最大值是.题型一与三角函数有关的函数定义域问题例1求下列函数的定义域：(1)y＝lgsin(cosx)；(2)y＝sinx－cosx.-5-变式训练1(1)求函数ylg(2sin1)tan1cos()28xxx的定义域；(2)求函数y122logtanxx的定义域.题型二、三角函数的五点法作图及图象变换例2已知函数f(x)＝4cosxsin(x＋π6)－1.(1)用五点法作出f(x)在一个周期内的简图；(2)该函数图象可由y＝sinx(x∈R)的图象经过怎样的平移变换与伸缩变换得到？题型三三角函数图象与解析式的相互转化例3函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(x∈R，A0，ω0,0φπ2)的部分图象如图所示．(1)求f(x)的解析式；(2)设g(x)＝[f(x－π12)]2，求函数g(x)在x∈[－π6，π3]上的最大值，并确定此时x的值．．(例4若方程3sinx＋cosx＝a在[0,2π]上有两个不同的实数根x1，x2，求a的取值范围，并求此时x1＋x2的值．例4已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R(其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜π2)的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为π2，且图象上一个最低点为M(2π3，－2)．(1)求f(x)的解析式；(2)将函数f(x)的图象向右平移π12个单位后，再将所得图象上各点的横坐标缩小到原来的12，纵坐标不变，得到y＝g(x)的图象，求函数y＝g(x)的解析式，并求满足g(x)≥2且x∈[0，π]的实数x的取值范围．-6-题型四、三角函数的奇偶性与周期性及应用例1已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，其中ω＞0，|φ|＜π2.(1)若cosπ4cosφ－sin3π4sinφ＝0，求φ的值；(2)在(1)的条件下，若函数f(x)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π3，求函数f(x)的解析式；并求最小正实数m，使得函数f(x)的图象向左平移m个单位后所对应的函数是偶函数．题型五三角函数的单调性与周期性例2写出下列函数的单调区间及周期：(1)y＝sin－2x＋π3；(2)y＝|tanx|.(2)已知函数f(x)＝4cosxsinx＋π6－1.①求f(x)的最小正周期；②求f(x)在区间－π6，π4上的最大值和最小值.题型六、三角函数的对称性与单调性及应用例2已知向量m＝(3sin2x－1，cosx)，n＝(1,2cosx)，设函数f(x)＝mn，x∈R.(1)求函数f(x)图象的对称轴方程；(2)求函数f(x)的单调递增区间．题型七三角函数的对称性与奇偶性例3(1)已知f(x)＝sinx＋3cosx(x∈R)，函数y＝f(x＋φ)|φ|≤π2的图象关于直线x＝0对称，则φ的值为________.(2)如果函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为()-7-A.π6B.π4C.π3D.π2变式训练3(1)已知函数f(x)＝sinx＋acosx的图象的一条对称轴是x＝5π3，则函数g(x)＝asinx＋cosx的最大值是()A.223B.233C.43D.263(2)若函数f(x)＝asinωx＋bcosωx(0ω5，ab≠0)的图象的一条对称轴方程是x＝π4ω，函数f′(x)的图象的一个对称中心是π8，0，则f(x)的最小正周期是________.题型八三角函数的值域与最值的求法及应用例3(1)求函数y＝2sinxcos2x1＋sinx的值域；(2)求函数y＝sinxcosx＋sinx＋cosx的最值；(3)若函数f(x)＝1cos24sin()2xx－asinx2·cos(π－x2)的最大值为2，试确定常数a的值．．例4已知函数f(x)＝sin2x＋acos2x(a∈R，a为常数)，且π4是函数y＝f(x)的一个零点．(1)求a的值，并求函数f(x)的最小正周期；(2)当x∈[0，π2]时，求函数f(x)的最大值和最小值及相应的x的值．-8-三角函数的图象与性质练习一一、选择题1．对于函数f(x)＝