三角恒等变换专题复习学案

1三角恒等变换【考情分析】三角函数是历年高考重点考察内容之一，三角恒等变换的考查，经常以选择与填空题的形式出现，还常在解答题中与其它知识结合起来考查，其中升幂公式、降幂公式、辅助角公式是考查的重点．在考查三角知识的同时，又考查用函数思想、数形结合思想解决问题的能力。【知识梳理】1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β，cos(α±β)＝cos_αcos_β∓sin_αsin_β，tan(α±β)＝tanα±tanβ1∓tanαtanβ.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式sin2α＝2sin_αcos_α，cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α，tan2α＝2tanα1－tan2α.3．有关公式的逆用、变形(1)tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tan_αtan_β)；(2)cos2α＝1＋cos2α2，sin2α＝1－cos2α2；(3)1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2,1－sin2α＝(sinα－cosα)2，sinα±cosα＝2sinα±π4.4．辅助角公式asinx＋bcosx＝a2＋b2sin(x＋φ)，其中sinφ＝ba2＋b2，cosφ＝aa2＋b2.【考题体验】1．(2013·江西高考)若sinα2＝33，则cosα＝()A．－23B．－13C.13D.23[来源:学.科.网Z.X.X.K]解析：选C因为sinα2＝33，所以cosα＝1－2sin2α2＝1－2×332＝13.[来源:学&科&网Z&X&X&K]2．（2014·高考课标卷）已知2sin23，则2cos()4（）A.16B.13C.12D.23解析：选A3．已知tanα－π6＝37，tanπ6＋β＝25，则tan(α＋β)的值为()A.2941B.129C.141D．1解析：选Dtan(α＋β)＝tanα－π6＋π6＋β＝tanα－π6＋tanπ6＋β1－tanα－π6·tanπ6＋β＝37＋251－37×25＝1.4．(2013·四川高考)设sin2α＝－sinα，α∈π2，π，则tan2α的值是________．解析：∵sin2α＝2sinαcosα＝－sinα，∴cosα＝－12，又α∈π2，π，∴sinα＝32，tanα＝－3，∴tan2α＝2tanα1－tan2α＝－231－－32＝3..Com]25．tan20°＋tan40°＋3tan20°tan40°＝________.解析：∵tan(20°＋40°)＝tan20°＋tan40°1－tan20°tan40°，∴3－3tan20°tan40°＝tan20°＋tan40°，即tan20°＋tan40°＋3tan20°tan40°＝3.【典型例题】考向一：求角问题例1：已知,(0,)且11tan(),tan27，求2的值.变式1：已知120tan.22210，=,cos(-)=,求的值考向二：三角函数的化简求值例2、(2013·重庆高考)4cos50°－tan40°＝()A.2;B.2＋32;C.3;D．22－1[解]4cos50°－tan40°＝4sin40°－sin40°cos40°＝4cos40°sin40°－sin40°cos40°＝2sin80°－sin40°cos40°＝2sin120°－40°－sin40°cos40°＝3cos40°＋sin40°－sin40°cos40°＝3cos40°cos40°＝3.【方法规律】1．三角函数式化简的原则三角函数式的化简要遵循“三看”原则，即一看角，二看名，三看式子结构与特征．即用转化与化归思想“去异求同”的过程，具体分析如下：（1）首先观察角与角之间的关系，用已知角表示未知角，角的变换是三角恒等变换的核心；（2）其次是看三角函数名称之间的关系，通常是常值代换或者切化弦；（3）再就是观察代数式的结构特点，合理的选择三角函数公式，化繁为简.2．解决给角求值问题的基本思路对于给角求值问题，往往所给角都是非特殊角，解决这类问题的基本思路有：(1)化为特殊角的三角函数值；(2)化为正、负相消的项，消去求值；[来源:学|科|网](3)化分子、分母出现公约数进行约分求值．变式2：(2014·嘉兴模拟)2cos10°－sin20°sin70°的值是()A.12B.32C.3D.2解析：选C原式＝2cos30°－20°－sin20°sin70°＝2cos30°·cos20°＋sin30°·sin20°－sin20°sin70°＝3cos20°cos20°＝3.考点三：三角函数的条件求值[来源:Z&xx&k.Com][例3](1)(2013·浙江高考)已知α∈R，sinα＋2cosα＝102，则tan2α＝()A.43B.34C．－34D．－43(2)(2013·广东高考)已知函数f(x)＝2cosx－π12，x∈R.3①求f－π6的值；②若cosθ＝35，θ∈3π2，2π，求f2θ＋π3.[解](1)法一：(直接法)两边平方，再同时除以cos2α，得3tan2α－8tanα－3＝0，tanα＝3或tanα＝－13，代入tan2α＝2tanα1－tan2α，得tan2α＝－34.法二：(猜想法)由给出的数据及选项的唯一性，记sinα＝310，cosα＝110，这时sinα＋2cosα＝102符合要求，此时tanα＝3，代入二倍角公式得到答案C.(2)①f－π6＝2cos－π6－π12＝2cos－π4＝2cosπ4＝1.②f2θ＋π3＝2cos2θ＋π3－π12＝2cos2θ＋π4＝cos2θ－sin2θ.因为cosθ＝35，θ∈3π2，2π，所以sinθ＝－45.所以sin2θ＝2sinθcosθ＝－2425，cos2θ＝cos2θ－sin2θ＝－725.所以f2θ＋π3＝cos2θ－sin2θ＝－725－－2425＝1725.【互动探究】保持本例(2)②条件不变，求fθ－π6的值．解：因为θ∈3π2，2π，cosθ＝35，所以sinθ＝－1－cos2θ＝－1－352＝－45.所以fθ－π6＝2cosθ－π6－π12＝2cosθ－π4＝2×22cosθ＋22sinθ＝cosθ＋sinθ＝35－45＝－15.【方法规律】三角函数求值的两种类型(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数．(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异．①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的．变式3：1．(2013·新课标全国卷Ⅱ)设θ为第二象限角，若tanθ＋π4＝12，则sinθ＋cosθ＝________.解法一由θ在第二象限，且tanθ＋π4＝12，故sinθ＋π4＝－55，故sinθ＋cosθ＝2sinθ＋π4＝－105.法二：如果将tanθ＋π4＝12利用两角和的正切公式展开，则tanθ＋11－tanθ＝12，求得tanθ＝－13.又因为θ在第二象限，则sinθ＝110，cosθ＝－310，从而sinθ＋cosθ＝－210＝－105.2．已知0＜β＜π2＜α＜π，且cosα－β2＝－19，sinα2－β＝23，求cos(α＋β)的值．解：∵0＜β＜π2＜α＜π，∴－π4＜α2－β＜π2，π4＜α－β2＜π，[来源:学+科+网]∴cosα2－β＝1－sin2α2－β＝53，sinα－β2＝1－cos2α－β2＝459，∴cosα＋β2＝cosα－β2－α2－β＝cosα－β2cosα2－β＋sinα－β2sinα2－β＝－19×53＋459×23＝7527，∴cos(α＋β)＝2cos2α＋β2－1＝2×49×5729－1＝－239729.考点四：三角变换的综合应用1．三角恒等变换是三角函数化简、求值、证明的主要依据．高考常与三角函数的其他知识相结合命题，题目难度适中，为中档题．2．高考对三角恒等变换综合问题的考查常有以下几个命题角度：(1)与三角函数的图象和性质相结合命题；4(2)与向量相结合命题；(3)与解三角形相结合命题．[例4](1)(2013·天津高考)已知函数f(x)＝－2sin2x＋π4＋6sinxcosx－2cos2x＋1，x∈R.①求f(x)的最小正周期；②求f(x)在区间0，π2上的最大值和最小值．(2)(2013·辽宁高考)设向量a＝(3sinx，sinx)，b＝(cosx，sinx)，x∈0，π2.①若|a|＝|b|，求x的值；②设函数f(x)＝a·b，求f(x)的最大值．[解](1)①f(x)＝－2sin2x·cosπ4－2cos2x·sinπ4＋3sin2x－cos2x＝2sin2x－2cos2x＝22sin2x－π4.所以f(x)的最小正周期T＝2π2＝π.②因为f(x)在区间0，3π8上是增函数，在区间3π8，π2上是减函数，又f(0)＝－2，f3π8＝22，fπ2＝2，故函数f(x)在0，π2上的最大值为22，最小值为－2.(2)①由|a|2＝(3sinx)2＋sin2x＝4sin2x，|b|2＝cos2x＋sin2x＝1，及|a|＝|b|，得4sin2x＝1.又x∈0，π2，从而sinx＝12，所以x＝π6.②f(x)＝a·b＝3sinxcosx＋sin2x＝32sin2x－12cos2x＋12＝sin2x－π6＋12，当x＝π3∈0，π2时，sin2x－π6取最大值1.所以f(x)的最大值为32.【方法规律】三角恒等变换综合应用问题的常见类型及解题策略(1)与三角函数的图象与性质相结合的综合问题．借助三角恒等变换将已知条件中的函数解析式整理为f(x)＝Asin(ωx＋φ)的形式，然后借助三角函数图象解决．(2)与向量相结合的综合问题．此类问题通常是先利用向量的运算转化为三角函数问题，然后再利用三角恒等变换转化为三角函数的图象与性质等问题解决．[来源:Zxxk.Com]变式4：1．已知平面向量a＝(sin2x，cos2x)，b＝(sin2x，－cos2x)，R是实数集，f(x)＝a·b＋4cos2x＋23sinxcosx，如果存在m∈R，任意的x∈R，f(x)≥f(m)，那么f(m)＝()A．2＋23B．3C．0D．2－23解析：选C依题意得f(x)＝sin4x－cos4x＋4cos2x＋3sin2x＝sin2x＋3cos2x＋3sin2x＝cos2x＋3sin2x＋2＝2sin2x＋π6＋2，因此函数f(x)的最小值是－2＋2＝0，即有f(m)＝0.2．已知x0，x0＋π2是函数f(x)＝cos2ωx－π6－sin2ωx(ω＞0)的两个相邻的零点．(1)求fπ12的值；(2)若对∀x∈－7π12，0，都有|f(x)－m|≤1，求实数m的取值范围．解：(1)f(x)＝1＋cos2ωx－π32－1－cos2ωx2＝12cos2ωx－π3＋cos2ωx＝1212cos2ωx＋32sin2ωx＋cos2ωx＝1232sin2ωx＋32cos2ωx＝3212sin2ωx＋32cos2ωx＝32sin2ωx＋π3.由题意可知，f(x)的最小正周期T＝π，∴2π|2ω|＝π，又∵ω＞0，∴ω＝1，∴f(x)＝32