【复习方略】2014高考数学(人教A版,理)课件(山东专供)第八章第五节曲线与方程

第五节曲线与方程1.曲线与方程一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系:(1)曲线上点的坐标都是_____________.(2)以这个方程的解为坐标的点都是___________.那么，这个方程叫做___________，这条曲线叫做___________.这个方程的解曲线上的点曲线的方程方程的曲线2.求动点的轨迹方程的基本步骤判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”).(1)f(x0,y0)=0是点P(x0,y0)在曲线f(x,y)=0上的充要条件.()(2)方程x2+xy=x的曲线是一个点和一条直线.()(3)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x2=y2.()(4)方程y=与x=y2表示同一曲线.()x【解析】(1)正确.由f(x0,y0)=0可知点P(x0,y0)在曲线f(x,y)=0上,又P(x0,y0)在曲线f(x,y)=0上时，有f(x0,y0)=0,∴f(x0,y0)=0是P(x0,y0)在曲线f(x,y)=0上的充要条件.(2)错误.方程变为x(x+y-1)=0,∴x=0或x+y-1=0,故方程表示直线x=0或直线x+y-1=0.(3)错误.当以两条互相垂直的直线为x轴、y轴时，是x2=y2,否则不正确.(4)错误.因为方程y=表示的曲线，只是方程x=y2表示曲线的一部分，故其不正确.答案：(1)√(2)×(3)×(4)×x1.方程y=表示的曲线是()(A)抛物线的一部分(B)双曲线的一部分(C)圆(D)半圆【解析】选D.因为y=,∴y≥0,∴x2+y2=9(y≥0)表示一个半圆.29x29x2.已知定点P(x0,y0)不在直线l:f(x,y)=0上，则方程f(x,y)-f(x0,y0)=0表示一条()(A)过点P且垂直于l的直线(B)过点P且平行于l的直线(C)不过点P但垂直于l的直线(D)不过点P但平行于l的直线【解析】选B.显然定点P(x0,y0)满足方程f(x,y)-f(x0,y0)=0，即直线f(x,y)-f(x0,y0)=0过点P，设直线l:f(x,y)=0的方程为Ax+By+C=0，即f(x,y)=Ax+By+C,∴f(x,y)-f(x0,y0)=0的方程为:Ax+By+C-(Ax0+By0+C)=0,∴Ax+By-Ax0-By0=0与l平行.综上可知：B正确.3.已知点P是直线2x-y+3=0上的一个动点，定点M(-1，2)，Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|=|MQ|，则Q点的轨迹方程是()(A)2x+y+1=0(B)2x-y-5=0(C)2x-y-1=0(D)2x-y+5=0【解析】选D.由题意知，M为PQ中点，设Q(x,y),则P点坐标为(-2-x,4-y),代入2x-y+3=0得2x-y+5=0.4.已知△ABC的顶点B(0,0)，C(5,0)，AB边上的中线长|CD|=3,则顶点A的轨迹方程为_______.【解析】设点A(x,y)，因为B(0,0)，所以AB的中点D(),又C(5,0),|CD|=3，所以化简得：(x-10)2+y2=36.又∵△ABC中的三点A，B，C不能共线，所以去掉点(4,0)和(16,0).答案：(x-10)2+y2=36(除去点(4,0)和(16,0))xy,2222xy(5)(0)3,22考向1利用直接法求轨迹方程【典例1】(1)(2012·江西高考改编)已知三点O(0，0)，A(-2，1)，B(2，1)，若曲线C上任意一点M(x,y)满足则曲线C的方程为_____.(2)已知直角坐标平面上的点Q(2,0)和圆C：x2+y2=1,动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数λ(λ＞0)，求动点M的轨迹方程.|MAMB|OM(OAOB)2，【思路点拨】(1)直接依据利用向量有关运算化简得x,y的方程.(2)可设出动点M的坐标，依据动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数λ(λ＞0)即可得出方程.|MAMB|OM(OAOB)2，【规范解答】(1)由=(-2-x,1-y),=(2-x,1-y),=(x，y)·(0,2)=2y,由已知得=2y+2,化简得曲线C的方程为x2=4y.答案：x2=4yMAMB22MAMB2x22y,OM(OAOB)222x22y(2)设直线MN切圆C于N点，则动点M的集合为：P={M||MN|=λ|MQ|}，因为圆C的半径|CN|=1,所以|MN|2=|MC|2-|CN|2=|MC|2-1，设点M的坐标为M(x,y)，则化简整理得：(λ2-1)(x2+y2)-4λ2x+1+4λ2=0(λ＞0).2222(xy)1(x2)y，【互动探究】本例题(2)中的条件不变，求动点M的轨迹.【解析】由例题解析可知：曲线的方程为(λ2-1)(x2+y2)-4λ2x+1+4λ2=0(λ0)，因为λ＞0,所以当λ=1时，方程化为4x-5=0,它表示一条直线;当λ≠1时，方程化为：它表示圆心为(,0),半径为的圆.2222222213(x)y1(1)，22212213|1|【拓展提升】1.直接法求曲线方程的一般步骤(1)建立恰当的坐标系，设动点坐标(x,y).(2)列出几何等量关系式.(3)用坐标条件变为方程f(x，y)=0.(4)变方程为最简方程.(5)检验，就是要检验点轨迹的纯粹性与完备性.2.直接法适合求解的轨迹类型(1)若待求轨迹上的动点满足的几何条件可转化为动点与一些几何量满足的等量关系，而该等量关系又易于表达成含x,y的等式时，一般用直接法求轨迹方程.(2)题目给出了等量关系，直接代入即可得方程.【变式备选】已知点M，N为两个定点，|MN|=6,且动点P满足=6，求点P的轨迹方程.PMPN【解析】以点M，N所在的直线为x轴，MN的中点O为坐标原点，建立平面直角坐标系，则M(-3,0)，N(3,0),设P(x,y)，则=(-3-x,-y)，=(3-x,-y),=(-3-x,-y)·(3-x,-y)，又因为=6,所以(-3-x,-y)·(3-x,-y)=6，化简整理得：x2+y2=15.PMPNPMPNPMPN考向2利用定义法求轨迹方程【典例2】(1)(2013·北京模拟)△ABC的顶点A(-5，0)，B(5，0)，△ABC的内切圆圆心在直线x=3上，则顶点C的轨迹方程是_______.(2)(2013·临沂模拟)已知A(-，0)，B是圆F：(x-)2+y2=4(F为圆心)上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于P，求动点P的轨迹方程.1212【思路点拨】(1)根据题设条件，寻找动点C与两定点A，B距离的差满足的等量关系|CA|-|CB|=6,由双曲线的定义得出所求轨迹为双曲线的一部分，再求其方程.(2)根据题设条件，寻找动点P与两点A，F距离的和满足的等量关系|PA|+|PF|=2，用定义法求方程.【规范解答】(1)如图，|AD|=|AE|=8，|BF|=|BE|=2,|CD|=|CF|,所以|CA|-|CB|=8-2=6.根据双曲线的定义，所求轨迹是以A，B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为=1(x3).答案：=1(x3)22xy91622xy916(2)如图，连接PA，依题意可知|PA|=|PB|.∴|PA|+|PF|=|PB|+|PF|=|BF|=21.∴P点轨迹为以A(-，0)，F(，0)为焦点，长半轴长为1的椭圆.其方程可设为又∵c=,a=1,∴b2=a2-c2=故P点的轨迹方程为x2+y2=1.1212222xy1.1b123.443【拓展提升】定义法适合所求轨迹的特点及求解关键(1)特点：求轨迹方程时，若动点与定点、定线间的等量关系满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可直接根据定义先确定轨迹类型，再写出其方程.(2)关键：理解解析几何中有关曲线的定义是解题关键.【提醒】利用定义法求轨迹方程时，还要看所求轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x或y进行限制.【变式训练】一动圆与圆x2+y2+6x+5=0外切，同时与圆x2+y2-6x-91=0内切，求动圆圆心M的轨迹方程，并说明它是什么曲线.【解析】如图所示，设动圆圆心M的坐标为(x,y)，半径为R，设已知圆的圆心分别为O1,O2,将圆的方程分别配方得：(x+3)2+y2=4,(x-3)2+y2=100，当动圆与圆O1相外切时，有|O1M|=R+2.①当动圆与圆O2相内切时，有|O2M|=10-R.②将①②两式相加，得|O1M|+|O2M|=12|O1O2|,∴动圆圆心M(x,y)到点O1(-3,0)和O2(3,0)的距离和是常数12,所以点M的轨迹是焦点为O1(-3,0),O2(3,0),长轴长等于12的椭圆.∴2c=6,2a=12,∴c=3,a=6,∴b2=36-9=27,∴圆心M的轨迹方程为=1,轨迹为椭圆.22xy3627考向3利用相关点(代入)法、参数法求轨迹方程【典例3】(1)(2012·辽宁高考改编)如图，椭圆C0:=1(ab0,a,b为常数)，动圆C1:x2+y2=t,bt1a.点A1,A2分别为C0的左、右顶点，C1与C0相交于A，B，C，D四点，则直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程为_______.2222xyab21(2)(2012·湖北高考改编)设A是单位圆x2+y2=1上的任意一点，l是过点A与x轴垂直的直线，D是直线l与x轴的交点，点M在直线l上，且满足|DM|=m|DA|(m0,且m≠1).当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C.求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标.【思路点拨】(1)由A，B点的对称性，可设出它们的坐标，根据直线方程的点斜式写出直线AA1，A2B的方程，由条件得到交点坐标满足的关系，消去所设参数得轨迹方程.(2)解答本题的关键是把点M的坐标设出，利用代入法求轨迹.【规范解答】(1)设A(x1,y1),B(x1,-y1),又知A1(-a,0),A2(a,0),则直线A1A的方程为y=(x+a),①直线A2B的方程为y=(x-a).②由①×②得y2=(x2-a2).③由点A(x1,y1)在椭圆C0上，故从而代入③得=1(x-a,y0).答案：=1(x-a,y0)11yxa11yxa21221yxa221122xy1.ab222112xyb(1),a2222xyab2222xyab(2)设M(x,y)，A(x0,y0),则由|DM|=m|DA|(m0,且m≠1),可得x=x0,|y|=m|y0|,所以x0=x,|y0|=①因为A点在单位圆上运动，所以x+y=1.②将①式代入②式即得所求曲线C的方程为x2+=1(m0,且m≠1).1y.m202022ym因为m∈(0,1)∪(1,+∞),所以当0m1时，曲线C是焦点在x轴上的椭圆，两焦点坐标分别为(-,0),(,0).当m1时，曲线C是焦点在y轴上的椭圆，两焦点坐标分别为(0，-)，(0，).21m21m2m12m1【拓展提升】1.相关点法(代入法)适用的轨迹类型及使用过程动点所满足的条件不易得出或转化为等式，但形成轨迹的动点P(x,y)却随另一动点Q(x′,y′)的运动而有规律地运动，而且动点Q的轨迹方程为给定的或容易求得的，则可先将x′，y′表示成x，y的式子，再代入Q的轨迹方程，整理化简即得动点P的轨迹方程.【提醒】用代入法求轨迹方程是将x′，y′表示成x，y的式子，同时注意x′，y′的限制条件.2.参数法适用的轨迹类型及使用过程有时求动点应满足的几何条件不易得出，也无明显的相关点，但却较易发现(或经分析可发现)这个动点的运动常常受到另一个或两个变量(斜率、比值、截距或坐标等)的制约，即动点坐标(x,y)中的x,y分别随另外变量的变化而变化，我们可称这些变量为参数，建立轨迹的参数方程，这种方法叫参数法，如果需要得到轨迹的方程，只要根据参数满足