【天津市新人教版数学2013届高三二轮专题复习测试八《算法框图复数推理与证明》

【KS5U】天津人教版数学高三专题八《算法、框图、复数、推理与证明》一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的。)1已知复数z＝1＋2ii5，则它的共轭复数z－等于()A．2－iB．2＋iC．－2＋iD．－2－i2．下面框图表示的程序所输出的结果是()A．1320B．132C．11880D．1213．若复数a＋3i1＋2i(a∈R，i是虚数单位)是纯虚数，则实数a的值为()A．－2B．4C．－6D．64．如图所示，输出的n为()A．10B．11C．12D．135．下列命题错误的是()A．对于等比数列{an}而言，若m＋n＝k＋S，m、n、k、S∈N*，则有am·an＝ak·aSB．点－π8，0为函数f(x)＝tan2x＋π4的一个对称中心C．若|a|＝1，|b|＝2，向量a与向量b的夹角为120°，则b在向量a上的投影为1D．“sinα＝sinβ”的充要条件是“α＋β＝(2k＋1)π或α－β＝2kπ(k∈Z)”6．已知正项等比数列{an}满足：a7＝a6＋2a5，若存在两项am、an，使得aman＝4a1，则1m＋4n的最小值为()A.32B.53C.256D．不存在7．二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是()A．a0B．a0C．a1D．a－18．观察等式：sin230°＋cos260°＋sin30°cos60°＝34，sin220°＋cos250°＋sin20°cos50°＝34和sin215°＋cos245°＋sin15°cos45°＝34，…，由此得出以下推广命题，则推广不正确的是()A．sin2α＋cos2β＋sinαcosβ＝34B．sin2(α－30°)＋cos2α＋sin(α－30°)cosα＝34C．sin2(α－15°)＋cos2(α＋15°)＋sin(α－15°)cos(α＋15°)＝34D．sin2α＋cos2(α＋30°)＋sinαcos(α＋30°)＝349．一次研究性课堂上，老师给出函数f(x)＝x1＋|x|(x∈R)，甲、乙、丙三位同学在研究此函数时分别给出命题：甲：函数f(x)的值域为(－1,1)；乙：若x1≠x2，则一定有f(x1)≠f(x2)；丙：若规定f1(x)＝f(x)，fn(x)＝f(fn－1(x))，则fn(x)＝x1＋n|x|对任意n∈N*恒成立你认为上述三个命题中正确的个数有()A．3个B．2个C．1个D．0个10．如果函数f(x)对任意的实数x，存在常数M，使得不等式|f(x)|≤M(x)恒成立，那么就称函数f(x)为有界泛函数，下面四个函数：①f(x)＝1;②f(x)＝x2；③f(x)＝(sinx＋cosx)x;④f(x)＝xx2＋x＋1.其中属于有界泛函数的是()A．①②B．①③C．②④D．③④11．观察下列算式：21＝2,22＝4,23＝8,24＝16,25＝32,26＝64,27＝128,28＝256，…用你所发现的规律得出22011的末位数字是()A．2B．4C．6D．812．如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n行有n个数且两端的数均为1n(n≥2)，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如11＝12＋12，12＝13＋16，13＝14＋112，…，则第10行第4个数(从左往右数)为()11121213161314112112141512013012015A.11260B.1840C.1504D.1360二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)13．请阅读下列材料：若两个正实数a1，a2满足a21＋a22＝1，那么a1＋a2≤2.证明：构造函数f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＝2x2－2(a1＋a2)x＋1.因为对一切实数x，恒有f(x)≥0，所以Δ≤0，从而得4(a1＋a2)2－8≤0，所以a1＋a2≤2.类比上述结论，若n个正实数满足a21＋a22＋…＋a2n＝1，你能得到的结论为________．14．如果一个复数的实部、虚部对应一个向量的横坐标、纵坐标，已知z1＝(1－2i)i对应向量为a，z2＝1－3i1－i对应向量为b，那么a与b的数量积等于________．15直角坐标系中横坐标、纵坐标均为整数的点称为格点，如果函数f(x)的图象恰好通过k(k∈N*)个格点，则称函数f(x)为k阶格点函数，下列函数：①f(x)＝sinx；②f(x)＝3π(x－1)2＋2；③f(x)＝14x；④f(x)＝log0.5x，其中是一阶格点函数的有________．16．设n为正整数，f(n)＝1＋12＋13＋…＋1n，计算得f(2)＝32，f(4)2，f(8)52，f(16)3，观察上述结果，可推测一般的结论为________．三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)(2011·华安、连城、永安、漳平、龙海、泉港六校联考)设命题p：命题f(x)＝x3－ax－1在区间[－1,1]上单调递减；命题q：函数y＝ln(x2＋ax＋1)的值域是R，如果命题p或q为真命题，p且q为假命题，求a的取值范围．18．(本小题满分12分)(2011·广东高州市长坡中学期末)复数z＝12－32i2是一元二次方程ax2＋bx＋1＝0(a，b∈R)的根．(1)求a和b的值；(2)若(a＋bi)u－＋u＝z(u∈C)，求u.19．(本小题满分12分)(2011·山东省实验中学)已知a0，命题p：函数y＝ax在R上单调递减，q：设函数y＝2x－2a，x≥2a2a，x2a，函数y1恒成立，若p∧q为假，p∨q为真，求a的取值范围．20．(本小题满分12分)(2011·北京学普教育中心)已知复数z1＝sin2x＋λi，z2＝m＋(m－3cos2x)i，λ、m、x∈R，且z1＝z2.(1)若λ＝0且0xπ，求x的值；(2)设λ＝f(x)，已知当x＝α时，λ＝12，试求cos4α＋π3的值．21．(本小题满分12分)(2011·山东临沂质检)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝BB1，AC1⊥平面A1BD，D为AC中点．(1)求证：B1C∥平面A1BD；(2)求证：B1C1⊥平面ABB1A1.22．函数f(x)＝lnx＋1ax－1a(a为常数，a0)．(1)若函数f(x)在区间[1，＋∞)内单调递增，求a的取值范围；(2)求函数f(x)在区间[1,2]上的最小值．.参考答案一．BACDCADAADDB13.a1＋a2＋…＋an≤n(n∈N*)14.315.①②16.f(2n)≥n2＋117.[解析]p为真命题⇔f′(x)＝3x2－a≤0在[－1,1]上恒成立⇔a≥3x2在[－1,1]上恒成立⇔a≥3，q为真命题⇔Δ＝a2－4≥0恒成立⇔a≤－2或a≥2.由题意p和q有且只有一个是真命题，p真q假⇔a≥3－2a2⇔a∈∅，p假q真⇔a3a≤－2或a≥2⇔a≤－2或2≤a3，综上所述：a∈(－∞，－2]∪[2,3)．18.[解析](1)由题得z＝－12－32i，因为方程ax2＋bx＋1＝0(a、b∈R)是实系数一元二次方程，所以它的另一个根为－12＋32i.由韦达定理知：－12－32i＋－12＋32i＝－ba－12－32i－12＋32i＝1a⇒a＝1b＝1.(2)由(1)知(1＋i)u－＋u＝－12－32i，设u＝x＋yi(x，y∈R)，则(1＋i)(x－yi)＋(x＋yi)＝－12－32i，得(2x＋y)＋xi＝－12－32i，∴2x＋y＝－12x＝－32，∴x＝－32y＝3－12，∴u＝－32＋23－12i.19.[解析]若p为真命题，则0a1，若q为真命题，即ymin1，又ymin＝2a，∴2a1，∴q为真命题时a12，又∵p∨q为真，p∧q为假，∴p与q一真一假．若p真q假，则0a≤12；若p假q真，则a≥1.故a的取值范围为0a≤12或a≥1.20、[解析](1)∵z1＝z2，∴sin2x＝mλ＝m－3cos2x，∴λ＝sin2x－3cos2x，若λ＝0则sin2x－3cos2x＝0得tan2x＝3，∵0xπ，∴02x2π，∴2x＝π3或2x＝4π3，∴x＝π6或2π3.(2)∵λ＝f(x)＝sin2x－3cos2x＝212sin2x－32cos2x＝2sin2x－π3，∵当x＝α时，λ＝12，∴2sin2α－π3＝12，∴sin2α－π3＝14，sinπ3－2α＝－14，∵cos4α＋π3＝cos22α＋π6－1＝2cos22α＋π6－1＝2sin2π3－2α－1，∴cos4α＋π3＝2×－142－1＝－78.21.[解析](1)证明：如图，连结AB1，设AB1∩A1B＝O，则O为AB1中点，连结OD，∵D为AC中点，在△ACB1中，有OD∥B1C.又∵OD⊂平面A1BD，B1C⊄平面A1BD，∴B1C∥平面A1BD.(2)证明：∵AB＝B1B，ABC－A1B1C1为直三棱柱，∴ABB1A1为正方形，∴A1B⊥AB1，又∵AC1⊥平面A1BD，A1B⊂平面A1BD，∵AC1⊥A1B，又∵AC1⊂平面AB1C1，AB1⊂平面AB1C1，AC1∩AB1＝A，∴A1B⊥平面AB1C1，又∵B1C1⊂平面AB1C1，∴A1B⊥B1C1.又∵A1A⊥平面A1B1C1，B1C1⊂平面A1B1C1，∴A1A⊥B1C1，∵A1A⊂平面ABB1A1，A1B⊂平面ABB1A1，A1A∩A1B＝A1，∴B1C1⊥平面ABB1A1.22.[解析]f′(x)＝ax－1ax2(x0)．(1)由已知得f′(x)≥0在[1，＋∞)上恒成立，即a≥1x在[1，＋∞)上恒成立，又∵当x∈[1，＋∞)时，1x≤1，∴a≥1，即a的取值范围为[1，＋∞)．(2)当a≥1时，∵f′(x)0在(1,2)上恒成立，f(x)在[1,2]上为增函数，∴f(x)min＝f(1)＝0，当0a≤12时，∵f′(x)0在(1,2)上恒成立，这时f(x)在[1,2]上为减函数，∴f(x)min＝f(2)＝ln2－12a.当12a1时，∵x∈[1，1a)时，f′(x)0；x∈(1a，2]时，f′(x)0，∴f(x)min＝f1a＝－lna＋1－1a.综上，f(x)在[1,2]上的最小值为①当0a≤12时，f(x)min＝ln2－12a；②当12a1时，f(x)min＝－lna＋1－1a.③当a≥1时，f(x)min＝0.