上海交通大学线性代数B类试卷

上海交通大学线性代数B类试卷一单项选择题（每题3分，共18分）1．设为实矩阵,则线性方程组只有零解是矩阵为正定矩阵的（）(A)充分条件；(B)必要条件；(C)充要条件；(D)无关条件。2．已知为四维列向量组，且行列式，，则行列式（）(A)40；(B)－16；(C)－3；(D)－40。3．设向量组线性无关，且可由向量组线性表示，则以下结论中不能成立的是（）(A)向量组线性无关；(B)对任一个，向量组线性相关；(C)存在一个，向量组线性无关；(D)向量组与向量组等价。4．已知为阶可逆矩阵（），交换的第1，2列得，为的伴随矩阵，则（）(A)交换的第1，2行得；(B)交换的第1，2行得；(C)交换的第1，2列得；(D)交换的第1，2列得。5．设为阶可逆矩阵，为的伴随矩阵，则（）(A)；(B)；(C)；(D)。6．设是方程组的基础解系，下列解向量组中也是的基础解系的是（）(A)；(B)；(C)；(D)。二填空题（每题3分，共18分）7.已知列向量是矩阵的对应特征值的一个特征向量。则＝，＝，＝。8．设维列向量，其中。已知矩阵可逆,且，则_________。9．已知实二次型正定，则常数的取值范围为________________。10．设矩阵，是中元素的代数余子式。已知，，且，则。11．设,，其中是非齐次线性方程组的解，已知为矩阵，且。则线性方程组的通解为。12．设，已知相似于对角阵，则=，=。三计算题（每题8分，共48分）13．设，计算阶行列式。14．设线性方程组为，试问取何值时，此线性方程组无解，有唯一解，有无穷多解？当其有无穷多解时，求其通解。15．设为4阶方阵，其中为4维列向量，且线性无关，。已知向量，试求线性方程组的通解。16．已知为阶矩阵，且满足，其中。求矩阵。17．已知；都是线性空间的基，，在基和下的坐标分别为和，且，其中：；。试求：(1)；(2)基（用线性表示）。18．设实二次型。求：正交变换，将化为标准型。四证明题（每题8分，共16分）19．设矩阵，试证明：(1)存在矩阵，使得的充分必要条件为秩；(2)若，矩阵，满足，则。20．设是阶矩阵,是的特征多项式。证明:矩阵可逆的充分必要条件为的特征值都不是的特征值。参考答案一选择题1.(C)2.(D)3.(B)4．(B)5.(A)6.(C)二填空题7．-1,-3,0；8.；9.；10．；11.；12.。三计算题13.。14.无解；唯一解；无穷多解，通解为。15.，线性无关，，解得。16．；。17．（1），（2）。18．；。四证明题19．(1)，有非零解；(2)若，只有零解，，所以，因此。20．设是矩阵的特征值，，则，于是，行列式故都不是的特征值。