【材力】8弯曲应力

材料力学基本概念纯弯曲正应力一般公式推导惯性矩计算一般正应力计算公式第6章弯曲应力（1）材料力学一、弯曲的几个基本概念1、弯曲梁的内力：剪力FS和弯矩M材料力学2、纯弯曲(purebending)━━梁或梁上的某段内各横截面上无剪力而只有弯矩，横截面上只有与弯矩对应的正应力。MeM材料力学3、横力弯曲(bendingbytransverseforce)━━梁的横截面上既有弯矩又有剪力；相应地，横截面既有正应力又有切应力。FCSFMFMFAC材料力学纯弯曲——只有弯矩，剪力为零横力弯曲——既有弯矩，又有剪力平面弯曲aFAaFBFFFaF材料力学4、平面弯曲变形分析梁变形后轴线所在平面与外力所在平面相重合。梁变形后的轴线与外力在同一平面内FAAF1F2B对称轴纵向对称面FB材料力学材料力学实验现象的观察与分析mmnnFF1、变形前互相平行的纵向直线、变形后变成弧线，且凹边纤维缩短、凸边纤维伸长。2、变形前垂直于纵向线的横向线,变形后仍为直线，且仍与弯曲了的纵向线正交，但两条横向线间相对转动了一个角度。材料力学中性轴：中性层与横截面的交线称为中性轴。平面假设：变形前杆件的横截面变形后仍为平面。中性层中性轴m1onn2om材料力学二、纯弯曲梁的正应力公式推导公式推导方法：属于超静定问题，研究其变形情况，进行假设，从变形几何关系、物理关系和静力平衡关系三方面研究。材料力学1.弯曲前画在梁的侧面上相邻横向线mm和nn间的纵向直线段aa和bb(图b)，在梁弯曲后成为弧线(图a)，靠近梁的顶面的线段aa缩短，而靠近梁的底面的线段bb则伸长；材料力学2.相邻横向线mm和nn(图b)在梁弯曲后仍为直线(图a)，只是相对旋转了一个角度，且与弧线aa和bb保持正交。材料力学根据表面变形情况，并设想梁的侧面上的横向线mm和nn是梁的横截面与侧表面的交线，可作出如下推论(假设)：平面假设梁在纯弯曲时，其原来的横截面仍保持为平面，只是绕垂直于弯曲平面(纵向平面)的某一轴转动，转动后的横截面与梁弯曲后的轴线保持正交。此假设已为弹性力学的理论分析结果所证实。材料力学横截面的转动使梁凹入一侧的纵向线缩短，凸出一侧的纵向线伸长，从而根据变形的连续性可知，中间必有一层纵向线只弯曲而无长度改变的中性层(图f)，而中性层与横截面的交线就是梁弯曲时横截面绕着它转动的轴━━中性轴(neutralaxis)。（f)材料力学•从三方面考虑：变形几何关系物理关系静力学关系(1)几何方面mabmanbnmmnnaabb材料力学材料力学yOOBBABBB21111dd21xOOd)(yAB——中性层的曲率半径CABO1O2B1d}dxmmnnaabb材料力学(2)物理方面——单轴应力状态下的胡克定律不计挤压，即认为梁内各点均处于单轴应力状态。当p，且拉、压弹性模量相同时，有yyEE即直梁的横截面上的正应力沿垂直于中性轴的方向按直线规律变化。zOyzdAdAyxM材料力学(3)静力学方面━━藉以找出确定中性轴位置的条件以及横截面上正应力的计算公式。MAyMAzd梁的横截面上与正应力相应的法向内力元素dA(图d)不可能组成轴力()，也不可能组成对于与中性轴垂直的y轴(弯曲平面内的轴)的内力偶矩()，只能组成对于中性轴z的内力偶矩，即0dNAAF0dAyAzM(d)材料力学将代入上述三个静力学条件，有yE0ddNzAAESAyEAF(a)0ddyzAAyEIAyzEAzM(b)MEIAyEAyMzAAzdd2(c)以上三式中的Sz，Iyz，Iz都是只与截面的形状和尺寸相关的几何量，统称为截面的几何性质，而材料力学其中为截面对于z轴的静矩(staticmomentofanarea)或一次矩，其单位为m3。AzAySd为截面对于y轴和z轴的惯性积，其单位为m4。AyzAyzId为截面对于z轴的惯性矩(momentofineritaofanarea)或二次轴矩，其单位为m4。AzAyId2材料力学由于式(a)，(b)中的不可能等于零，因而该两式要求：E1.横截面对于中性轴z的静矩等于零，；显然这是要求中性轴z通过横截面的形心；0dAAy2.横截面对于y轴和z轴的惯性积等于零，；在对称弯曲情况下，y轴为横截面的对称轴，因而这一条件自动满足。0dAAyz0ddNzAAESAyEAF(a)0ddyzAAyEIAyzEAzM(b)MEIAyEAyMzAAzdd2(c)材料力学由式(c)可知，直梁纯弯曲时中性层的曲率为上式中的EIz称为梁的弯曲刚度。显然，由于纯弯曲时，梁的横截面上的弯矩M不随截面位置变化，故知对于等截面的直梁包含在中性层内的那根轴线将弯成圆弧。zEIM1将上式代入得出的式子即得弯曲正应力计算公式：yE(c)MEIAyEAyMzAAzdd2材料力学yEEzEIM1弯曲正应力计算公式zIMyzOyzdAdAyxM材料力学中性轴z为横截面的对称轴时zIMymaxmax称为弯曲截面系数maxyIMzzWMyzzybh横截面上的正应力分布材料力学中性轴z不是横截面的对称轴时(参见图c)，其横截面上最大拉应力值和最大压应力值为zIMymax,tmaxt,zIMymaxc,maxc,中性轴z不是横截面的对称轴时材料力学三、常见截面的惯性矩计算平行移轴公式1、简单截面对于形心轴的惯性矩和弯曲截面系数计算材料力学(1)矩形截面12dd32222bhybyAyIhhAz622bhhIWzz12dd32222hbzhzAzIbbAy622hbbIWyy材料力学(2)圆截面在等直圆杆扭转问题中已求得：32πd42pdAIA32πddd4222pdIIAzAyAIyzAAAzoyyzdAd而由图可见，ρ2=y2+z2,从而知材料力学而弯曲截面系数为64π24pdIIIyz32π223ddIdIWWyzyz根据对称性可知，原截面对于形心轴z和y的惯性矩Iz和Iy是相等的，Iz=Iy，于是得zoyyzdAd材料力学(3)空心圆截面由于空心圆截面的面积Ａ等于大圆的面积AD减去小圆(即空心部分)的面积Ad故有4444442222164π64π64π64πddddDdDdDAyAyAyAyIdDdDAAAAAz式中，。DddOyzD材料力学根据对称性可知：思考：空心圆截面对于形心轴的惯性矩就等于大圆对形心轴的惯性矩减去小圆对于形心轴的惯性矩；但空心圆截面的弯曲截面系数并不等于大圆和小圆的弯曲截面系数之差，为什么？zyzyWWII,43132π2DDIWzz而空心圆截面的弯曲截面系数为dOyzD材料力学型钢截面及其几何性质：参见型钢表需要注意的是，型钢规格表中所示的x轴是我们所标示的z轴。同时需要注意比较其惯性矩与其截面面积的比值大小，它反映了构件承载能力。材料力学2、组合截面的惯性矩计算：n1iizzn1iin1iiIIIIIIyyxx，，材料力学平行移轴定理CdAxCyCabyxxCyC已知：、、，形心在xOy坐标系下的坐标(b，a)，求Ix、Iy、IxyCxICyICCyxIA2xdAyIA2CC2A2CdA)yay2a(dA)ya(A2CACA2dAydAya2dAaAaII2xxCAbII2yyC同理：CxA2CACAIdAy0dAyAdA，，xOyAaIICxxbycy材料力学例求图示T型截面对形心轴的惯性矩。303055CC2C1y221y1zC1zC2求T形截面对形心轴的惯性矩先求形心的位置：取参考坐标系如图，则：iiiCCAyAy0zmm75.23AAyAyA212211即截面的形心轴。、CCzy再求截面对形心轴的惯性矩：433ymm115601230512530IC4222Cz121Cz222z121zzmm34530]A)yy(I[]A)yy(I[)AaI()AaI(I2C1C2C1CC由平行移轴定理得：yCzyCzC材料力学四、纯弯曲理论的推广---一般弯曲正应力计算公式工程中实际的梁大多发生横力弯曲，此时梁的横截面由于切应力的存在而发生翘曲(warping)。此外，横向力还使各纵向线之间发生挤压(bearing)。因此，对于梁在纯弯曲时所作的平面假设和纵向线之间无挤压的假设实际上都不再成立。但弹性力学的分析结果表明，受满布荷载的矩形截面简支梁，当其跨长与截面高度之比大于5时，梁的跨中横截面上按纯弯曲理论算得的最大正应力其误差不超过1%，故在工程应用中就将纯弯曲时的正应力计算公式用于横力弯曲情况，即hlzzWxMIyxM)(,)(max材料力学例题4-15图a所示简支梁由56a号工字钢制成，其截面简化后的尺寸见图b。已知F=150kN。试求危险截面上的最大正应力max和同一横截面上翼缘与腹板交界处a点处(图b)的正应力a。材料力学在不考虑梁的自重()的情况下，该梁的弯矩图如图所示，截面C为危险截面，相应的最大弯矩值为mkN041.1mkN3754m10kN1504maxFlM解：（1）计算内力---弯矩材料力学由型钢规格表查得56a号工字钢截面3cm2342zW4cm65586zIMPa160m102342mN10375363maxmaxzWMMPa148m1065586m021.02m56.0mN10375483maxzaaIyM于是有（3）危险截面上点a处的正应力（2）计算最大正应力材料力学MPa148MPa1602m56.0m021.02m56.0maxmaxyyaa该点处的正应力a亦可根据直梁横截面上的正应力在与中性轴z垂直的方向按直线变化的规律，利用已求得的该横截面上的max=160MPa来计算：材料力学显然，梁的自重引起的最大正应力仅为而危险截面上的最大正应力变为MPa7.165Pa107.165m102342mN103886363maxMPa7.5MPa1607.165远小于外加荷载F所引起的最大正应力。mkN388mkN13mkN375842maxqlFlM如果考虑梁的自重(q=1.041kN/m)则危险截面未变，但相应的最大弯矩值变为材料力学梁的正应力强度条件等直梁横截面上的最大正应力发生在最大弯矩所在横截面上距中性轴最远的边缘处，而且在这些边缘处，即使是横力弯曲情况，由剪力引起的切应力也等于零或其值很小(详见下节)，至于由横向力引起的挤压应力可以忽略不计。因此可以认为梁的危险截面上最大正应力所在各点系处于单轴应力状态。于是可按单向应力状态下的强度条件形式来建立梁的正应力强度条件：max式中，[]为材料的许用弯曲正应力。材料力学对于中性轴为横截面对称轴的梁，上述强度条件可写作zWMmax由拉、压许用应力[t]和[c]不相等的铸铁等脆性材料制成的梁，为充分发挥材料的强度，其横截面上的中性轴往往不是对称轴，以尽量使梁的最大工作拉应力t,max和最大工作压应力c,max分别达到(或接近)材料的许用拉应力[t]和许用压应力[c]。材料力学(a)(b)例题4-17图a所示工字钢制成的梁，其计算简图可取为如图b所示的简支梁。钢的许用弯曲正应力[]=152MPa。试选择工字钢的号码。材料力学解：在不计梁的自重的情况下，弯矩图如图所示mkN375maxM材料力学强度条件要求：zWMmax