上海市闸北区2010届高三数学

上海市闸北区2010届高三数学（理）学科模拟考试卷（2010.4）一、填空题（本题满分55分）本大题共有11题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得5分，否则一律得零分．1.若在行列式31214053a中，元素a的代数余子式的值是.2.已知a是实数，1aii是纯虚数，则a.3．在极坐标系中，点3,2P到圆cos2的圆心的距离是________．4.函数])2,0[(2cos2sinxxxy　的值域为.5．若无穷等比数列{}na的各项和等于21a，则1a的取值范围是.6.在C2.20，细菌受到%5的消毒溶液消毒，每小时细菌的死亡率为%11．在此环境在对一批消毒对象进行消毒，要使细菌的存活率低于原来的%5，消毒时间最少为小时.（结果四舍五入精确到1小时）7．如图所示，AOBRt绕直角边AO所在直线旋转一周形成一个圆锥，已知在空间直角坐标系xyzO中，点)0,0,2(和点)1,2,0(均在圆锥的母线上，则圆锥的体积为.8．设曲线C定义为到点)1,1(和)1,1(距离之和为4的动点的轨迹．若将曲线C绕坐标原点逆时针旋转45，则此时曲线C的方程为_____________．[来源:学科网ZXXK]9．已知甲盒内有外形和质地相同的1个红球和2个黑球，乙盒内有外形和质地相同的2个红球和2个黑球．现从甲、乙两个盒内各任取1个球．设为取出的2个球中红球的个数，则的数学期望E_________．10.已知向量ba，1||b，对任意Rt，恒有||bta||ba.现给出下列四个结论：①ba//；②ba；③)(baa，④)(bae.则正确的结论序号为_____________．（写出你认为所有正确的结论序号）11．设双曲线)0,0(12222babyax的半焦距为c．已知原点到直线l：abaybx的距离等于141c，则c的最小值为_________．二、选择题（本题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律得零分.12．设函数)12(l2)(xgxf，则)0(1f的值为【】A．0B．1C．10D．不存在13．已知mx)6cos(，则)3cos(cosxx【】A．m2B．m2C．m3D．m314．将正三棱柱截去三个角（如图1所示A、B、C分别是GHI三边的中点）得到的几何体如图2，则按图2所示方向侧视该几何体所呈现的平面图形为【】15．已知方程)0(0)]([222222abbabxkaxb的根大于a，则实数k满足【】A．abk||B．abk||C．bak||D．bak||三、解答题（本题满分75分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤．16.（满分12分）本题有2小题，第1小题5分，第2小题7分．设Rx，||)21()(xxf.（1）请在所给的平面直角坐标系中画出函数)(xf的大致图像；（2）若不等式kxfxf)2()(对于任意的Rx恒成立，求实数k的取值范围.17．（满分14分）本题有2小题，第1小题7分，第2小题7分．如图，在平行六面体1111DCBAABCD中，1AD，2CD，DA1平面ABCD，1AA与底面ABCD所成角为，2ADC．（1）若45，求直线CA1与该平行六面体各侧面所成角的最大值；（2）求平行六面体1111DCBAABCD的体积V的取值范围．18．（满分14分）本题有2小题，第1小题6分，第2小题8分．某企业去年年底给全部的800名员工共发放2000万元年终奖，该企业计划从今年起，10年内每年发放的年终奖都比上一年增加60万元，企业员工每年净增a人．[来源:学|科|网Z|X|X|K][来源:学&科&网]（1）若9a，在计划时间内，该企业的人均年终奖是否会超过3万元？[来源:Zxxk.Com]（2）为使人均年终奖年年有增长，该企业每年员工的净增量不能超过多少人？19．（满分16分）本题有2小题，第1小题6分，第2小题10分．如图，平面上定点F到定直线l的距离2||FM，P为该平面上的动点，过P作直线l的垂线，垂足为Q，且2||21QFFQPQ．[来源:Zxxk.Com]（1）试建立适当的平面直角坐标系，求动点P的轨迹C的方程；（2）过点F的直线交轨迹C于A、B两点，交直线l于点N，已知AFNA1，BFNB2，求证：21为定值．20．（满分19分）本题有3小题，第1小题5分，第2小题5分，第3小题9分．已知定义在R上的函数)(xf和数列{}na满足下列条件：aa1，12aa，当Nn且2n时，)(1nnafa且)()()(11nnnnaakafaf．其中a、k均为非零常数．（1）若数列{}na是等差数列，求k的值；（2）令nnnaab1)(Nn，若11b，求数列{}nb的通项公式；（3）试研究数列{}na为等比数列的条件，并证明你的结论．说明：对于第3小题，将根据写出的条件所体现的对问题探究的完整性，给予不同的评分。闸北区2009学年度第一学期高三数学（理科）2010.4一、1.2；2.1；3．3；4.]2,1[；5．),1()1,21(；6.26；7．316；8．12422xy；9．65；10.④；11．4.二、12．B；13．C；14．A；15．A．三、16.（1）（2）||)21()(xxf，||2)21()2(xxf………………………………………1分[来源:学,科,网Z,X,X,K]对于任意Rx，kxx||2||)21()21(恒成立.令]1,0()21(||tx，则tty2（10t）………………………3分对称轴21t，则当1t时，2maxy，………………………………2分所以2k即可.……………………………………………………………1分17．（1）由平行六面体的性质，知直线CA1与该平行六面体各侧面所成角的大小有两个，其一是直线CA1与侧面DDAA11所成角的大小，记为；其二是直线CA1与侧面BBAA11所成角的大小，记为．45，90ADC，即ADCD又DA1平面ABCD，DACD1CD平面DDAA11，所以，DCA1即为所求．……………………………2分所以，2arctan………………………………1分分别以DA，DC，1DA为x，y，z轴建立空间直角坐标系xyzO，可求得)1,2,0(1CA，侧面BBAA11的法向量)1,0,1(n，所以，CA1与n所在直线的夹角为1010arccos1010arccos90或1010arcsin．所以，直线CA1与侧面BBAA11所成角的大小为1010arccos90或1010arcsin．…3分综上，直线CA1与该平行六面体各侧面所成角的最大值为2arctan．…………1分（2）由已知，有tan1DA，…………………………………………………1分由面积公式，可求四边形ABCD的面积为2sin2，…………………………………2分[来源:Z*xx*k.Com]平行六面体1111DCBAABCD的体积2sin4tan2sin2V．……………2分所以，平行六面体1111DCBAABCD的体积V的取值范围为)4,0(．……………2分18．（1）设从今年起的第x年（今年为第1年）该企业人均发放年终奖为y万元．则)101,(800602000*xNxaxxy；………………………………………4分解法一：由题意，有310800602000xx，…………………………………………1分解得，10340x．………………………………………………………………1分所以，该企业在10年内不能实现人均至少3万元年终奖的目标．……………1分解法二：由于101,*xNx，所以01080040030310800602000xxxx…2分所以，该企业在10年内不能实现人均至少3万元年终奖的目标．……………1分（2）解法一：设10121xx，则)()(12xfxf22800602000axx11800602000axx0)800)(800())(200080060(1212axaxxxa，………………………………4分所以，0200080060a，得24a．………………………………………2分所以，为使人均发放的年终奖年年有增长，该企业员工每年的净增量不能超过23人．……………………………………………………………………………………1分解法二：)808060200060(1)800(8006080060602000800602000axaaaxaaaxaxxy[来源:Z|xx|k.Com]……………………………………………………………………………………4分由题意，得0800602000a，解得24a．……………………………2分所以，为使人均发放的年终奖年年有增长，该企业员工每年的净增量不能超过23人．……………………………………………………………………………………1分19．（1）方法一：如图，以线段FM的中点为原点O，[来源:学科网]以线段FM所在的直线为y轴建立直角坐标系xOy．则，)1,0(F．……………………………2分设动点P的坐标为),(yx，则动点Q的坐标为)1,(x)1,(yxPF，)1,0(yPQ，…………2分由2||21QFFQPQ，得)4(21)1(22xy，…2分方法二：由2||21FQQFQP得，||||PFPQ．…………………………2分所以，动点P的轨迹C是抛物线，以线段FM的中点为原点O，以线段FM所在的直线为y轴建立直角坐标系xOy，可得轨迹C的方程为：yx42．…………………………………………………………4分（2）方法一：如图，设直线AB的方程为1kxy，),(11yxA，),(22yxB，……1分则)1,2(kN.……………………………………………………………………………1分联立方程组,1,42kxyyx消去y得，0442kxx，016)4(2k，故…………………………………………1分.4,42121xxkxx……………………………………………………………………………1分由AFNA1，BFNB2得，1112xkx，2222xkx，……………………………………………………2分整理得，1121kx，2221kx，0442222)11(2221212121kkxxxxkxxk.…………………4分方法二：由已知AFNA1，BFNB2，得021.…………………2分于是，||||||||21BFAFNBNA，①…………………………………………………3分[来源:Z|xx|k.Com]如图，过A、B两点分别作准线l的垂线，垂足分别为1A、1B，则有.||||||||||||11BFAFBBAANBNA②…………………………………………………3分由①，②得021.…………………………………………………………………2分20．（1）由已知)(1nnafa，)()()(11nnnnaakafaf),4,3,2(n，得nnaa1)()()(11nnnnaakafaf),4,3,2(n由数列{}na是等差数列，得nnaa11nnaa),4,3,2(n所以，1nnaa)(1nnaak，),4,3,2(n，得1k．…