【非常学案】2014-2015学年高中数学人教B版选修2-1配套课件314空间向量的直角坐标运算

服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单数学[RB·选修2-1]教学教法分析课前自主导学当堂双基达标易错易误辨析课堂互动探究课后知能检测教师备课资源3．1.4空间向量的直角坐标运算服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单数学[RB·选修2-1](教师用书独具)●三维目标1.知识与技能了解空间向量坐标的定义，掌握向量的加法、减法、数乘和数量积的坐标运算，会利用向量的坐标关系判定向量的平行与垂直．服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单数学[RB·选修2-1]2．过程与方法通过类比、推广等思想方法，启动观察、分析、抽象概括等思维活动，培养学生的思维能力，体会类比、推广的思想方法，对向量加深理解．3．情感、态度与价值观通过本节课的学习，养成积极主动思考，勇于探索，不断拓展创新的学习习惯和品质．服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单数学[RB·选修2-1]●重点难点重点：空间向量的加法、减法、数乘和数量积的坐标运算．难点：空间向量坐标的定义及应用．服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单数学[RB·选修2-1]课标解读1.了解空间向量坐标的定义．2．掌握向量的加法、减法、数乘和数量积的坐标运算．(重点)3．会利用向量的坐标关系判定向量的平行与垂直．(重点)服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单数学[RB·选修2-1]空间向量坐标的定义【问题导思】如图3－1－33，已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为4，在AB，AD，AD1上分别取单位向量e1，e2，e3.图3－1－33服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单数学[RB·选修2-1]1．e1，e2，e3共面吗？【提示】不共面．2．试用e1，e2，e3表示AB1→.【提示】AB1→＝4e1＋4e2＋4e3.3．若M为A1B1的中点，能否用e1，e2，e3表示AM→？【提示】能.AM→＝4e1＋2e2＋4e3.服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单数学[RB·选修2-1]1．建立空间直角坐标系Oxyz，分别沿x轴，y轴，z轴的正方向引单位向量i，j，k，这三个互相垂直的单位向量构成空间向量的一个基底{i，j，k}，这个基底叫做．单位向量i，j，k都叫做．2．在空间直角坐标系中，已知任一向量a，根据空间向量分解定理，存在唯一实数组(a1，a2，a3)，使得a＝a1i＋a2j＋a3k，a1i、a2j、a3k分别为向量a在i、j、k方向上的分向量，有序实数组(a1，a2，a3)叫做向量a在此直角坐标系中的坐标．上式可简记作a＝(a1，a2，a3)．单位正交基底坐标向量服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单数学[RB·选修2-1]空间向量运算的坐标表示及平行、垂直的条件【问题导思】1．已知向量a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，如何表示a＋b，a－b，λa，a·b?【提示】a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2)，a－b＝(a1－b1，a2－b2)，λa＝(λa1，λa2)，a·b＝a1b1＋a2b2.2．如果a∥b(b≠0)，则a、b坐标满足什么关系？【提示】a∥b⇔a1＝λb1，a2＝λb2.服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单数学[RB·选修2-1]1.空间向量运算的坐标表示设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，向量运算坐标表示加法a＋b＝减法a－b＝数乘λa＝数量积a·b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)(a1－b1，a2－b2，a3－b3)(λa1，λa2，λa3)a1b1＋a2b2＋a3b3一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的的坐标减去的坐标．终点起点服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单数学[RB·选修2-1]2．空间向量平行和垂直的条件a∥b(b≠0)⇔.a∥b⇔.a⊥b⇔.a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3a1b1＝a2b2＝a3b3(b与三个坐标平面都不平行)a1b1＋a2b2＋a3b3＝0服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单数学[RB·选修2-1]两个向量的夹角与向量长度的坐标计算公式1．两向量的夹角公式设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则|a|＝a·a＝.cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝.2．向量长度的计算公式设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则|AB→|＝a21＋a22＋a23a1b1＋a2b2＋a3b3a21＋a22＋a23·b21＋b22＋b23x2－x12＋y2－y12＋z2－z12服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单数学[RB·选修2-1]空间向量的坐标运算已知空间四点A、B、C、D的坐标分别是(－1,2,1)，(1,3,4)，(0，－1,4)，(2，－1，－2)，若p＝AB→，q＝CD→.求(1)p＋2q；(2)3p－q；(3)(p－q)·(p＋q)．【思路探究】先利用向量的加减运算求出AB→，CD→，再利用数乘运算及坐标运算求解．服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单数学[RB·选修2-1]【自主解答】p＝AB→＝(1,3,4)－(－1,2,1)＝(2,1,3)，q＝CD→＝(2，－1，－2)－(0，－1,4)＝(2,0，－6)，(1)p＋2q＝(2,1,3)＋(4,0，－12)＝(6,1，－9)．(2)3p－q＝(6,3,9)－(2,0，－6)＝(4,3,15)．(3)(p－q)·(p＋q)＝|p|2－|q|2＝(22＋12＋32)－(4＋36)＝－26.服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单数学[RB·选修2-1]1．一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标．2．空间向量进行坐标运算的规律是首先进行数乘运算，再进行加法或减法运算，最后进行数量积运算，先算括号里，后算括号外．服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单数学[RB·选修2-1]已知A，B，C三点的坐标分别为A(3，－2,3)，B(2,1，－1)，C(－1,0,3)，求点D的坐标(O为坐标原点)，使(1)OD→＝12(AB→－AC→)．(2)AD→＝12(AB→－AC→)．服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单数学[RB·选修2-1]【解】因为A(3，－2,3)，B(2,1，－1)，C(－1,0,3)，所以AB→(－1,3，－4)，AC→(－4,2,0)，(1)OD→＝12(AB→－AC→)＝12(3,1，－4)，＝32，12，－2，故点D的坐标为32，12，－2.服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单数学[RB·选修2-1](2)设点D的坐标为(x，y，z)，则AD→＝(x－3，y＋2，z－3)，由(1)知AD→＝(x－3，y＋2，z－3)＝32，12，－2，即x－3＝32，y＋2＝12，z－3＝－2.解得x＝92，y＝－32，z＝1.即D92，－32，1.服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单数学[RB·选修2-1]利用坐标运算解决平行与垂直问题已知A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)，设a＝AB→，b＝AC→.(1)若|c|＝3，c∥BC→，求c.(2)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k的值．【思路探究】BC→的坐标为多少？由c∥BC→，如何设出c的坐标．服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单数学[RB·选修2-1]【自主解答】(1)由题意可知BC→＝(－2，－1,2)，又c∥BC→，设c＝(－2λ，－λ，2λ)，则|c|＝－2λ2＋－λ2＋2λ2＝3|λ|＝3，所以λ＝±1，所以c＝(－2，－1,2)或c＝(2,1，－2)．(2)由题意可知，a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，所以ka＋b＝(k－1，k,2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4)，又(ka＋b)⊥(ka－2b)，所以(ka＋b)·(ka－2b)＝0，所以(k－1，k,2)·(k＋2，k，－4)＝k2＋k－2＋k2－8＝0，即2k2＋k－10＝0，所以k＝2或k＝－52.服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单数学[RB·选修2-1]向量平行与垂直问题的三种题型题型1：空间向量平行与垂直的判断利用空间向量平行与垂直的条件进行判断．题型2：利用平行与垂直求参数或其他问题即平行与垂直的应用，解题时要注意：①适当引入参数(比如向量a，b平行，可设a＝λb)，建立关于参数的方程；②最好选择坐标形状，以达到简化运算的目的．服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单数学[RB·选修2-1]题型3：利用向量坐标处理空间中的平行与垂直①向量化：将空间中的垂直与平行转化为向量的垂直与平行；②向量关系代数化：写出向量的坐标；③求解：利用向量的坐标运算列出关系式求解．服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单数学[RB·选修2-1]若a＝(1,5，－1)，b＝(－2,3,5)，(1)若ka＋b与a－3b共线，求k；(2)若ka＋b与a－3b垂直，求k.服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单数学[RB·选修2-1]【解】ka＋b＝(k－2,5k＋3，－k＋5)，a－3b＝(7，－4，－16)，(1)∵两向量共线，∴k－27＝5k＋3－4＝－k＋5－16，∴k＝－13.(2)∵(ka＋b)⊥(a－3b)，∴(k－2)×7＋(5k＋3)×(－4)＋(－k＋5)×(－16)＝0，∴k＝1063.服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单数学[RB·选修2-1]两向量夹角及向量长度计算公式的应用棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，点E，F，G分别是DD1，BD，BB1的中点．(1)求EF→与CG→所成角的余弦值．(2)求CE→的长度．【思路探究】计算两个向量的夹角或其余弦值，要先计算哪些量？服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单数学[RB·选修2-1]【自主解答】建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0)，E0，0，12，C(0,1,0)，F12，12，0，G1，1，12，服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单数学[RB·选修2-1]所以EF→＝12，12，－12，CG→＝1，0，12，CE→＝0，－1，12，(1)|EF→|＝122＋122＋－122＝32，|CG→|＝12＋02＋122＝52，所以cos〈EF→，CG→〉＝EF→·CG→|EF→|·|CG→|＝1432×52＝1515.所以EF→与CG→所成角的余弦值为1515.服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单数学[RB·选修2-1](2)|CE→|＝02＋－12＋122＝52.服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单数学[RB·选修2-1]1．空间两点间的距离(线段长度)的求法空间两点可以确定一个向量，通过求向量的模或根据两点间的距离公式求出两点间的距离．服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单数学[RB·选修2-1]2．关于两直线夹角的求法(1)通过建立空间直角坐标系，求出两直线的方向向量的坐标，然后计算两直线的方向向量的夹角．(2)空间两条直线夹角的范围与向量夹角的范围不同，当所求两向量夹角为钝角时，则两直线夹角是与此钝角互补的锐角．服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单数学[RB·选修2-1]在长方体AC1中，底面ABCD是边长为4的正方形，A1C1与B1D1交于N，BC1与B1C交于点M，且AM→⊥BN→，建立空间直角坐标系．(1)求AA1→的长；(2)求cos〈BN→，AD1→〉．服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单数学[RB·选修2-1]【解】(1)如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设AA1＝a，则B(4,4,0)，N(2,2，a)，A(4,0,0)，M2，4，a2，∴BN→＝(－2，－2，a)，AM→＝－2，4，a2，服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单数学[RB·选修2-1]由BN→⊥AM→得BN→·AM→＝0，∴4－8＋a22＝0，a＝22，∴AA1→的长为22，(2)由(1)可得BN→＝(－2，－2,