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成才之路·数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索人教A版·必修5数列第二章“斐波那契数列(Fibonacci)”的发明者,是意大利数学家列昂纳多·斐波那契(LeonardoFibonacci,公元1170~1240),斐波那契数列指的是这样一个数列:1,1,2,3,5,8,13,21,….这个数列从第三项开始,每一项都等于前两项之和.它的通项为:an=15[(1+52)n-(1-52)n].有趣的是:这样一个完全是自然数的数列,通项公式居然是用无理数来表达的.斐波那契数还可以在植物的叶、枝、茎等排列中发现.例如:在树木的枝干上选一片叶子,记其为数0,然后依序点数叶子(假定没有折损),直到到达与那片叶子正对的位置,则其间的叶子数多半是斐波那契数.叶子从一个位置到达一下一个正对的位置称为一个循回,叶子在一个循回中旋转的圈数也是斐波那契数.在一个循回中叶子数与叶子旋转圈数的比称为叶序比,多数的叶序比呈现为斐波那契数的比,真让我们惊叹于这世界的奥妙无穷.2.1数列的概念与简单表示法第二章课堂典例探究2课时作业3课前自主预习1课前自主预习某剧场有30排座位,第一排有20个座位,从第二排起,后一排都比前一排多2个座位,那么各排的座位数依次为20,22,24,26,28,…,78.从1984年到2008年,我国共参加了7次奥运会,各次参赛获得的金牌总数依次为15,5,16,16,28,32,51.这两个问题有什么共同特点呢?1.两个非空数集A,B,对于集合A中的每一个数,通过________,在集合B中都有________一个数与其对应.这时就称f:A→B为从集合A到集合B的函数.2.对于一次函数y=x+1,当x=-2,-1,0,1,2,…时,y=________.体现了有规律的一列数与另一列数的________.[答案]1.对应关系f唯一2.-1,0,1,2,3,…对应关系1.数列的概念按照一定顺序排列的一列数叫做数列.数列中的每一个数都叫做这个数列的项.数列中的每一项都和它的序号有关,排在第一位的数为这个数列的第一项,也叫做首项.排在第n位的数称作这个数列的第n项,记作an.数列的一般形式为a1,a2,a3,…,an…,简记为{an}.注意:①数列的定义中要把握两个关键词:“一定顺序”与“一列数”.也就是说构成数列的元素是“数”,并且这些数是按照“一定顺序”排列着的,即确定的数在确定的位置.②项an与序号n是不同的,数列的项是这个数列中的一个确定的数,而序号是指项在数列中的位置.③{an}与an是不同概念:{an}表示数列a1,a2,a3,…,an,…;而an表示数列{an}中的第n项.④数列的简记符号{an},不可能理解为集合{an},数列的概念与集合概念的区别如下表:数列集合示例区别数列中的项是有序的,两组相同的数字,按照不同的顺序排列得到不同的数列集合中的元素是无序的如数列1,3,4与1,4,3是不同的数列,而集合{1,3,4}与{1,4,3}是相等集合数列中的项可以重复出现集合中的元素满足互异性,集合中的元素不能重复出现如数列1,1,1,…每项都是1,而集合则不可以下列说法正确的是()A.数列1,2,3,5,7可表示为{1,2,3,5,7}B.数列1,0,-1,-2与数列-2,-1,0,1是相同的数列C.数列{n+1n}的第k项是1+1kD.数列0,2,4,6,8,…可记为{2n}[答案]C[解析]{1,2,3,5,7}是一个集合,所以A错;由于数列的项是有顺序的,所以B错;数列{n+1n}的第k项是k+1k=1+1k,C正确;而D中数列应表示为{2(n-1)}.2.数列的通项公式如果数列{an}的第n项an与项数n之间的关系可以用一个公式表示,那么这个公式叫做数列的通项公式.注意:(1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N*或它的有限子集为定义域的函数表达式,即an=f(n).(2)已知数列的通项公式,依次用1,2,3,…去替代公式中的n,就可以求出这个数列的各项;同时利用通项公式也可以判断某数是不是某数列中的项,是第几项.(3)同函数的关系式一样,并不是所有的数列都有通项公式.如2精确到1,0.1,0.01,…的不足近似值排成数列就不能用通项公式表示.(4)有的数列的通项公式在形式上不一定是唯一的.如摆动数列:-1,1,-1,1,-1,1,…,通项公式可以写成an=(-1)n,也可以写成an=-1,n为奇数1,n为偶数.数列-1,85,-157,249,…的通项公式可以是()A.an=(-1)nn2+n2n+1B.an=(-1)nnn+32n+1C.an=(-1)nn2+2n2n-1D.an=(-1)nnn+22n+1[答案]D[解析]通过观察,数列中的数正负交替出现,且先负后正,则选择(-1)n.又第1项可改写成分式-33,则每一项的分母依次为3,5,7,9,…,可写成(2n+1)的形式.分子为3=1×3,8=2×4,15=3×5,24=4×6,可写成n(n+2)的形式.所以此数列的一个通项公式为an=(-1)nnn+22n+1.3.数列的分类:(1)按项数分类:项数有限的数列叫做有穷数列,项数无限的数列叫做无穷数列.(2)按数列的每一项随序号的变化情况进行分类:从第2项起,每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列.即an+1an(n=1,2,3…).从第2项起,每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列.即an+1an(n=1,2,3…).各项相等的数列叫做常数列.从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列叫做摆动数列.下列数列哪些是有穷数列?哪些是无穷数列?哪些是递增、递减数列?哪些是常数列?哪些是摆动数列?(1)1,0.84,0.842,0.843,…;(2)2,4,6,8,10,…;(3)7,7,7,7,7,7,…;(4)13,19,127,181,…;(5)0,0,0,0,0,0;(6)0,-1,2,-3,….[解析]项数有限的数列是有穷数列,故(5)是有穷数列;项数无限的数列是无穷数列,故(1)(2)(3)(4)(6)是无穷数列.从第2项起,每一项都大于它的前一项的数列是递增数列,故(2)是递增数列;同理,从第2项起,每一项都小于它的前一项的数列是递减数列,故(1)(4)是递减数列.数列(3)(5)的各项都相等,故(3)(5)是常数列.从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列是摆动数列,故(6)是摆动数列.4.数列的递推公式如果已知数列{an}的第1项(或前几项),且任一项an与它的前一项an-1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.注意:(1)要给出数列的首项或前几项,这是递推的基础;(2)要给出任一项an与它的前一项或前几项的关系式,这是递推的依据;(3)同通项公式一样,不是所有的数列都可以用递推公式表示.[答案]120[解析]因为an=nan-1,且n≥2,所以当n=2时,a2=2a1=2;当n=3时,a3=3a2=6;当n=4时,a4=4a3=24;当n=5时,a5=5a4=120.故a5=120.已知数列{an}满足a1=1,an=nan-1(n≥2),则a5=________.课堂典例探究数列的概念及分类下列四个数列中,既是无穷数列又是递增数列的是()A.1,12,13,14,…B.sinπ7,sin2π7,sin3π7,…C.-1,-12,-14,-18,…D.1,2,3,…,21[答案]C[解析]D是有穷数列,A是递减数列,B是摆动数列,故选C.已知数列{2n3n+1},那么这个数列是()A.递增数列B.递减数列C.摆动数列D.常数列[答案]A[解析]因为an+1-an=2n+13n+1+1-2n3n+1=23n+43n+10,所以an+1an,故该数列是递增数列.求数列的通项公式写出下列数列的一个通项公式,使它的前四项满足下列各数.(1)112,223,334,445,…;(2)11,102,1003,10004,…;(3)9,99,999,9999,…;(4)12,2,92,8,252.[分析]可以用裂项变形法求数列的通项公式.(1)把每一项分成整数和分数两部分;(2)把每项分别可写成10+1,100+2等;(3)可把每项写成10-1,100-1等;(4)把2和8都改写成以2为分母的分数.[解析](1)这个数列各项的整数部分分别为1,2,3,4,…,恰好是序号n;分数部分分别为12,23,34,45,…,与序号n的关系是nn+1,所以这个数列的一个通项公式是an=n+nn+1=n2+2nn+1.(2)这个数列可以改写为10+1,100+2,1000+3,10000+4,…,所以这个数列的一个通项公式是an=10n+n.(3)这个数列可以改写为10-1,100-1,1000-1,10000-1,…,所以这个数列的一个通项公式是an=10n-1.(4)将每一项都统一写成分母为2的分数,即12,42,92,162,252,…,所以它的一个通项公式是an=n22.[方法总结]根据数列的前几项求其通项公式,一般通项公式不唯一,我们常常取其形式上较简便的一个即可.通过观察本题几组数列中各项的特点,进行分析、概括,然后裂项变形得出结论.裂项变形是求数列通项公式的一种常用方法.(1)数列14,12,34,1,54,32,…的一个通项公式为________.(2)数列1,22,33,8,55,66,77,…的一个通项公式为__________;(3)数列1,-12,14,-18,116,…的一个通项公式为__________.[答案](1)an=n4(2)an=nn(3)an=(-12)n-1[解析](1)先把各项都写成分数形式,注意到4=2×2,可以把分母不是4的项改写成分母为4的情形,即14,24,34,44,54,64,…,∴an=n4.(2)先将数列中的部分项作调整,使之都含有根号和系数11,22,33,44,55,66,77,…,∴an=nn.(3)奇数项为正,偶数项为负,可由(-1)n-1来实现,分子全为1,分母依次为20,21,22,23,…,∴an=-1n-12n-1,即an=(-12)n-1.数列通项公式的应用已知数列{an}的通项公式为an=3n2-28n.(1)写出数列的第4项和第6项;(2)-49和68是该数列的项吗?若是,是第几项?若不是,请说明理由.[解析](1)∵an=3n2-28n,∴a4=3×42-28×4=-64,a6=3×62-28×6=-60.(2)令3n2-28n=-49,即3n2-28n+49=0,∴n=7或n=73(舍).∴-49是该数列的第7项,即a7=-49.令3n2-28n=68,即3n2-28n-68=0,∴n=-2或n=343.∵-2∉N*,343∉N*,∴68不是该数列的项.[方法总结]判断某数是否为数列中的项的方法及步骤①将所给项代入通项公式中;②解关于n的方程;③若n为正整数,说明某数是该数列的项;若n不是正整数,则不是该数列的项.已知数列的通项公式为an=4n2+3n,试问110和1627是不是它的项?如果是,是第几项?[解析]令4n2+3n=110,则n2+3n-40=0,解得n=5或n=-8,注意到n∈N*,故将n=-8舍去,所以110是该数列的第5项.令4n2+3n=1627,则4n2+12n-27=0,解得n=32或n=-92,注意到n∈N*,所以1627不是此数列中的项.数列的递推公式设{an}是首项为1的正项数列,且(n+1)a2n+1-na2n+an+1an=0(n∈N*),求通项公式an.[分析]将已知等式左边分解因式,以便找出前后项的明显关系.[解析](方法一)(累乘法)把(n+1)a2n+1-na2n+an+1an=0分解因式,得[(n+1)an+1-nan](an+1+an)=0.∵an0,∴an+an+10,∴(n+1)an+1
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