【高考讲坛】2016届高考数学一轮复习第2节逆矩阵特征值与特征向量课件理苏教版选修4-2

固基础·自主落实提知能·典例探究课后限时自测启智慧·高考研析第二节逆矩阵、特征值与特征向量考纲传真要求内容ABC二阶逆矩阵√二阶矩阵的特征值与特征向量√二阶矩阵的简单应用√1．逆矩阵(1)逆矩阵概念：对于二阶矩阵A，B，若有＝E，则称A是可逆的，B称为A的逆矩阵．AB＝BA(2)逆矩阵的求法一般地，对于二阶可逆矩阵A＝abcd(ad－bc≠0)，它的逆矩阵为A－1＝dad－bc－bad－bc－cad－bcaad－bc.(3)逆矩阵的性质①若二阶矩阵A，B均存在逆矩阵，则AB也存在逆矩阵，且(AB)－1＝.②已知A，B，C为二阶矩阵，且AB＝AC，若矩阵A存在逆矩阵，则.B－1A－1B＝C2．二阶行列式与逆矩阵(1)我们把abcd称为二阶行列式，它的运算结果是一个数值(或多项式)，记为det(A)＝abcd＝.(2)定理：如果关于变量x，y的二元一次方程组(线性方程组)ax＋by＝ecx＋dy＝f的系数矩阵A＝abcd可逆，那么该方程组有唯一解xy＝abcd－1ef.ad－bc3．特征值与特征向量设A是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个非零向量α，使得Aα＝λα，那λ称为A的一个特征值，而α称为A的属于特征值λ的一个特征向量．4．特征多项式设A＝abcd是一个二阶矩阵，λ∈R，把行列式f(λ)＝λ－a－b－cλ－d＝，称为A的特征多项式．λ2－(a＋d)λ＋ad－bc1．(夯基释疑)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)已知A，B，C为二阶矩阵，且AB＝AC，则B＝C.()(2)若二阶矩阵A，B均存在逆矩阵，则AB也存在逆矩阵，且(AB)－1＝A－1B－1.()(3)对于一个二阶矩阵，它的特征向量是唯一的．()(4)它的特征向量由它的特征值来确定．()[解析](1)中只有矩阵A存在逆矩阵时成立，故错；(2)中应有(AB)－1＝B－1A－1，故错；因为一个二阶矩阵的特征向量是由它的特征值来确定，故(3)错(4)对．[答案](1)×(2)×(3)×(4)√2．(教材习题改编)设矩阵M＝32－121232的逆矩阵是M－1＝abcd，求a＋c.[解]M－1＝abcd＝3212－1232，所以a＝32，c＝－12，a＋c＝3－12.3．设矩阵A＝x－122－x的一个特征值为－1，求x.[解]矩阵A的特征多项式为f(λ)＝λ2－(x＋2－x)λ＋x(2－x)＋2.因为A的一个特征值为－1，所以f(－1)＝1＋2＋x(2－x)＋2＝0，整理得x2－2x－5＝0，解之得x＝1±6.4．(2014·扬州中学月考试题)已知二阶矩阵M有特征值λ＝8及对应的一个特征向量e1＝11，并且矩阵M对应的变换将点(－1,2)变换成(－2,4)，求矩阵M.[解]设M＝abcd，则abcd11＝811＝88，故a＋b＝8，c＋d＝8.又abcd－12＝－24，故－a＋2b＝－2，－c＋2d＝4.联立以上两方程组解得a＝6，b＝2，c＝4，d＝4，故M＝6244.5．(2014·连云港质检)已知矩阵M＝a1b0，点A(1,0)在矩阵M对应变换作用下变为A′(1,2)，求矩阵M的逆矩阵M－1.[解]因为a1b010＝12，所以a＝1，b＝2，则M＝1120，于是detM＝1120＝－2≠0，矩阵M可逆，故M－1＝0－2－1－2－2－21－2＝0121－12.考向1二阶矩阵的逆矩阵【典例1】(2013·江苏高考)已知矩阵A＝－1002，B＝1206，求矩阵A－1B.[解]设矩阵A的逆矩阵为abcd，则－1002abcd＝1001，即－a－b2c2d＝1001，故a＝－1，b＝0，c＝0，d＝12，从而A的逆矩阵为A－1＝－10012，∴A－1B＝－100121206＝－1－203.【规律方法】1．逆矩阵的求法有两种：一是利用待定系数法．二是利用公式法．2．若A，B两个矩阵均存在可逆矩阵时，则有(AB)－1＝B－1A－1；若A，B，C为二阶矩阵且A可逆，则当AB＝AC时，有B＝C，即此时矩阵乘法的消去律成立．【变式训练1】设曲线2x2＋2xy＋y2＝1在矩阵A＝a0b1(a0)对应的变换作用下得到的曲线为x2＋y2＝1.(1)求实数a，b的值；(2)求A2的逆矩阵．[解](1)设曲线2x2＋2xy＋y2＝1上任意点P(x，y)在矩阵A对应的变换作用下的象是P′(x′，y′)．由x′y′＝a0b1xy＝axbx＋y，得x′＝ax，y′＝bx＋y.又点P′(x′，y′)在曲线x2＋y2＝1上，所以x′2＋y′2＝1，即a2x2＋(bx＋y)2＝1，整理得(a2＋b2)x2＋2bxy＋y2＝1.依题意得a2＋b2＝2，2b＝2，解得a＝1，b＝1.或a＝－1，b＝1.因为a0，所以a＝1，b＝1.(2)由(1)知，A＝1011，A2＝10111011＝1021.1021＝1≠0，∴A2的逆矩阵为10－21.考向2二阶矩阵的特征值与特征向量(高频考点)命题视角二阶矩阵的特征值与特征向量是历年高考重点．主要命题角度：(1)已知二阶矩阵求特征值、特征向量；(2)由矩阵的特征值及其对应特征向量求矩阵．【典例2】已知矩阵M＝2a21，其中a∈R，若点P(1，－2)在矩阵M的变换下得到点P′(－4,0)．(1)求实数a的值．(2)求矩阵M的特征值及其对应的特征向量．【思路点拨】弄清求特征值与特征向量的基本方法，掌握求特征值、特征向量的一般步骤：(1)由矩阵M得到特征多项式f(λ)＝λ－2－3－2λ－1；(2)求f(λ)＝0的根，得到特征值；(3)由特征方程λ－2x－3y＝0，－2x＋λ－1y＝0求解得非零向量即是矩阵M对应的特征向量．[解](1)由2a211－2＝－40，∴2－2a＝－4⇒a＝3.(2)由(1)，知M＝2321，则矩阵M的特征多项式为f(λ)＝λ－2－3－2λ－1＝(λ－2)(λ－1)－6＝λ2－3λ－4.令f(λ)＝0，得矩阵M的特征值为－1与4.当λ＝－1时，λ－2x－3y＝0，－2x＋λ－1y＝0⇒x＋y＝0.∴矩阵M的属于特征值－1的一个特征向量为1－1；当λ＝4时，λ－2x－3y＝0－2x＋λ－1y＝0⇒2x－3y＝0.∴矩阵M的属于特征值4的一个特征向量为32.【通关锦囊】1．求矩阵的特征值和特征向量的方法是固定的，只要明确解题的操作步骤，就可以按部就班地解决问题．2．注意到特征向量一定是非零向量，且每个特征值对应的特征向量不唯一．因此求解特征向量时，在将矩阵的特征值代入后得到的方程组的两个方程一般是同解方程，只需求出一组非零解．【变式训练2】已知矩阵A的逆矩阵A－1＝－143412－12，求矩阵A的特征值．[解]因为A－1A＝E，所以A＝(A－1)－1.因为A－1＝－143412－12，且|A－1|＝－14.所以A＝(A－1)－1＝2321，于是矩阵A的特征多项式为f(λ)＝λ－2－3－2λ－1＝λ2－3λ－4.令f(λ)＝0，解得A的特征值λ1＝－1，λ2＝4.考向3特征值与特征向量的综合应用【典例3】(2014·苏、锡、常、镇四市高三调研)已知矩阵M＝1221，β＝17，计算M6β.[解]矩阵M的特征多项式为f(λ)＝λ－1－2－2λ－1＝λ2－2λ－3.令f(λ)＝0，解得λ1＝3，λ2＝－1，对应的一个特征向量分别为α1＝11，α2＝1－1.令β＝mα1＋nα2，得m＝4，n＝－3.M6β＝M6(4α1－3α2)＝4(M6α1)－3(M6α2)＝4×3611－3(－1)6·1－1＝29132919.【规律方法】1．本题是求出矩形M的特征值λ1，λ2，对应的特征向量α1、α2，同时把β＝17，用α，α2表示出来β＝ma1＋nα2，再利用矩阵运算公式Mnβ＝Mn(mα1＋nα2)＝mMnα1＋nMnα2＝mλn1α1＋nλn2α2进行计算．2．若矩阵A有两个不共线的特征向量α1，α2，其对应的特征值分别为λ1，λ2，则对平面内任一非零向量α，存在实数s，t，使α＝sα1＋tα2，从而有Anα＝sλn1α1＋tλn2α2.【变式训练3】已知矩阵A＝1a－1b，A的一个特征值λ＝2，其对应的特征向量是α1＝21.(1)求矩阵A；(2)若向量β＝74，计算A5β的值．[解](1)A＝12－14.(2)矩形A的特征多项式为f(λ)＝λ－1－21λ－4＝λ2－5λ＋6＝0，得λ1＝2，λ2＝3.当λ1＝2时，α1＝21；当λ2＝3时，得α2＝11.由β＝mα1＋nα2，得2m＋n＝7，m＋n＝4，得m＝3，n＝1.∴A5β＝A5(3α1＋α2)＝3(A5α1)＋A5α2＝3(λ51α1)＋λ52α2＝3×2521＋3511＝435339.明确1种关系特征值与特征向量的关系一个特征值对应多个特征向量，只要有了特征值的一个特征向量，就可以表示出属于这个特征值的共线的所有特征向量．熟记2种方法求逆矩阵的两种代数方法1．待定系数法：利用AA－1＝E得到方程组，再利用行列式法解方程组．2.行列式法：若A＝abcd，且detA≠0，则A－1＝ddetA－bdetA－cdetAadetA.规范解答之19二阶矩阵的逆矩阵和特征值特征向量交汇问题的求解方法(12分)(2014·福建高考)已知矩阵A的逆矩阵A－1＝2112，(1)求矩阵A；(2)求矩阵A－1的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量．——————[规范解答示例]——————(1)设矩阵A＝abcd，则由AA－1＝E，得abcd2112＝1001，(2分)化简得2a＋ba＋2b2c＋dc＋2d＝1001，解得a＝23，b＝－13，c＝－13，d＝23，∴A＝23－13.(5分)(2)矩阵A－1的特征多项式为f(λ)＝λ－2－1－1λ－2＝(λ－2)2－1，令f(λ)＝(λ－2)2－1＝0，可求得特征值为λ1＝1，λ2＝3，(7分)设λ1＝1对应的一个特征向量α＝xy，则由λα＝A－1α得x＋y＝0，得x＝－y，可令x＝1，则y