不等式的应用教案

个性化教案不等式的应用适用学科高中数学适用年级高中一年级适用区域全国课时时长（分钟）60知识点1.运用不等式求一些最值问题.用a+b≥2ab求最小值；用ab≤（2ba）2≤222ba求最大值.2.某些函数的单调性的判定或证明也就是不等式的证明.3.求函数的定义域，往往直接归纳为解不等式（组）.4.三角、数列、立体几何和解析几何中的最值都与不等式有密切联系.5.利用不等式可以解决一些实际应用题.教学目标1.均值不等式的应用2.运用不等式解决最值问题3.不等式求范围问题教学重点运用不等式解决问题教学难点运用不等式解决问题个性化教案教学过程一、复习预习1.不等式的性质2.不等式的解法3.均值不等式个性化教案二、知识讲解1.运用不等式求一些最值问题.用a+b≥2ab求最小值；用ab≤（2ba）2≤222ba求最大值.2.某些函数的单调性的判定或证明也就是不等式的证明.3.求函数的定义域，往往直接归纳为解不等式（组）.4.三角、数列、立体几何和解析几何中的最值都与不等式有密切联系.5.利用不等式可以解决一些实际应用题.个性化教案考点11.应用不等式解决数学问题时，关键在于要善于把等量关系转化为不等量关系，以及不等关系的转化等，把问题转化为不等式的问题求解.个性化教案考点22.应用不等式解决应用问题时，应先弄清题意，根据题意列出不等式或函数式，再利用不等式的知识求解.个性化教案考点33.与不等式相关联的知识较多，如函数与不等式、方程与不等式、数列与不等式、解析几何与不等式，要善于寻找它们之间的联系，从而达到综合应用的目的.个性化教案三、例题精析【例题1】【题干】函数y=122xbax的最大值为4，最小值为－1，求常数a、b的值.【答案】32ba，或.32ba，【解析】剖析：由于函数是分式函数，且定义域为R，故可用判别式法求最值.解：由y=122xbax去分母整理得yx2－2ax+y－b=0.①对于①，有实根的条件是Δ≥0，即（－2a）2－4y（y－b）≥0.∴y2－by－a2≤0.又－1≤y≤4，∴y2－by－a2=0的两根为－1和4.∴.41412ab，解得32ba，或.32ba，个性化教案【例题2】【题干】已知a＞0，求函数y=axax221的最小值.【答案】0＜a≤1时，ymin=2；a＞1时，ymin=aa1.【解析】解：y=ax2+ax21，当0＜a≤1时，y=ax2+ax21≥2，当且仅当x=±a1时取等号，ymin=2.当a＞1时，令t=ax2（t≥a）.y=f（t）=t+t1.f（t）=1－21t＞0.∴f（t）在［a，+∞）上为增函数.∴y≥f（a）=aa1，等号当t=a即x=0时成立，ymin=aa1.综上，0＜a≤1时，ymin=2；a＞1时，ymin=aa1.个性化教案【例题3】【题干】已知函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0且bc≠0）.（1）若|f（0）|=|f（1）|=|f（－1）|=1，试求f（x）的解析式；（2）令g（x）=2ax+b，若g（1）=0，又f（x）的图象在x轴上截得的弦的长度为l，且0＜l≤2，试确定c－b的符号.【答案】f（x）=x2±x－1.c－b＞0.【解析】解：（1）由已知|f（1）|=|f（－1）|，有|a+b+c|=|a－b+c|，（a+b+c）2=（a－b+c）2，可得4b（a+c）=0.∵bc≠0，∴b≠0.∴a+c=0.又由a＞0有c＜0.∵|c|=1，于是c=－1，则a=1，|b|=1.∴f（x）=x2±x－1.（2）g（x）=2ax+b，由g（1）=0有2a+b=0，b＜0.设方程f（x）=0的两根为x1、x2.∴x1+x2=－ab=2，x1x2=ac.则|x1－x2|=212214xxxx）（=ac44.由已知0＜|x1－x2|≤2，∴0≤ac＜1.又∵a＞0，bc≠0，∴c＞0.∴c－b＞0.个性化教案四、课堂运用【基础】1.已知函数f（x）=log21（x2－ax+3a）在［2，+∞）上是减函数，则实数a的范围是A.（－∞，4］B.（－4，4］C.（0，12）D.（0，4］【答案】B【解析】∵f（x）=log21（x2－ax+3a）在［2，+∞）上是减函数，∴u=x2－ax+3a在［2，+∞）上为增函数，且在［2，+∞）上恒大于0.∴.032422aaa，∴－4＜a≤4.个性化教案2.把长为12cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是A.233cm2B.4cm2C.32cm2D.23cm2【答案】D【解析】设两段长分别为xcm，（12－x）cm，则S=43（3x）2+43（312x）2=183（x2－12x+72）=183［（x－6）2+36］≥23.个性化教案【巩固】1.如果0＜a＜1，0＜x≤y＜1，且logaxlogay=1，那么xyA.无最大值也无最小值B.有最大值无最小值C.无最大值有最小值D.有最大值也有最小值【答案】B【解析】解析：∵logax+logay≥2yxaaloglog=2，∴logaxy≥2.∴0＜xy≤a2.个性化教案2.已知实数x、y满足yx=x－y，则x的取值范围是_______.【答案】0＜x≤4【解析】由yx=x－y，得y2－xy+x=0.∵y∈R，∴Δ=x2－4x≥0.∴0≤x≤4.∵x=0时y=0不符合题意，∴0＜x≤4.个性化教案【拔高】1.已知c＞0，设P：函数y=cx在R上单调递减，Q：不等式x+|x－2c|＞1的解集为R.如果P和Q有且仅有一个正确，求c的取值范围.【答案】（0，21］∪［1，+∞）.【解析】解：函数y=cx在R上单调递减0＜c＜1.不等式x+|x－2c|＞1的解集为R函数y=x+|x－2c|在R上恒大于1.∵x+|x－2c|=，，cxccxcx22222∴函数y=x+|x－2c|在R上的最小值为2c.∴不等式x+|x－2c|＞1的解集为R2c＞1c＞21.如果P正确，且Q不正确，则0＜c≤21.如果P不正确，且Q正确，则c≥1.∴c的取值范围为（0，21］∪［1，+∞）.个性化教案2.已知函数f（x）=x2+bx+c（b、c∈R）且当x≤1时，f（x）≥0，当1≤x≤3时，f（x）≤0恒成立.（1）求b、c之间的关系式；（2）当c≥3时，是否存在实数m使得g（x）=f（x）－m2x在区间（0，+∞）上是单调函数？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】b=－（c+1）≤－4.不存在.【解析】解：（1）由已知f（1）≥0与f（1）≤0同时成立，则必有f（1）=0，故b+c+1=0.（2）假设存在实数m，使满足题设的g（x）存在.∵g（x）=f（x）－m2x=x2+（b－m2）x+c开口向上，且在［22bm，+∞）上单调递增，∴22bm≤0.∴b≥m2≥0.∵c≥3，∴b=－（c+1）≤－4.这与上式矛盾，从而能满足题设的实数m不存在.个性化教案课程小结1.不等式的应用大致可分为两类：一类是建立不等式求参数的取值范围或解决一些实际应用问题；另一类是建立函数关系，利用均值不等式求最值问题.2.建立不等式的主要途径有：（1）利用问题的几何意义；（2）利用判别式；（3）利用函数的有界性；（4）利用函数的单调性.3.解不等式应用问题的三个步骤：（1）审题，必要时画出示意图；（2）建立不等式模型，即根据题意找出常量与变量的不等关系；（3）利用不等式的有关知识解题，即将数学模型转化为数学符号或图形符号.4.利用重要不等式求最值时，要注意条件：一正、二定、三相等，即在x+y≥2xy中，x和y要大于零，要有定积或定和出现；同时要求“等号”成立.5.化归思想在本节占有重要位置，等式和不等式之间的转化、不等式和不等式之间的转化、函数与不等式之间的转化等，对于这些转化，一定要注意条件.个性化教案课后作业【基础】1..已知不等式组08603422xxxx，的解集是不等式2x2－9x+a＜0的解集的子集，则实数a的取值范围是____________.【答案】（－∞，9］【解析】解析：由，，08603422xxxx得2＜x＜3.则0302）（）（ffa≤9.个性化教案2.已知方程sin2x－4sinx+1－a=0有解，则实数a的取值范围是A.［－3，6］B.［－2，6］C.［－3，2］D.［－2，2］【答案】B【解析】解析：∵a=（sinx－2）2－3，|sinx|≤1，∴－2≤a≤6.个性化教案【巩固】1.当x∈［－1，2］时，不等式a≥x2－2x－1恒成立，则实数a的取值范围是A.a≥2B.a≥1C.a≥0D.a≥－2【答案】A【解析】解析：当x∈［－1，2］时，x2－2x－1=（x－1）2－2∈［－2，2］.∵a≥x2－2x－1恒成立，∴a≥2.个性化教案2.bg糖水中有ag糖（b＞a＞0），若再添mg糖（m＞0），则糖水变甜了.试根据这一事实，提炼出一个不等式____________.【答案】ba＜mbma【解析】解析：ba＜mbma.个性化教案【拔高】1.已知a＞b＞0，求a2+）（bab16的最小值.【答案】16【解析】解：∵b（a－b）≤（2bab）2=42a，∴a2+）（bab16≥a2+264a≥16.当且仅当82abab，，即222ba，时取等号.个性化教案2.求证：对任意x、y∈R，都有497721xx≤5－3y+21y2，并说明等号何时成立.【答案】略【解析】证明：72x+49≥2·7x·7=2·7x+1，∴497721xx≤21.又∵5－3y+21y2=21（y－3）2+21≥21，∴497721xx≤5－3y+21y2.当且仅当x=1，y=3时取等号.