专题03 函数值域(最值)的求法(观察法等)

第03讲：函数值域（最值）的求法(观察法、分离常数法、配方法、反函数法和换元法)【考纲要求】1、了解构成函数的要素，会求一些简单函数的值域。2、理解函数的最大值、最小值及其几何意义。【基础知识】一、函数值域的定义函数值的集合叫做函数的值域。二、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法求函数的值域，都要考虑定义域，函数的问题必须遵循“定义域优先”的原则。三、常见函数的值域3、反比例函数0kykx的值域为0yRy.4、指数函数01xyaaa且的值域为0yy.5、对数函数log01ayxaa且的值域为R.6、幂函数3yx的值域为R，幂函数12yxx的值域为[0,)。7、正弦函数sinyx、余弦函数cosyx的值域为1,1，正切函数tanyx的值域为R，余切函数cotyx的值域为R.四、求函数的值域常用的方法求函数的值域常用的方法有观察法、分离常数法、配方法、反函数法、换元法、判别式法、基本不等式法、单调性法、数形结合法和导数法等。五、函数的值域一定要用集合或区间来表示。六、函数的值域和函数的最值实际上是同一范畴的问题，所以求函数值域的方法适用于求函数的最值。【方法讲评】方法一观察法使用情景函数的解析式主要是一些简单的特殊的函数组成。解题步骤利用这些特殊函数的性质，结合不等式推导函数的值域。[来源:学科网]例1求函数x3y的值域。解：∵0x3x3,0x故函数的值域是：]3,[方法二分离常数法使用情景函数是对称的分式函数22cxddxexfyyaxbaxbxc或。解题步骤一般先利用分式的除法将分式分离成一个常数和一个分式函数，再求函数的值域。例2求函数1xxy的值域。解：1111111xxxxxy∵011x∴1y即函数的值域是{y|yR且y1}例3求函数]2,1[x,5x2xy2的值域。解：将函数配方得：4)1x(y2∵]2,1[x由二次函数的性质可知：当x=1时，4ymin，[来源:学。科。网Z。X。X。K]当1x时，8ymax故函数的值域是[4，8]【点评】对于二次函数，常用配方法求函数的值域。先配方，再利用二次函数的图像和性质求函数的值域。【变式演练3】求函数22yxx的值域。方法四反函数法使用情景已知函数比较容易求反函数。解题步骤先求已知函数的反函数，再求反函数的定义域，最后利用反函数的定义域就是原函数的值域关系得到原函数的值域。例4求函数12xxy的值域。解：12xxy反解得yyx2即1()2xfxx因为反函数1()2xfxx的定义域为|2}xx，反函数的定义域即是原函数的值域，所以原函数的值域为(,2)(2,)方法五换元法使用情景函数的解析式结构较复杂，函数的变量较多且相互关联。解题步骤一般先引进一个新元代替旧元，再求新函数的值域。例5求函数1xxy的值域。例6已知x满足不等式1122loglog(2)xx.（1）求x的取值范围；（2）求函数22()(log)(log)42xxfx的最小值。解：（1）01xx0由题得2-x0x2-x（2）22222222222min()(loglog4)(loglog2)(log2)(log1)(log)3log2log=(0),()3233,220()(0)2fxxxxxxxxaagaaaaafxf由题得设函数的对称轴为画出二次函数的图像得当时，函数取到最小值2.所以例7求函数)1x)(cos1x(siny，2,12x的值域。解：)1x)(cos1x(siny1xcosxsinxcosxsin令txcosxsin，则)1t(21xcosxsin222)1t(211t)1t(21y例8已知),(yxp是圆422yx上的点，试求xyyxt322的值域。解：由题得1)2()2(22yx，设,0[,sin2,cos2yx2)则2sin64sin2cos234t4,0[2又)即]1,1[2sin故]10,2[t所以函数的值域为[2,10]【点评】当已知条件可以化为22221xyab时，可以设sin,cosxyab，[0,2]实行三角换元，这样可以优化解题，提高解题效率。【变式演练5】若02,x求函数12()4325xxyfx的值域。【高考精选传真】2012年没有以上几种方法的高考题。【反馈训练】1.函数y=x+x21的值域是()[来源:学+科+网Z+X+X+K]A(－∞,1]B(－∞,－1]CRD［1,+∞)2.函数()fx6x54x3值域为（）A.53,B.3(,)5C.3(,]5D.3[,)53.求函数的值域：265yxx世纪教育网4.求函数的值域：41yxx.212112111121212121222xxxxyxxxxxx[来源:学*科*网Z*X*X*K]11,022xx11112222112222xxxx当且仅当112122xx时，即122x时等号成立，122y，所以原函数的值域为12,2.【变式演练3详细解析】由题得222020(2)(1)0xxxxxx由原函数式可得：3y5y64x则其反函数为3x5y64y，其定义域为3{|}5xx，故所求函数的值域为3{|}5yy【变式演练5详细解析】由题得21241325(2)32524xxxxy21(2)3252xx设2120214()35(14)2xtxtftttt函数的对称轴方程为33122t所以minmax15()(3)()(1)22ftfftf所以函数的值域为15[,]22【反馈训练详细解答】1．A【解析】令x21=t(t≥0),则x=212t∵y=212t+t=－21(t－1)2+1≤1∴值域为(－∞,1][来源:学科网]3.0,2【解析】设2650xx，则原函数可化为：y.又因为2265344xxx，所以04，故，0,2，所以，265yxx的值域为0,2.4.,5【解析】设10,tx则21xt.所以原函数可化为2214250ytttt，所以5y.所以原函数的值域为,5.