专题05函数的单调性与最值-备战2015高考理数热点题型和提分秘籍(原卷版)

【高频考点解读】1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义．2.会利用函数的图象理解和研究函数的性质.3.确定函数单调性、单调区间及应用函数单调性求值域、最值，比较或求函数值大小，是高考的热点及重点．4.常与函数的图象及其他性质交汇命题．5.题型多以选择题、填空题形式出现，若与导数交汇则以解答题形式出现.【热点题型】题型一考查函数的单调性例1．探讨函数f(x)＝x＋kx(k0)的单调性．【提分秘籍】1．函数的单调区间是其定义域的子集．2．由函数单调性的定义可知，若函数f(x)在区间D上是增(减)函数，则当x1x2时，f(x1)f(x2)((f(x1)f(x2))．3．一个函数在不同的区间可以有不同的单调性，同一种单调区间用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．4．两函数f(x)、g(x)在x∈(a，b)上都是增(减)函数，则f(x)＋g(x)也为增(减)函数，但f(x)·g(x)的单调性与其正负有关，1fx与f(x)是否为0有关，切不可盲目类比．5.判断或证明函数的单调性的两种方法(1)利用定义的基本步骤是：取值⇨作差商变形⇨确定符号⇨得出结论(2)利用导数的基本步骤是：求导函数⇨确定符号⇨得出结论[来源:学|科|网Z|X|X|K]【举一反三】设x1，x2为y＝f(x)的定义域内的任意两个变量，有以下几个命题：①(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]0；②(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]0；③fx1－fx2x1－x20；④fx1－fx2x1－x20.其中能推出函数y＝f(x)为增函数的命题为________．【热点题型】题型二求函数的单调区间例2．设函数y＝f(x)在(－∞，＋∞)内有定义．对于给定的正数k，定义函数fk(x)＝fx，fxk，k，fxk取函数f(x)＝2－|x|.当k＝12时，函数fk(x)的单调递增区间为()A．(－∞，0)B．(0，＋∞)C．(－∞，－1)D．(1，＋∞)【提分秘籍】【举一反三】设函数f(x)＝1，x＞0，0，x＝0，－1，x＜0，g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的递减区间是()A．(－∞，0]B．[0,1)C．[1，＋∞)D．[－1,0]【热点题型】题型三由函数的单调性求参数的范围【例3】(1)定义在R上的偶函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，则()A．f(3)＜f(－4)＜f(－π)B．f(－π)＜f(－4)＜f(3)C．f(3)＜f(－π)＜f(－4)D．f(－4)＜f(－π)＜f(3)(2)已知函数f(x)＝a－x－1，x≤1logax，x1，若f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为________．【提分秘籍】单调性的应用常涉及大小比较，解不等式，求最值及已知单调性求参数范围等问题，解决时要注意等价转化思想与数形结合思想的运用．【举一反三】已知函数f(x)＝x2＋ax(x≠0，a∈R)．(1)判断函数f(x)的奇偶性；(2)若f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围．【热点题型】题型四函数的最值问题（换元法）例4、已知函数y＝－sin2x＋asinx－a4＋12的最大值为2，求a的值．【提分秘籍】换元法解题模板第一步：换元确定解析式中的某一部分作为一个新的变元第二步：定范围根据新的变元的表达式确定新变元的取值范围M.第三步：转化将问题转化为关于新变元的一个函数在区间M上的最值问题．第四步：求最值利用基本初等函数求最值得原函数的最值．【举一反三】求y＝x－1－2x函数的值域：题型四函数的最值问题（数形结合法）例5、用min{a，b，c}表示a，b，c三个数中的最小值，则函数f(x)＝min{4x＋1，x＋4，－x＋8}的最大值是________．【提分秘籍】数形结合法解题模板对于函数解析式有明显的几何特征的函数最值问题，解题步骤是：第一步：数变形根据函数解析式的特征，构造图形转化为求几何中的最值．第二步：解形利用几何方法解决图形中的最值．第三步：还形为数将几何中的最值还原为函数的最值．第四步：回顾反思利用数形结合法求解函数最值，其实质就是利用函数图象或借助几何图形求解函数最值，关键在于把握函数解析式的结构特征．【举一反三】函数y＝x＋2＋16＋x－2＋4的值域为________．【高考风向标】1．（2014·北京卷）下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是()A．y＝x＋1B．y＝(x－1)2C．y＝2－xD．y＝log0.5(x＋1)2．（2014·福建卷）已知函数f(x)＝x2＋1，x0，cosx，x≤0，则下列结论正确的是()A．f(x)是偶函数B．f(x)是增函数C．f(x)是周期函数D．f(x)的值域为[－1，＋∞)[来源:学|科|网Z|X|X|K]3．（2014·四川卷）设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1，1)时，f(x)＝－4x2＋2，－1≤x0，x，0≤x1，则f32＝________．4．（2014·四川卷）以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数φ(x)组成的集合：对于函数φ(x)，存在一个正数M，使得函数φ(x)的值域包含于区间[－M，M]．例如，当φ1(x)＝x3，φ2(x)＝sinx时，φ1(x)∈A，φ2(x)∈B.现有如下命题：①设函数f(x)的定义域为D，则“f(x)∈A”的充要条件是“∀b∈R，∃a∈D，f(a)＝b”；②函数f(x)∈B的充要条件是f(x)有最大值和最小值；③若函数f(x)，g(x)的定义域相同，且f(x)∈A，g(x)∈B，则f(x)＋g(x)∉B；④若函数f(x)＝aln(x＋2)＋xx2＋1(x－2，a∈R)有最大值，则f(x)∈B.其中的真命题有________．(写出所有真命题的序号)5．（2014·四川卷）已知函数f(x)＝ex－ax2－bx－1，其中a，b∈R，e＝2.71828…为自然对数的底数．(1)设g(x)是函数f(x)的导函数，求函数g(x)在区间[0，1]上的最小值；(2)若f(1)＝0，函数f(x)在区间(0，1)内有零点，求a的取值范围．6．（2013·四川卷）已知函数f(x)＝x2＋2x＋a，x0，lnx，x0，其中a是实数．设A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))为该函数图像上的两点，且x1x2.(1)指出函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)的图像在点A，B处的切线互相垂直，且x20，求x2－x1的最小值；[来源:Zxxk.Com](3)若函数f(x)的图像在点A，B处的切线重合，求a的取值范围．7．（2013·四川卷）设函数f(x)＝ex＋x－a(a∈R，e为自然对数的底数)．若曲线y＝sinx上存在(x0，y0)使得f(f(y0))＝y0，则a的取值范围是()A．[1，e]B．[e－1－1，1][来源:学。科。网]C．[1，e＋1]D．[e－1－1，e＋1]8．（2013·四川卷）函数y＝x33x－1的图像大致是()图1－59．（2013·新课标全国卷Ⅱ]已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，下列结论中错误的是()A．x0∈R，f(x0)＝0B．函数y＝f(x)的图像是中心对称图形C．若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(－∞，x0)单调递减D．若x0是f(x)的极值点，则f′(x0)＝0【随堂巩固】1．函数y＝13x－2＋lg(2x－1)的定义域是()A.23，＋∞B.12，＋∞C.23，＋∞D.12，232．已知集合A是函数f(x)＝1－x2＋x2－1x的定义域，集合B是其值域，则A∪B的子集的个数为()A．4B．6C．8D．163．下列图形中可以表示以M＝{x|0≤x≤1}为定义域，以N＝{y|0≤y≤1}为值域的函数的图象是()4．下列函数中，值域是(0，＋∞)的是()A．y＝x2－2x＋1B．y＝x＋2x＋1(x∈(0，＋∞))C．y＝1x2＋2x＋1(x∈N)D．y＝1|x＋1|5．已知等腰△ABC周长为10，则底边长y关于腰长x的函数关系为y＝10－2x，则函数的定义域为()A．RB．{x|x0}C．{x|0x5}D.x|52x56．函数y＝2x－1的定义域是(－∞，1)∪[2,5)，则其值域是()A．(－∞，0)∪12，2B．(－∞，2]C.－∞，12∪[2，＋∞)D．(0，＋∞)7．已知函数f(x)＝2x＋4－x，则函数f(x)的值域为()A．[2,4]B．[0,25]C．[4,25]D．[2,25]8．函数y＝2－－x2＋4x的值域是()A．[－2,2]B．[1,2]C．[0,2]D．[－2，2]10．定义区间[x1，x2](x1x2)的长度为x2－x1，已知函数f(x)＝|log12x|的定义域为[a，b]，值域为[0,2]，则区间[a，b]的长度的最大值与最小值的差为________．11．函数y＝x＋1＋x－0－x的定义域是________．12．函数y＝x－x(x≥0)的最大值为________．13．已知函数f(x)的定义域为[0,1]，值域为[1,2]，则函数f(x＋2)的定义域为____________，值域为__________．14．求下列函数的值域．(1)y＝1－x2x＋5；(2)y＝2x－1－13－4x.15．若函数f(x)＝12x2－x＋a的定义域和值域均为[1，b](b1)，求a、b的值．16．已知函数g(x)＝x＋1,h(x)＝1x＋3，x∈(－3，a]，其中a为常数且a0，令函数f(x)＝g(x)·h(x)．[来源:Z&xx&k.Com](1)求函数f(x)的表达式，并求其定义域；(2)当a＝14时，求函数f(x)的值域．