专题16定积分与微积分基本定理-备战2015高考理数热点题型和提分秘籍(原卷版)

【高频考点解读】1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念．2.了解微积分基本定理的含义．【热点题型】题型一定积分例1、241xdx等于()A．2ln2B．－2ln2C．－ln2D．ln2【提分秘籍】1．定积分是一个数值(极限值)，它只与被积函数以及积分区间有关，而与积分变量无关，即abf(x)dx＝abf(t)dt＝abf(u)du.2．设函数f(x)在闭区间[－a，a]上连续，则由定积分的几何意义和奇偶函数的对称性可知有以下两个结论：(1)若f(x)是偶函数，则f(x)dx＝20af(x)dx；(2)若f(x)是奇函数，则f(x)dx＝0.【举一反三】由直线x＝－π3，x＝π3，y＝0与曲线y＝cosx所围成的封闭图形的面积为()[来源:学.科.网]A.12B．1C.32D.3【热点题型】题型二微积分基本定理例2、01(ex＋2x)dx等于()A．1B．e－1C．eD．e＋1【提分秘籍】利用微积分基本定理(即牛顿—莱布尼兹公式)求定积分，关键是找到满足F′(x)＝f(x)的函数F(x)，即找被积函数f(x)的原函数F(x)，利用求导运算与求原函数运算互为逆运算的关系，运用基本初等函数求导公式和导数四则运算法则从反方向上求出F(x)．【举一反三】设函数f(x)＝xm＋ax的导函数f′(x)＝2x＋1，则12f(－x)dx的值等于()A.56B.12C.23D.16【热点题型】题型三利用定积分求平面图形的面积例3、如图，曲线y＝x2和直线x＝0，x＝1，y＝14所围成的图形(阴影部分)的面积为()A.23B.13C.12D14【提分秘籍】利用定积分求曲边梯形面积的步骤(1)画出曲线的草图．(2)借助图形，确定被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限．(3)将“曲边梯形”的面积表示成若干个定积分的和或差．(4)计算定积分，写出答案．【举一反三】不等式x2－2x0表示的平面区域与抛物线y2＝4x围成的封闭区域的面积是________．【热点题型】题型四定积分与概率计算交汇命题例4、若不等式组y≤x，y≥－x，2x－y－3≤0表示的平面区域为M，不等式y≥x2所表示的平面区域为N，现随机向区域M内抛一粒豆子，则豆子落在区域N内的概率为________．【提分秘籍】利用定积分求出数列通项后，借助于数列裂项求和的方法可求和．【举一反三】已知等比数列{an}，且a4＋a8＝024－x2dx，则a6(a2＋2a6＋a10)的值为()A．π2B．4C．πD．－9π【高考风向标】1．（2014·福建卷）如图1­4，在边长为e(e为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为________．图1­42．（2014·湖北卷）若函数f(x)，g(x)满足－11f(x)g(x)dx＝0，则称f(x)，g(x)为区间[－1，1]上的一组正交函数，给出三组函数：①f(x)＝sin12x，g(x)＝cos12x；②f(x)＝x＋1，g(x)＝x－1；③f(x)＝x，g(x)＝x2.其中为区间[－1，1]上的正交函数的组数是()A．0B．1C．2D．33．（2014·湖南卷）已知函数f(x)＝sin(x－φ)，且∫2π30f(x)dx＝0，则函数f(x)的图像的一条对称轴是()A．x＝5π6B．x＝7π12C．x＝π3D．x＝π64.（2014·江西卷）若f(x)＝x2＋201f(x)dx，则01f(x)dx＝()A．－1B．－13C.13D．15．（2014·山东卷）直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为()A.22B.42C.2D.46．（2014·陕西卷）定积分01(2x＋ex)dx的值为()A．e＋2B．e＋1C．eD．e－17．（2013·北京卷）直线l过抛物线C：x2＝4y的焦点且与y轴垂直，则l与C所围成的图形的面积等于()A.43B．2C.83D.1623[来源:学*科*网Z*X*X*K]8．（2013·福建卷）当x∈R，|x|1时，有如下表达式：1＋x＋x2＋…＋xn＋…＝11－x.两边同时积分得：∫1201dx＋∫120xdx＋∫120x2dx＋…＋∫120xndx＋…＝∫12011－xdx，从而得到如下等式：1×12＋12×122＋13×123＋…＋1n＋1×12n＋1＋…＝ln2.请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算：C0n×12＋12C1n×122＋13C2n×123＋…＋1n＋1Cnn×12n＋1＝__________．9．（2013·湖北卷）一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)＝7－3t＋251＋t(t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停止，在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是()A．1＋25ln5B．8＋25ln113C．4＋25ln5D．4＋50ln210．（2013·湖南卷）若0Tx2dx＝9，则常数T的值为________．[来源:Z_xx_k.Com]11．（2013·江西卷）若S1＝12x2dx，S2＝121xdx，S3＝12exdx，则S1，S2，S3的大小关系为()A．S1S2S3B．S2S1S3C．S2S3S1D．S3S2S1【随堂巩固】1．设函数f(x)＝ax2＋b(a≠0)，若∫30f(x)dx＝3f(x0)，则x0＝()A．±1B.2C．±3D．22．已知函数y＝x2与y＝kx(k＞0)的图象所围成的阴影部分的面积为92，则k等于()A．2B．1C．3D．43．函数f(x)＝x＋－2≤x，2cosxx≤π2的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为()A.32B．1C．4D.124．已知a∈0，π2，则当∫a0(cosx－sinx)dx取最大值时，a的值为()[来源:学科网ZXXK]A.π6B.π4C.π3D.π25．由曲线y＝x2和直线x＝0，x＝1，y＝t2，t∈(0,1)所围成的图形(如图阴影部分)的面积的最小值为()A.23B.13C.12D.14[来源:学科网ZXXK]6．设f(x)＝x2，x∈[0，1]1x，x∈，e](e为自然对数的底数)，则∫e0f(x)dx的值为________．7．设a0.若曲线y＝x与直线x＝a，y＝0所围成封闭图形的面积为a2，则a＝________.8．若f(x)是一次函数，且∫10f(x)dx＝5，∫10xf(x)dx＝176，那么∫21fxxdx的值是________．9．已知f(x)为二次函数，且f(－1)＝2，f′(0)＝0，01f(x)dx＝－2，(1)求f(x)的解析式；(2)求f(x)在[－1,1]上的最大值与最小值．10．如图所示，直线y＝kx分抛物线y＝x－x2与x轴所围图形为面积相等的两部分，求k的值．